第一章《集合与简单逻辑》提高测试题(一)1

(一)选择题(每小题5分，共30分)

1 .已知I为全集，集合M, Nm,若M N = N，则(

(A) IM—IN (C) I M 二 I N

(B) M—iN (D) M 二 I N

).

【提示】本题涉及 M、N、I、IM、 IN五个集合之间的关系，若直接应用逻辑推理较为抽象，我们用 文氏图表示出各集合的关系，答案一目了然. 【答案】(A).

2 .三个关于 x 的方程 x2 + ax+ 4 = 0, x2+( a— 1) x + 16 = 0, x2 + 2 ax+ 6 a+ 16 = 0 至少有一个方 程有实根，则实数 a的取值范围是(

).

(A)— 4< aw 4 (C) a< — 2 或 a > 4

(B) — 2 v av 4 (D) a v 0

【提示】“三个方程至少有一个方程有实数” 等价于“三个判别式至少有一个大于等于 0”所以本题是 求集合{ a | a2 —16 > 0} ； {a |( a — 1) 2— > 0 ；； {a | 4 a2— 4 (6 a +16 )> 0}的并集，而不是 交集，即不是解不等式组

a2 -16X0 <(a_1)2 _兰0 4a2 -4(6a +16)兰 0.

【答案】(C).

3 .条件甲：P Q= P,条件乙： P Q, 那么(

(A) 甲是乙的充分而不必要条件 (B) 甲是乙的必要而不充分条件 (C) 甲是乙的充分且必要条件

(D) 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.

【提示】由P Q = P,则既可能P二Q,也可能P= Q,因而得不出甲=乙，但由P耳Q,必有P Q = P,因而乙=甲. 【答案】(B).

4 .已知 M ={ x I x = a2 + b2, a、b 都为整数}, N ={ x I x = X1 X2, X1, X2 - M}.则下列正确的为 ( ).

(A) M N

(B) M二 N

(C) M = N

( D) M N =- ).

【提示】N ={ x I( a12 + b12) ( a22 + b22), a1, b1, a2, b^ Z}

={ x |( a1a2 + b1b2)2 +( a〔b2 — a2b1)2, (a〔a2 + b1 b2), (a〔b2— a2b1) e Z}

【答案】(C).

5.已知 A= {(x, y) I ax — y2 + b = 0}, B= {(x, y) I x2 — ay — b = 0}, (1, 2) - A B，则(

(A) a=— 3, b=— 7 (C) a=— 3, b= 7

(B) a = 3, b=— 7 (D) a = 3, b = 7

).

【提示】(1, 2) A B 则(1 , 2) • A 且(1 , 2) • B • 【答案】(C )•

6.已知 A ={ y I y= x2 — 2 x+ 3, x^R}, B={ y I y=x — 7,

R贝U A^B 等于(

).

(A) {( 4 , — 3), (— 1,— 8)}

(C) {y I y = — 3或—8}

(B) {y I y > 2}

(D )以上答案都不对

【提示】A ={ y I y》2}, B ={ y I y = R} = R. 【答案】(B).

(二)填空题(每小题5分，共30分)

1 .已知x、y、z为非零实数，用列举法将 —+ 丄 + — + 型 +

xyz

的所有可能值构成的集合

|x| |y| |z| |xy| |xyz|

表示出来为 __________________ . 【提示】按x、y、z的正、负分类讨论. 【答案】{— 3, — 1, 1, 5}.

2 . 1 , 2，…，1000中，既不是2的倍数，又不是5的倍数的数有 ________________ 个.

【提示】设A = {x I x是2的倍数且1 < xW 1000 }, B = {x I x是5的倍数且1 W xW 1000 }, I= {1 , 2, 3，…，1000 },则 lA IB = I (An B). 【答案】400 .

3 .集合M ={ 1 , 2 , 3}的所有非空子集的元素和为 __________________ . 【提示】可先写出 M的所有非空子集，再算元素和；也可先计算每个元素算了几遍. 【答案】24 .

4 .已知集合 A ={ x I x2+( p— 2) x +1 = 0 }； A^R + =0,则实数p的取值范围是 ____________________ . 【提示】“A R + =⑺\"：=“ v0或X1 v0, X2< 0”所以本题是求集合{ p I v0} , { p I X1< 0,

X2 v 0}的并集，其中{ p I v 0} , { p I X1V 0 , X2V 0} ={ p I X1 + X2V 0,且 X1X2V 0}= 一.

【答案】0 v pv 4.

5 .若不等式|x + 1| > kx对x^R恒成立，则X的取值范围是 ___________________ . 【提示】将本题转化为函数问题解决，设 =kx为过原点的直线. 【答案】0v kv 1或k>— 1.

6.如果全集l={ x I X为小于20的非负偶数}，并且AnCIB ={ 4, 8, 16}, CAa B={ 10, 14, 18 }, 臥逍旧=0 ，则集合 IA

IB = _______________ .

y1 = |x +1|, y2 = kx，易知y1 = |x+ 1|的图象为一条折线，y2

【提示】将本题所涉及的集合用文氏图表示出来，则其中的关系会直观地显示出来.如图

4

(三)解答题(每小题10分，共40分)

1 •已知 A ={ x I x2— 3 x + 2w 0}, B ={ x I x2—( a+ 1) x + a< 0}.

(1) 若A—B，求a的取值范围； (2) 若B A，求a的取值范围；

(3) 若A B中只含有一个元素，求 a的数值.

【解】A ={ x I x2 — 3 x + 2< 0} = { x I 1w xw 2} {x|1 Ex 兰a}(当

B ={ x I x2—( a+1) x + aw0} = /

a^1时)

{ x | a兰x兰1}(当a c 1时)

t r

(1) V A B

••• a> 1 •

将A与B在同一数轴上表示出来，得：

a> 2 •

(2) v B A

• a> 1 •

将A与B在同一数轴上表示为：

• 1 w av 2 •

(3) v 1 A、1 B, A B中只含一个元素 • A B ={ 1} 2 .解不等式 |X|—|X— 2| > 1 •- aw 1 • •

【解】|x|— |x — 2| > 1

x工2 2 gx^丿 或“ 或丿

、x-(x-2)>1 、x—(2—x)>1

2 x> 2 或 vx v 2

或 x ■

3

x兰0

厂x_(2_x) A1

不等式|x| — |x — 2| > 1的解集为{ x I x >2或 V xv 2 } •

3

2

{x I x> •

3 60 3 •用反证法证明：任意三角形中至少有一个角不大于 °

2

【提示】已知△ ABC的三个内角分别为/ A、/ B、/ C

求证：/ A、/ B、/ C中至少有一个角不大于 60 ° . 【证明】假设/ A、/ B、/ C均大于60 °

••• / A +/ B+Z C>60 ° 3

即 / A +/ B+Z C> 180。，这与三角形内角和为180。矛盾. 所以假设不成立，即原命题成立.

4 •已知二次方程x2 + px+ q = 0有两个不等实根 10 }, M={

、，集合A ={ 1 , 3 , 5, 7,9}, B ={ 1 , 4,7,

,

}，且 M^A = 0 , M^B = M，求 p、q.

【提示】借助于文氏图表示集合

【答案】p = — 14, q = 40 .

A、B、M,如图.