剑指offer.63题 股票的最大利润 经典dp问题求解与优化

一、题目描述

本文所讲解的是剑指offer第63题——股票的最大利润，本题是一个经典的dp动态规划问题。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖	出，最大利润 = 6-1 = 5 。
 注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

二、贪心法

思路：新建一个与原来prices长度一致的数组Matrix，用于记录该天买入股票能够获得的最大收益。然后依次遍历当天之后最高的价格，并将该价格保存于数组Matrix中。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices.length==0)
            return 0;
        int Matrix[]=new int[prices.length];
        int max;
        int length=Matrix.length;
        for(int i=length-2;i>=0;i--)
        {
            max=findMax(prices,i+1,length);
            Matrix[i]=(prices[i]>=prices[max])?0:(prices[max]-prices[i]);
        }
        max=0;
        for(int i=0;i<length;i++)
        {
            if(Matrix[i]>Matrix[max])
                max=i;
        }
        return Matrix[max];
    }
    public int findMax(int []prices,int start,int end)
    {
        int max=start;
        for(int i=start+1;i<end;i++)
        {
            if(prices[i]>prices[max])
                max=i;
        }
        return max;
    }
}

三、动态规划方法

• 状态定义： 设动态规划列表 dp，dp[i]代表以 prices[i] 为结尾的子数组的最大利润（以下简称为 前 i日的最大利润 ）。

• 转移方程： 由于题目限定 “买卖该股票一次” ，因此前 i 日最大利润 dp[i] 等于前 i - 1 日最大利润 dp[i-1] 和第 i 日卖出的最大利润中的最大值。

  前i日最大利润=max(前(i−1)日最大利润,第i日价格−前i日最低价格)
  

即：

	dp[i] = max(dp[i - 1], prices[i] - min(prices[0:i]))

• 初始状态： dp[0] = 0，即首日利润为 0 ；
• 返回值： dp[n - 1]，其中 n 为 dp 列表长度。

代码如下所示：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if(prices.length==0)
            return 0;
        int dp[]=new int[prices.length]; 
        int min=0;
        for(int i=1;i<prices.length;i++) {
            dp[i]=Math.max(dp[i-1],prices[i]-prices[min]);
            if(prices[i]<prices[min])
            	min=i;
        }
        int max=0;
        for(int i=0;i<dp.length;i++)
            if(dp[i]>dp[max])
                max=i;
        return dp[max];
    }
}

其中，min用于表示当前循环到的日期之前的最低价格。

四、状态转移方程的优化

效率优化，以下为Leetcode官方解法中的概述：
时间复杂度降低： 前 i 日的最低价格min(prices[0:i]) 时间复杂度为 O(i)。而在遍历 prices 时，可以借助一个变量（记为成本 cost ）每日更新最低价格。优化后的转移方程为：

	dp[i]=max(dp[i−1],prices[i]−min(cost,prices[i]))

空间复杂度降低： 由于 dp[i] 只与 dp[i - 1], prices[i] , cost 相关，因此可使用一个变量（记为利润 profit）代替 dp 列表。优化后的转移方程为：

	profit=max(profit,prices[i]−min(cost,prices[i]))

复杂度分析：
时间复杂度 O(N)： 其中 N 为 prices 列表长度，动态规划需遍历 pricesprices 。
空间复杂度 O(1) ： 变量 cost和 profit使用常数大小的额外空间。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
     
        int cost = Integer.MAX_VALUE, profit = 0;
        for(int price : prices) {
            cost = Math.min(cost, price);
            profit = Math.max(profit, price - cost);
        }
        return profit;   
    }
}