09 第九节 欧拉方程

变系数的线性微分方程，一般说来都是不容易求解的. 但是有些特殊的变系数线性微分方程，则可以通过变量替换化为常系数的线性微分方程，因而容易求出其解，欧拉方程就是其中的一种.

分布图示

★ 欧拉方程

★ 例1

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内容要点

形如

xny(n)p1xn1y(n1)pn1xypnyf(x) (9.1) 的方程称为欧拉方程, 其中p1,p2,,pn为常数.

欧拉方程的特点是： 方程中各项未知函数导数的阶数与其乘积因子自变量的幂次相同. 作变量替换 xet 或 tlnx,

将上述变换代入欧拉方程, 则将方程(9.1)化为以t为自变量的常系数线性微分方程, 求出该方程的解后, 把t换为lnx, 即得到原方程的解. 如果采用记号D表示对自变量t求导的运算

xyDy, x2yD(D1)y，

x3y(D33D22D)yD(D1)(D2)y，

d, 则上述结果可以写为 dt一般地，有

xky(k)D(D1)(Dk1)y. (9.2)

例题选讲

例1（E01）求欧拉方程x2yxy6lnx1的通解. x解 作变量替换xet或tlnx,则题设方程化为

d2yD(D1)yDy6te,即26tet.

dtt两次积分，可求得其通解为yC1C2tt3et.

1代回原来变量，得原方程的通解yC1C2lnx(lnx)3.

x

例2（E02）求欧拉方程x3yx2y4xy3x2的通解. 解 作变量变换xet或tlnx,原方程化为

D(D1)(D2)yD(D1)y4Dy3e2t,

d3yd2ydy即Dy2Dy3Dy3e 或32233e2t. (1)

dtdtdt322t方程(1)所对应的齐次方程的特征方程 r32r23r0, 求得特征根r10,r21,r33,故所以齐次方程的通解

YC1C2etC3e3tC1设特解y*be2t2C2C3x3. xx21bx,代入原方程得b,即y*,故所求欧拉方程的通解为

22C1yC12C3x3x2.

x2

例3 设有方程 (1x)yx0[2y(1x)2y]dxln(1x),(x0),y(0)0,

求由此方程所确定的函数y(x). 解 将方程两边对x求导，整理后得 (1x)2y(1x)yy1,且有y(0)0,y(0)0, 1x这是欧拉方程,令1xet或tln(1x),将它化为常系数非齐次线性微分方程

d2ydy2yet, 2dtdt1其通解为y(C1C2t)etet,故原方程的通解为

4y[C1C2ln(1x)](1x)1,

4(1x)由初始条件y(0)0,y(0)0,可求得

11C1,C2,

24故由题设方程确定的函数为

111yln(1x)(1x).

424(1x)

课堂练习

求下列欧拉方程的通解: 1.x2yxy4y3x; 2.y2yy2; xx2x3.xyxy4y3x; 4.xyxyy2coslnx.

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欧拉（Euler，1707~1783）

欧拉，瑞士数学家及自然科学家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。

欧拉出生於牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣是是数学。在上大学时，他已受到约翰第一。伯努利的特别指导，专心研究数学，直到18岁，他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学，於19岁时(1726年)开始创作文章,并获得巴黎科学院奖金.1727年,在丹尼尔.伯努利的推荐下,到俄国的彼得堡科学院从事研究工作.并在1731年接替丹尼尔第一.伯努利,成为物理学教授.在俄国的14年中,他努力不懈地投入研究,在分析学、数论及力学方面均有出色的表现。此外，欧拉还应俄国政府的要求，解决了不少如地图学、造船业等的实际问题。1735年，他因工作过度以致右眼失明。在1741年，他受到普兽士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职。他在柏林斯间，大大的扩展了研究的内容，如行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等，这些工作与他的数学研究互相推动着。与此同时，他在微分方程、曲面微分几何及其他数学领域均有开创性的发现。

1766年，他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明。但以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作。他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻。

欧拉是18世记数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都成为数学中的经典著作。

欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分支（如无穷级数、微分方程等）的产生与发展奠定了基础。欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目。他计算出函数在偶数点的值：他证明了a2k是有理数，而且可以伯努利数来表示。此外，他对调和级数亦有所研究，并相当精确的计算出欧拉常数的值，其值近似为0.57721566490153286060651209…

在18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理方面的问题过程中，创立了微分方程学。当中，在常微分方程方面，他完整地解决了n阶常系数为线性齐次方程的问题，对於非齐次方程，他提出了一种降低方程阶的解法；而在偏微分方程方面，欧拉将二维物体振动的问题，归结出一、二、三维波动方程的解法。欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程在纯数学研究中的第一篇论文。

在微分几何方面（微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支），欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式。在1766年，他出版了《关于曲面上曲线的研究》，这是欧拉对微分几何最重要的贡献，更是微分几何发展史上一个里程碑。他将曲面表为zf(x,y),并引入一系列标准符号以表示z对x,y和偏导数，这些符号至今仍通用。此外，在该著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式。欧拉在分析学上的贡献不胜牧举，如他引入了G函数和B函数，这证明了椭圆积分的加法定理，以及最早引入二重积分等等。

在代数学方面，他发现了每个实系数多项式必分解为一次或二次因子之积，即a+bi的形式。欧拉还给出了费马小定理的三个证明，并引入了数论中重要的欧拉函数(n)，他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分支。欧拉又用解析方法讨论数论问题，发现了函数所满足的函数方程，并引入欧拉乘积。而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥问题。

欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。