牛客多校第四场 A-Ternary String（欧拉降幂）

问题分析

题意：问多长时间后可以将整个序列完全消除，每秒序列会在$1$后面插入一个$0$，在$2$后面插入一个$1$，作为序列的第一个数字将会消失。最后答案对$1e9+7$取模。
emmm，通过打表就可以发现
假设现有一个长度为$n$的序列，
每次序列插入一个$0$后，我们需要$n+1$秒才能将这个序列消除；
每次序列插入一个$1$后，我们需要$2\cdot n+1$秒才能将这个序列消除；
每次序列插入一个$2$后，我们需要$3\cdot(2^{n+1}-1)$秒才能将这个序列消除。

再来看一下数据范围，$n$最大有$2e6$，明显在处理$3\cdot(2^{n+1}-1)$的时候会超时。所以此时欧拉降幂就能很好的优化这种算式了。详情请看蒻刚补的叭。然后如果泥萌看了我的那篇欧拉定理的话，就会发现如果我们从$\varphi(1e9+7)$不断嵌套求$\varphi$值，每次模数除了第一次都是偶数，最后我们一定可以在不多于$log_2(p)$次内将$\varphi$值降为$1$，所以可以采用递归回溯计算。

$1000000007,1000000006,500000002,243900800,79872000,19660800,5242880,2097152,1048576,524288,262144,131072,65536,32768,16384,8192,4096,2048,1024,512,256,128,64,32,16,8,4,2,1$。

但是这里为了方便理解，窝就贴一个非递归的代码。。因为是多组数据，因此我们需要预处理出$\varphi(\varphi(\varphi(...\varphi(1e9+7))))$。

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;

LL phi(LL n) { 
    LL ret = 1;
    for (LL i = 2; i * i <= n; ++i) {
        if (n % i == 0) {
            n /= i, ret *= i - 1;
            while (n % i == 0)
                n /= i, ret *= i;
        }
    }
    if (n > 1) ret *= n - 1;
    return ret;
}

std::map<LL,LL> m;
char s[100001];

LL pow_(LL a,LL n,LL mod) {
    LL ans = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    LL T;
    m[0] = 1e9 + 7;
    for (int i = 1; i < 1e5; ++i)
        m[i] = phi(m[i - 1]);
    std::cin >> T;
    while (T--) {
        std::cin >> s;
        int cnt = 0;
        for (int i = 0; s[i]; ++i)
            if (s[i] == '2')
                cnt++;
        LL ans = 0;
        for (int i = 0; s[i]; ++i) {
            if (s[i] == '0')
                ans++, ans %= m[cnt];
            else if (s[i] == '1')
                ans = (ans * 2 + 2) % m[cnt];
            else {
                cnt--;
                if (ans < m[cnt])
                    ans = 3 * (pow_(2, (ans + 1) % m[cnt], m[cnt]) - 1 + m[cnt]) % m[cnt];
                else
                    ans = 3 * (pow_(2, (ans + 1) % m[cnt] + m[cnt], m[cnt]) - 1 + m[cnt]) % m[cnt];
            }

        }
        std::cout << ans << std::endl;
    }
    return 0;
}