L
=
∫
a
b
1
+
(
y
′
)
2
d
x
L=\int_a^b\sqrt {1+(y')^2}dx
L=∫ab1+(y′)2dx
参数方程求法：
L
=
∫
a
b
x
′
(
t
)
2
+
y
′
(
t
)
2
d
t
L=\int_a^b\sqrt {x'(t)^2+y'(t)^2}dt
L=∫abx′(t)2+y′(t)2dt(这里ab是t的取值范围)
S
=
∫
b
a
∣
y
1
(
x
)
−
y
2
(
x
)
∣
d
x
S=\int_b^a|y_1(x)-y_2(x)|dx
S=∫ba∣y1(x)−y2(x)∣dx
S
=
1
2
∫
θ
1
θ
2
∣
r
=
r
1
(
θ
)
2
−
r
2
(
θ
)
2
∣
d
x
S=\frac12\int_{θ_1}^{θ_2}|r=r_1(θ)^2-r_2(θ)^2|dx
S=21∫θ1θ2∣r=r1(θ)2−r2(θ)2∣dx
重点在于如何积分？
积分时要注意一开始根据自己的需要写好
∫
b
a
\int^a_b
∫ba的值是x(t)函数的值，而dx也要带入x(t)方程，然后把求导移出，变成dt。再依据x(t)的关系把
∫
\int
∫内的值改成t的取值范围。
质心(x0,y0),沿着x0或者y0可以把图形分割成面积相等的两部分，列出一个方程即可。
L
=
2
π
∫
a
b
y
1
+
(
y
′
)
2
d
x
L=2π\int_a^by\sqrt {1+(y')^2}dx
L=2π∫aby1+(y′)2dx
参数方程求法：
L
=
2
π
∫
a
b
y
(
t
)
x
′
(
t
)
2
+
y
′
(
t
)
2
d
t
L=2π\int_a^by(t)\sqrt {x'(t)^2+y'(t)^2}dt
L=2π∫aby(t)x′(t)2+y′(t)2dt(这里ab是t的取值范围，记得求导数，而且里面的函数是一体的，我之前在这里出现了两个计算错误)
对称图形的旋转这里有一个细节，千万注意别多计算了对称部分的体积。很容易有时候算成两倍或者四倍体积之类的。
V
=
∫
b
a
π
y
(
x
)
2
d
x
V=\int^a_bπy(x)^2dx
V=∫baπy(x)2dx
微元是该几何体的一个截面圆的面积，y(x)是该截面圆的半径(如果是平性与x的轴就重新计算半径即可)。
V = ∫ b a π ∣ y 1 ( x ) 2 − y 2 ( x ) 2 ∣ d x V=\int^a_bπ|y_1(x)^2-y_2(x)^2|dx V=∫baπ∣y1(x)2−y2(x)2∣dx(结合上一条和面积第一条可以推导出)
V
=
2
π
∫
b
a
x
∣
y
(
x
)
∣
d
x
V=2π\int^a_bx|y(x)|dx
V=2π∫bax∣y(x)∣dx
微元部分为长方行的面积，x为底边长，|y(x)|为高。乘上2π成为一个甜甜圈的外环。
y ( ξ ) = ∫ b a y ( x ) d x b − a y(ξ)=\frac{\int_b^ay(x)dx}{b-a} y(ξ)=b−a∫bay(x)dx(积分中值定理,ξ可以在[a,b]区间找到至少一点满足该条件)
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