SVD分解总结

SVD分解总结

该文章介绍的是SVD的原理，具体求解目前有很多现成算法如C++的Eigen库等，自己代码实现可以参考开源算法，按文章里求特征值平方根或者先求UV矩阵再求\Sigma矩阵的方法，由于特征向量不全为正，会得到错误的结果。

1.特征值和特征向量

定义$：$$Ax=\lambda x$,A是一个$n\times n$矩阵，x是一个n维向量，则$\lambda$是矩阵A的一个特征值，而x是矩阵A的特征值$\lambda$所对应的特征向量。

求出了A的特征值和特征值对应的特征向量之后，矩阵A就可以用下面的特征分解表示：

$$A=W\Sigma W^{-1}$$

其中W是n个特征向量所张成的$n\times n$矩阵，而$\Sigma$是n个特征值为主对角线的$n\times n$矩阵。

将W的n个特征向量标准化后，W的n个特征向量为标准正交基，满足$W^{T}W=I$,也就是W为正交矩阵。这样特征分解的表达式就可以写成

$$A=W\Sigma W^T$$

当A为方阵时我们可以进行特征值分解，当A不是方阵，我们就可以用SVD奇异值分解了。

2.SVD定义

假设A是一个mxn的矩阵，定义A的SVD分解为：

$$A=U\Sigma V^T$$

其中U是一个mxm的方阵，$\Sigma$是一个mxn的对角线矩阵，元素为A的奇异值，V是一个nxn的方阵。UV都是正交矩阵，如图所示：

那么$U,\Sigma ,V$如何求出呢？
我们将A的转置和A做乘法，就可以得到一个nxn的方阵$A^{T}A$，对这个方阵进行特征分解就可以得到n个特征向量，将n个特征向量张成一个nxn的矩阵就是我们SVD分解中的矩阵V，一般将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量。

而将A和A的转置做乘法，可以得到一个mxm的方阵$A{A}^T$对这个方阵做同样处理就可以得到我们SVD分解中的U矩阵，一般将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

还剩下奇异值矩阵$\Sigma$，做

$$\begin{gathered} A=U\Sigma V^T\Rightarrow AV=U\Sigma V^{T}V=U\Sigma \\ A{v}_i={\sigma }_i{u}_i\Rightarrow {\sigma }_i=A{v}_i/u_i \end{gathered}$$

这样就可以求得奇异值矩阵$\Sigma$

还有一个问题，$A^{T}A$的特征向量组成是V矩阵，$A{A}^T$的特征向量组成是U矩阵，这个结论是怎么来的呢？以V矩阵的证明为例：

$${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$$

这样就可以用$A^{T}A$的特征值取平方根来求奇异值。