2018-2019学年无锡市宜兴市丁蜀学区八年级下期中数学试卷含解析

一．选择题（每题3分，共10小题，共30分．）

1．下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

2．使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）

A．x＝1 B．x≠1 C．x＞1

D．x≥1

3．在、、、、、

中，分式的个数有（ ）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

4．下列调查中，适合普查的是（ ） A．一批手机电池的使用寿命

B．中国公民保护环境的意识

C．你所在学校的男、女同学的人数 D．端午节期间苏州市场上粽子的质量 5．下列命题中的假命题是（ ） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形

B．一组邻边相等的矩形是正方形

C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

6．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（

A．75° B．60° C．55° D．45°

7．下列运算正确的是（ ） A．

＝

B．

＝

C．＝x+y D．＝

）8．若2＜x＜3，那么A．1

+B．2x﹣5

的值为（ ）

C．1或2x﹣5

D．﹣1

9．下列说法：①在一个装有2白球和3个红球的袋中摸3个球，摸到红球是必然事件．②若

③＝﹣1﹣2a，则a≥﹣；

其中正确的有（ ）个． A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

和

是同类二次根式；④分式

是最简分式；

10．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3．若h1＝2，h2＝1，则正方形ABCD的面积为（ ）

A．9 B．10 C．13 D．25

二．填空题（每空2分，共18分） 11．当x＝ 时，分式

无意义；当x＝ 时，分式的值为0．

12．平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100゜，则∠B＝ ．

13．一个袋中装有6个红球，4个黄球，1个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 球的可能性最大．

14．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：

每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 100 85 0.850 400 300 0.750 800 652 0.815 1 000 793 0.793 2 000 1 604 0.802 4 000 3204 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 15．在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是 ．

16．请写出一个同时满足下列条件的分式：（1）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠2；（3）当x＝0时，分式的值为﹣1．你所写的分式为 ． 17．已知xy＞0，则化简代数式x

的结果是 ．

18．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为 ．

三．解答题：（共72分） 19．（8分）计算：①（3﹣20．（8分）计算： （1）

﹣

）（3+

）+

（2﹣

） ②

÷

﹣

×

+

（2）﹣（a+1）

21．（8分）“摩拜单车”公司调查无锡市民对其产品的了解情况，随机抽取部分市民进行问卷，结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型，分别记为A、B、C、D．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

（1）本次问卷共随机调查了 名市民，扇形统计图中m＝ ． （2）请根据数据信息补全条形统计图．

（3）扇形统计图中“D类型”所对应的圆心角的度数是 ．

（4）从这次接受调查的市民中随机抽查一个，恰好是“不了解”的概率是 ． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标都在格点上，且ABC关于原点O成中心对称．

与△

（1）请直接写出A1的坐标 ；并画出

．

（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+2，b﹣6），请画出平移后的△A2B2C2． （3）若

和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ．

23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE． 求证：四边形BECD是矩形．

24．（12分）【问题情境】

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】

（1）证明：AM＝AD+MC；

（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

25．（10分）如图，直线l1：y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣6交于点C（4，2）．

（1）点A坐标为（ ， ），B为（ ， ）；

（2）在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形；

（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

2018-2019学年江苏省无锡市宜兴市丁蜀学区八年级（下）期

中数学试卷

参与试题解析

一．选择题（每题3分，共10小题，共30分．）

1．下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选：A．

【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．使二次根式A．x＝1

有意义的x的取值范围是（ ）

B．x≠1

C．x＞1

D．x≥1

【分析】根据二次根式的被开方数为非负数可得出关于x的一次不等式，解出即可得出x的范围．【解答】解：∵二次根式∴可得x﹣1≥0， 解得x≥1． 故选：D．

【点评】此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数． 3．在、、A．2个

、

、B．3个

、

中，分式的个数有（ ）

C．4个

D．5个

有意义，

【分析】根据分式的定义对各式进行逐一判断即可．

【解答】解：在、故选：B．

、的分母中含有字母，属于分式，

【点评】本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式是解答此题的关键． 4．下列调查中，适合普查的是（ ） A．一批手机电池的使用寿命 B．中国公民保护环境的意识

C．你所在学校的男、女同学的人数 D．端午节期间苏州市场上粽子的质量

【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断即可．

【解答】解：一批手机电池的使用寿命适合抽样调查； 中国公民保护环境的意识适合抽样调查； 你所在学校的男、女同学的人数适合普查； 端午节期间苏州市场上粽子的质量适合抽样调查， 故选：C．

【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5．下列命题中的假命题是（ ） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．一组邻边相等的矩形是正方形

C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项．

【解答】解：A、根据菱形的判定定理，正确； B、根据正方形和矩形的定义，正确； C、符合平行四边形的定义，正确；

D、错误，可为不规则四边形． 故选：D．

【点评】本题考查菱形、矩形和平行四边形的判定与命题的真假区别．

6．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ）

A．75° B．60° C．55° D．45°

【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE，

∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°； 故选：B．

【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 7．下列运算正确的是（ ） A．

＝

B．

＝

C．＝x+y D．＝

【分析】根据分式的基本性质即分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：A、

＝﹣

，故本选项错误；

B、，不能约分，故本选项错误；

C、，不能约分，故本选项错误；

D、故选：D．

＝＝，故本选项正确；

【点评】此题考查了分式的性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0． 8．若2＜x＜3，那么A．1 【分析】根据

+B．2x﹣5 ＝|a|＝

的值为（ ）

C．1或2x﹣5

，进而化简求出即可．

D．﹣1

【解答】解：∵2＜x＜3， ∴2﹣x＜0，3﹣x＞0， ∴故选：A．

【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确记忆公式是解题关键．

9．下列说法：①在一个装有2白球和3个红球的袋中摸3个球，摸到红球是必然事件．②若

③＝﹣1﹣2a，则a≥﹣；

其中正确的有（ ）个． A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

和

是同类二次根式；④分式

是最简分式；

+

＝x﹣2+3﹣x＝1．

【分析】根据必然事件的定义，二次根式的性质，最简分式的定义以及同类二次根式的定义进行判断．

【解答】解：①在一个装有2白球和3个红球的袋中摸3个球，摸到红球是必然事件，正确． ②若③

＝

，

＝﹣1﹣2a，则a≤﹣，错误； ＝3

，是同类二次根式，正确；

④分式故选：C．

是最简分式，正确；

【点评】本题主要考查了随机事件、二次根式以及命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

10．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3．若h1＝2，h2＝1，则正方形ABCD的面积为（ ）

A．9 B．10 C．13 D．25

【分析】正方形ABCD的面积为边长的平方，所以只要能求边长的平方即可；作辅助线构建全等三角形，证明△ABN≌△CDG（AAS），则AN＝CG，AM＝CH＝h2+h3，即h1＝h3＝2，BN＝2+1＝3，利用勾股定理求出AB的平方，可得结论．

【解答】解：过A点作AM⊥l3分别交l2、l3于点N、M，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，

∵四边形ABCD是正方形，l1∥l2∥l3∥l4， ∴AB＝CD，∠ABN+∠HBC＝90°， ∵CH⊥l2，

∴∠BCH+∠HBC＝90°， ∴∠BCH＝∠ABN， ∵∠BCH＝∠CDG， ∴∠ABN＝∠CDG， ∵∠ANB＝∠CGD＝90°， 在△ABN和△CDG中，

，

∴△ABN≌△CDG（AAS）， ∴AN＝CG，AM＝CH＝h2+h3， 即h1＝h3＝2，BN＝2+1＝3，

在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB2＝AN2+BN2＝22+32＝13，

则正方形ABCD的面积＝AB2＝13； 故选：C．

【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、正方形的面积，同时利用了同角的余角相等证明两角相等，为全等创造了条件，此方法在直角三角形经常运用，要熟练掌握．

二．填空题（每空2分，共18分） 11．当x＝ 1 时，分式

无意义；当x＝ ﹣3 时，分式

的值为0．

【分析】依据“分式的分母为零时分式无意义”和“当分式的分子为零且分母不为零时分式的值为0”分别求出x的值即可． 【解答】解：

当x﹣1＝0，即x＝1时分式

无意义；

当时，分式的值为0，解得x＝﹣3；

故填：1；﹣3．

【点评】本题主要考查分式有意义及分式的值为零的条件，注意分式的值为零需要满足分式有意义．

12．平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100゜，则∠B＝ 130° ．

【分析】根据平行四边形的性质可得∠A＝∠C，又有∠A+∠C＝100°，可求∠A＝∠C＝50°．又因为平行四边形的邻角互补，所以，∠B+∠A＝180°，可求∠B． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C，又∠A+∠C＝100°， ∴∠A＝∠C＝50°， 又∵AD∥BC，

∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130°．

【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，熟练掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．

13．4个黄球，1个白球，一个袋中装有6个红球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到 红 球的可能性最大．

【分析】先求出总球的个数，再分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性最大．

【解答】解：∵袋中装有6个红球，4个黄球，1个白球， ∴总球数是：6+4+1＝11个， ∴摸到红球的概率是＝摸到黄球的概率是摸到白球的概率是

； ；

；

∴摸出红球的可能性最大． 故答案为：红．

【点评】本题主要考查可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可，求比例时，应注意记清各自的数目．

14．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下：

每批粒数 发芽的频数 发芽的频率 100 85 0.850 400 300 0.750 800 652 0.815 1 000 793 0.793 2 000 1 604 0.802 4 000 3204 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为 0.8 （精确到0.1）．

【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.8左右，从而得到结论． 【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.8左右， ∴该玉米种子发芽的概率为0.8， 故答案为：0.8．

【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．

15．在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是 20 ．

【分析】AC与BD相交于点O，如图，根据菱形的性质得AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝4，OA＝

OC＝AC＝3，AB＝BC＝CD＝AD，则可在Rt△AOD中，根据勾股定理计算出AD＝5，于是可得菱形ABCD的周长为20．

【解答】解：AC与BD相交于点O，如图， ∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝4，OA＝OC＝AC＝3，AB＝BC＝CD＝AD， 在Rt△AOD中，∵OA＝3，OB＝4， ∴AD＝

＝5，

∴菱形ABCD的周长＝4×5＝20． 故答案为20．

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

16．请写出一个同时满足下列条件的分式：（1）分式的值不可能为0；（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠2；（3）当x＝0时，分式的值为﹣1．你所写的分式为 【分析】（1）分式的分母不为零、分子不为零； （2）分式有意义，分母不等于零；

（3）将x＝0代入后，分式的分子、分母互为相反数． 【解答】解：（1）分式的分子不等于零；

（2）分式有意义时，x的取值范围是x≠2，即当x＝2时，分式的分母等于零； （3）当x＝0时，分式的值为﹣1，即把x＝0代入后，分式的分子、分母互为相反数． 所以满足条件的分式可以是：

；

．

故答案是：．

【点评】本题考查了分式的值、分式有意义的条件、分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 17．已知xy＞0，则化简代数式x

的结果是 ﹣ ．

【分析】首先判断出x，y的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案． 【解答】解：∵xy＞0，且∴x＜0，y＜0， ∴x

＝x•

＝﹣．

．

有意义，

故答案为：﹣

【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 18．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝∠ABE＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则AM+BM+CM的最小值为 4

．

【分析】根据“两点之间线段最短”，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．

【解答】解：如图，连接MN，∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°． ∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN． 即∠MBA＝∠NBE． 又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS），

∴AM＝EN，

∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形． ∴BM＝MN．

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．

根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长， 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝180°﹣120°＝60°， ∵BC＝4， ∴BF＝2，EF＝2∵EF2+FC2＝EC2， EC＝4

．

，在Rt△EFC中，

故答案为：4

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题和旋转的问题． 三．解答题：（共72分） 19．（8分）计算：①（3﹣

）（3+

）+

（2﹣

） ②

÷

﹣

×

+

【分析】①原式利用平方差公式和乘法分配律计算，再计算加减可得； ②先计算乘除，再合并同类二次根式即可得． 【解答】解：①原式＝32﹣（＝9﹣7+2＝2 ②原式＝＝

﹣

+2

﹣

+2

；

﹣2

）2+2

﹣2

＝4+．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．

20．（8分）计算： （1）

﹣

（2）﹣（a+1）

【分析】（1）利用同分母分式加减运算法则计算，再约分即可得； （2）先通分，再根据加减法则计算可得． 【解答】解：（1）原式＝

（2）原式＝

﹣

＝

． ＝

＝

；

【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算顺序和运算法则． 21．（8分）“摩拜单车”公司调查无锡市民对其产品的了解情况，随机抽取部分市民进行问卷，结果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型，分别记为A、B、C、D．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

（1）本次问卷共随机调查了 50 名市民，扇形统计图中m＝ 32 ． （2）请根据数据信息补全条形统计图．

（3）扇形统计图中“D类型”所对应的圆心角的度数是 43.2° ． （4）从这次接受调查的市民中随机抽查一个，恰好是“不了解”的概率是

．

【分析】（1）根据A类型的人数和所占的百分比求出随机调查的总人数，用C类型的人数除以总人数即可求出m的值；

（2）用总人数乘以B类型的人数所占的百分比求出B类型的人数，从而补全统计图； （3）用360°乘以“D类型”所占的百分比即可；

（4）用“不了解”的人数除以总人数即可得出“不了解”的概率． 【解答】解：（1）本次问卷共随机调查的市民数是：8÷16%＝50（人）， m%＝

×100%＝32%，

故扇形统计图中m＝32； 故答案为：50，32；

（2）根据题意得： 50×40%＝20（人）， 补全条形统计图如图所示：

（3）扇形统计图中“D类型”所对应的圆心角的度数是：360°×故答案为：43.2°；

（4）从这次接受调查的市民中随机抽查一个，恰好是“不了解”的概率是故答案为：

．

＝

；

＝43.2°；

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接

反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．

22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标都在格点上，且ABC关于原点O成中心对称．

（1）请直接写出A1的坐标 （3，﹣4） ；并画出

．

与△

（2）P（a，b）是△ABC的AC边上一点，将△ABC平移后点P的对称点P'（a+2，b﹣6），请画出平移后的△A2B2C2． （3）若

和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 （1，﹣3） ．

【分析】（1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移规律得出△ABC平移后的位置； （3）利用所画三角形连接对应点得出对称中心．

【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1（3，﹣4）； 故答案为：（3，﹣4）；

（2）如图所示：△A2B2C2即为所求；

（3）如图所示：中心对称点O′的坐标为：（1，﹣3）． 故答案为：（1，﹣3）．

【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．

23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE． 求证：四边形BECD是矩形．

【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC＝90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．

【解答】证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD＝CD． ∵四边形ABED是平行四边形， ∴BE∥AD，BE＝AD， ∴BE＝CD，

∴四边形BECD是平行四边形． ∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴▱BECD是矩形．

【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 24．（12分）【问题情境】

如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】

（1）证明：AM＝AD+MC；

（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】

（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

【分析】（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD＝CN，只需证明AM＝NM即可．

（2）作FA⊥AE交CB的延长线于点F，易证AM＝FM，只需证明FB＝DE即可；要证FB＝DE，只需证明它们所在的两个三角形全等即可．

（3）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM＝AD+MC仍然成立；在图2（2）中，采用反证法，并仿照（2）中的证明思路即可证到AM＝DE+BM不成立． 【解答】方法一：

（1）解：如图1（1）过点E作EF⊥AM交AM于F点，连接EM， ∵AE平分∠DAM ∴∠DAE＝∠EAF 在△ADE和△AEF中， AE＝AE

∠D＝∠AFE＝90° ∴△ADE≌△AEF

∴AD＝AF，EF＝DE＝EC， 在△EFM和△ECM中，

∠EFM＝∠C EM＝EM EF＝CE

∴△EFM≌△ECM，

∴FM＝MC，AM＝AF+FM＝AD+MC 方法二：

证明：延长AE、BC交于点N，如图1（2）， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠ENC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE＝∠MAE． ∴∠ENC＝∠MAE． ∴MA＝MN．

在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE（AAS）． ∴AD＝NC． ∴MA＝MN＝NC+MC ＝AD+MC．

（2）AM＝DE+BM成立． 方法一：

证明：将△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到新△ABF，如图1（3） ∴BF＝DE，∠F＝∠AED． ∵AB∥DC， ∴∠AED＝∠BAE．

∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM，

∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM+∠EAM＝∠BAM+∠FAB＝∠FAM． ∴∠F＝∠FAM．

∴AM＝FM．

∴AM＝FB+BM＝DE+BM 方法二：

证明：过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图1（4）所示． ∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC． ∵AF⊥AE， ∴∠FAE＝90°．

∴∠FAB＝90°﹣∠BAE＝∠DAE． 在△ABF和△ADE中，

∴△ABF≌△ADE（ASA）． ∴BF＝DE，∠F＝∠AED． ∵AB∥DC， ∴∠AED＝∠BAE．

∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM， ∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM+∠EAM ＝∠BAM+∠FAB ＝∠FAM． ∴∠F＝∠FAM． ∴AM＝FM．

∴AM＝FB+BM＝DE+BM．

（3）①结论AM＝AD+MC仍然成立． 证明：延长AE、BC交于点P，如图2（1），

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠EPC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE＝∠MAE． ∴∠EPC＝∠MAE． ∴MA＝MP．

在△ADE和△PCE中，

∴△ADE≌△PCE（AAS）． ∴AD＝PC． ∴MA＝MP＝PC+MC ＝AD+MC．

②结论AM＝DE+BM不成立． 证明：假设AM＝DE+BM成立．

过点A作AQ⊥AE，交CB的延长线于点Q，如图2（2）所示．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB∥DC． ∵AQ⊥AE，

∴∠QAE＝90°．

∴∠QAB＝90°﹣∠BAE＝∠DAE． ∴∠Q＝90°﹣∠QAB ＝90°﹣∠DAE ＝∠AED． ∵AB∥DC， ∴∠AED＝∠BAE．

∵∠QAB＝∠EAD＝∠EAM， ∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM+∠EAM ＝∠BAM+∠QAB ＝∠QAM． ∴∠Q＝∠QAM． ∴AM＝QM． ∴AM＝QB+BM． ∵AM＝DE+BM， ∴QB＝DE．

在△ABQ和△ADE中，

∴△ABQ≌△ADE（AAS）． ∴AB＝AD．

与条件“AB≠AD“矛盾，故假设不成立． ∴AM＝DE+BM不成立．

【点评】本题考查了正方形及矩形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义等知识，考查了基本模型的构造（平行加中点构造全等三角形），考查了反证法的应用，综合性比较强．添加辅助线，构造全等三角形是解决这道题的关键． 25．（10分）如图，直线l1：y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线l2：y＝kx﹣6交于点C（4，2）．

（1）点A坐标为（ 8 ， 0 ），B为（ 0 ， 4 ）；

（2）在线段BC上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线l2于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，四边形OBEF是平行四边形；

（3）若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线l1的解析式，再分别令直线l1的解析式中x＝0、y＝0求出对应的y、x值，即可得出点A、B的坐标；

（2）由点C的坐标利用待定系数法即可求出直线l2的解析式，结合点E的横坐标即可得出点E、F的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论； （3）分AB为边和AB为对角线两种情况讨论．当AB为边时，根据菱形的性质找出点P的坐标，结合A、B的坐标即可得出点Q的坐标；当AB为对角线时，根据三角形相似找出点P的坐标，再根据菱形对角线互相平分即可得出点Q的坐标．综上即可得出结论． 【解答】解：（1）将点C（4，2）代入y＝﹣x+b中， 得：2＝﹣2+b，解得：b＝4， ∴直线l1为y＝﹣x+4． 令y＝﹣x+4中x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）；

令y＝﹣x+4中y＝0，则x＝8， ∴A（8，0）．

故答案为：8；0；0；4．

（2）∵点C（4，2）是直线l2：y＝kx﹣6上的点， ∴2＝4k﹣6，解得：k＝2， ∴直线l2为y＝2x﹣6．

∵点E的横坐标为m（0≤m≤4）， ∴E（m，﹣ m+4），F（m，2m﹣6）， ∴EF＝﹣m+4﹣（2m﹣6）＝10﹣m．

∵四边形OBEF是平行四边形， ∴BO＝EF，即4＝10﹣m， 解得：m＝故当m＝

．

时，四边形OBEF是平行四边形．

（3）假设存在．

以P、Q、A、B为顶点的菱形分两种情况： ①以AB为边，如图1所示． ∵点A（8，0），B（0，4）， ∴AB＝4

．

∵以P、Q、A、B为顶点的四边形为菱形， ∴AP＝AB或BP＝BA． 当AP＝AB时，点P（8﹣4

，0）或（8+4

，0）；

当BP＝BA时，点P（﹣8，0）． 当P（8﹣4当P（8+4

，0）时，Q（8﹣4，0）时，Q（8+4

﹣8，0+4），即（﹣4﹣8，0+4），即（4

，4）；

，4）；

当P（﹣8，0）时，Q（﹣8+8﹣0，0+0﹣4），即（0，﹣4）． ②以AB为对角线，对角线的交点为M，如图2所示． ∵点A（8，0），B（0，4）， ∴M（4，2），AM＝AB＝2∵PM⊥AB，

∴∠PMA＝∠BOA＝90°， ∴△AMP∽△AOB， ∴

，

．

∴AP＝5，

∴点P（8﹣5，0），即（3，0）． ∵以P、Q、A、B为顶点的四边形为菱形， ∴点Q（8+0﹣3，0+4﹣0），即（5，4）．

综上可知：若点P为x轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点Q，使得P、Q、A、B四个点

能构成一个菱形，此时Q点坐标为（﹣4，4）、（4，4）、（0，﹣4）或（5，4）．

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）找出关于m的一元一次方程；（3）分AB为边或对角线考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，充分利用平行四边形和菱形的性质是解题的关键．