阻容放电资料

實驗1 RC電路

目的:

熟悉RC電路的充放電現象以及對正弦電壓的反應，並瞭解電路上之頻率響應及它在濾波器上的應用。

原理:

(a)RC電路的充放現象

假設圖1中,RC串聯電路的輸入電壓vi(t)為

Vi(t)

V1

vi(t)=

V2

t<0

V1≠V2

t>0

VR(t)由KVL(Kirchhoff’s Voltage)定律,圖1 的電路 Vc(t)

滿足下式vi(t)=vR(t)+vc(t)(1) 圖 1 RC串 聯 電 路如果在t>0時,(1)式可改寫成如下的式子V2=Ri(t)+vc(t)由於迴流電路i(t)與電容電壓vc(t)的關係為i(t)=C因此可以得到下面的微分方程式 RCdvc(t) dtt>0(3)

t>0(2)

dvc(t)+vc(t)=V2dt假設在t<0時電路已達穩定狀態,則在t=0+時電容電壓為vc(0+)=V1,解(3)式時將vc(0+)=V1的邊界條件代入,可得vc(t)的解為 vc(t)=V2+(V1−V2)e−t/τ

t>0

(4) 其中τ=RC

圖2(a) RC充電

圖2(b) RC放電

因為電容器上的電量q(t)為q(t)=Cvc(t),所以從(4)式可看出:當V2>V1時,電容器上的電量隨時間的增加而增加,這就是電容的充電現象。圖2(a)所示為V2>V1時電容器電壓隨時間而變的情形,而電荷的變化曲線也與圖2(a)相同,只是相差一個倍數C。 如果V2- 1 -

變的情形。

(4)中的τ=RC稱為時間常數,這個數值決定了電容器上的電量變化率;時間常數τ較大者,電量變化較慢,vc(t)要經過較長的時間才會達到穩定值;反之,τ 較小者,電量變化較快,vc(t)較快達到穩定值。

如果將圖１的輸入電壓定為方波 Vavi(t)=Vb

Va

t<00則電容器上電壓變vc(t)化情形如圖3所

示。如果t1>>τ,則vc(t)會在0圖3 tr,tf 間內趨於穩定的值Vb。在這個情況下,在

0t1時, vc(t)從90﹪下降到10﹪所需要的時間稱為下降時間tf,如圖3所示。 我們很容易可以證明tr、tf與有下列的關係 tr=tf=2.2τ可見τ值大的電路,tr和tf也大,電路的反應較慢。

圖4(a) Vc(t) 圖5(a) Vc(t)

圖6(a) Vc(t)

圖4(b) VR(t)

圖5(b) VR(t)

圖6(b) VR(t)

如果驅動電壓是週期性的方波,則電容週期性地往高低兩個電壓充(放)電,其波形如圖4 (a)所示。因為vi(t)=vR(t)+vc(t),所以vR(t)(圖4(b))與vc(t)為互補。 如果T/2>>τ,電容器有足夠的時充(放)電到穩定電壓,此時的vc(t)很接近方波,而vR(t)則趨窄脈波,如圖4所示。圖5是方波週期T/2≈τ時, vc(t)與vR(t)的波形。如果T/2<<τ,電容器沒有足夠的時充電或放電到穩定值,因此vc(t)的電壓波形很接近三角波,而與其互補vR的波形反而很像方波波形,如圖6所示。

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(b)對正弦電壓的反應: 如圖7(a)所示,用正弦電壓驅動RC電路,因為Ri+vc=Vmcosωt ,電流和電容器上的電量都會隨時間正弦函數改變。我們可以利用複數的形式去解電路,解完之後再對i和v分別取實數部分。電容器的阻抗為1/jωC,整個電路的總阻抗為

Vc(t)Z=R+1/jωC,所以迴路上的電流為Vejωti(t)=Rem=Imcos(ωt+φ)(5)1R+jωC其中相位角為 φ=tan−11 ωRCR2V i(t)=V0cosωtVR(t)圖7 (a) 正弦電壓Vm電流振幅Im為 Im= 11+ωRC圖7(b) 在複數平面上繪示 vi(t),vc(t)和vR(t)之間的關係。vi(t)以Vm為半徑,以角頻率ω循逆時針方向轉動,它在實數軸上的投影是Vmcosωt。vR(t)、vc(t)均與vi(t)以相同頻率循同一方向轉動,

圖7(b) 相位關係

且vc(t)恆比vR(t)落後900相位角。vR(t)比vi(t)則超前相位角φ=tan−1(1,ωRC)在實驗上所觀察的是vR(t)和vc(t)在實數軸上的投影。振幅Im並不固定,而是隨頻率而變的,它的最大值是Im,max=Vm。當正弦電壓的角頻率為電路的半功率角

R頻率ω1時 2Im,max2Vm=R2 11+ω1RC2解出得ω1=21。我們可以將相位角φ和電流振幅Im改寫為 RCω1ωVm2φ=tan−1() Im=R2 ω11+2ω - 3 -

由於電阻器上兩端的電壓vR(t)為vR(t)=Ri(t)=Vmω11+2ωVmω11+2ω22cos(ωt+φ) (a)

所以電阻器電壓的峰值VRm為VRm=(6) 如果將VRm和φ分別對ω作圖,可以得到如圖8的

曲線。由圖8(a)可以看出:當ω很小時,電容性電(b) 抗(Capacitive Reactance,簡稱容抗)1/jωC很大,輸入電壓vi(t)大部分落在電容器上,所以電圖8 (a) VRM−ω的曲線圖 阻器上的電壓很小。反之,當ω很大時,容抗值 (b) φ−ω 的曲線圖 1/jωC很小,大部分輸入電壓落在電阻器上。由

(6)式也可以看出:電路的電阻器上的電壓vR(t)在頻率低時的峰期VRm較小;反之頻率高時, VRm較大。因此,以圖7的電路來說,如果以電阻器的電壓作為輸出,這個電路就可做為一個在低頻時輸出電壓較小,在高頻時輸出電壓較大的「高通濾波器」。 電容器上的電壓vc(t)為1Vmejωt.vc(t)=Re1ωjCR+jωCVmcos(ωt+φ')=2ω1+ω12 (a)

(b)

其中φ'=φ−π;電容器電壓的峰值VCm為

2VCm=Vmω1+ω122(7) 如果將VCm和φ'分別對ω作圖,可以得到

圖9 (a) VCM−ω的曲線圖

'

(b) φ−ω 的曲線圖 ,反如圖9(b)之曲線。由圖9(a)可看出;在頻率較低時電容器的電壓峰值VCm較大

之,頻率較高時VCm較小。所以,如果以電容器的電壓做為輸出,則這個電路可做為

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一個「低通濾波器」。

頻率從零到半功率頻率f1稱為此電路的頻寬B.W.B.W.=f1=2212.20.35== 2πRC2πtrtr(c)傅立葉級數與濾波器的使用

如果輸入訊號為一週期性方波，其頻率ω0為（週期T=2π/ ω0為），如圖10可以

將其做傅立葉級數展開，可以看成由基頻 ω0與其倍數頻所組成的傅立葉級數 g(t)=4A11[cos(ω0t)−cos(3ω0t)+cos(5ω0t)+....](為方便說明只取前三項計算) π35 1.510.50-0.5-1-1.5Time圖10.方波訊號在時域與不同倍頻訊號的分佈

圖11(a)截止頻率5kHz的低通濾波器FFT

圖11(b)截止頻率5kHz的高通濾波器FFT

圖11(c)輸入10kHz方波,f0為5kHz的高通FFT

現將g(t)做為訊號源，當作濾波器的輸入端。如果濾波器是低通濾波器，截止頻率定在5kHz，而g(t)的f0=3kHz，則輸出訊號為(圖11a)

很明顯的可以看出方波高頻部分被截去時的方波，僅留下低頻部分的前幾項諧波，如果是自RC電路上的R負載取出輸出電壓上，這就可以看到高通濾波器的

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頻率響應，如果截止頻率也是5kHz，則輸出訊號將是(圖11b)。為了讓更多高頻成分通過，將週期性方波的頻率調整為10kHz，可以看到輸出的結果除了增益降低很多以外，方波將變得更陡峭，這主要是高次諧波項的貢獻（如圖11c），一般在做電氣檢驗時，如音響放大器或是喇叭等，可以送入一個方波，從輸出的方波增益及波形變化來判斷待測的電容是否正常運作。這種方式可以說明方波由多次諧波組成的事實。

儀器:

示波器,波形產生器(Function Generator),三用電表DMM, 麵包板,1kΩ及100kΩ

電阻1個,可變電阻1個,0.01µF及100µF電容各1個。馬錶1個,小起子1支。

步驟:

A.用DMM觀察電容器的充放電:

1.將100µF之電容器充分放電,然後接成如圖12(a)之電路。

2.如圖12(a),從DMM上觀察電容器兩端電壓的變化情形,每隔2秒紀錄1次，繪出電容電壓對時間圖。

3.當電容器的電壓達至最大值時,接成圖12(b)。繼續紀錄電容器上電壓的變化。 4.將電壓對時間以半對數作圖,接近一直線，並從這條線推算出電容器的電容值。

DMM100kΩ100υF( a )充電

三用電表VAΩA+V/Ω-100kΩ

示 波 器+Ch1-+Ch2-100υF( b )放電V圖12 DMM量測圖

1kΩ0.01µF圖13 示波器測量圖

B.用示波器觀察充放電現象:

1.以波形產生器之方波推動圖13的電路,利用示波器CH1接到波形產生器,CH2接到電容器;同時觀察總電壓vi(t)與電容電壓vc(t)。(若使用CH1 − CH2方式則可看到電阻器vR電壓的波形)

2.調整波形產生器使方波週期為T=1~5τ,紀錄vc(t)及vR(t)波形產生器的波形。

3.重複1.步驟,方波週期改為T=0.5τ,T=50τ,紀錄比較T=0.5τ,T=5τ,T=50τ時, vi(t),vc(t)及vR(t)的波形。

4.測量RC電路的上升時間。紀錄比較τ的測量值與計算值。(利用Aglient示波器上的游標量測(cursors),移動0﹪,10﹪,90﹪,100﹪這4條線測量) (或使用Aglient示波器上自動量測(quick meas)的功能算出τ並與RC做比較。) 5.改用其它R,C值,重複1~步驟並紀錄。

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C.傅立葉轉換與濾波器的使用

1.電路如圖13。輸入一個方波（並直接將此訊號送入CH1），觀察電容端電壓(CH2)。切換Aglient示波器上FFT功能。(參考附錄示波器使用)

2.審慎調整(Span及Center),(Scale 及 Offset)，使得輸入的方波基頻可以被觀察而且可以容易觀察到諧波。觀察並紀錄CH1的FFT。 3.紀錄CH2的FFT頻譜並與CH1比較,有無差異，試說明其為RC低通濾波器。 4.將電阻改為可變電阻，調整可變電阻來觀察FFT的變化，觀察可變電阻對B.W的FFT影響。

5.重複1-3，改變電阻兩端的電壓(CH2) 的FFT變化情形並紀錄。說明其為RC高通濾波器。 D.正弦電壓的反應:

1.如圖13之電路,將方波輸入改為正弦波。(為何改正弦波你知道嗎？)

2.觀察電容器電壓和相位角隨頻率變化的情形,紀錄數個頻率的電壓及相位角,

繪出它們對頻率的關係圖,並決定半功率點f1。(相位量測參考附錄示波器使

2用)

問題:

1.探討示波器和DMM量出的電壓值有何差異，他們之間關係如何？

2.RC電路的上昇,及下降時間是2.2RC。證明RC電路中,電容充電(或放電)到

一半所需的時間t1≈0.693RC

23.圖14之電路,以恆流源驅動RC並聯電路。證明這個電路的時間常數和以恆流源驅動RC串聯電路相同。

4.以Lissajous pattern方式操作示波器,去測量兩個信號的相位差X軸輸入為Vi,Y軸輸入為VR,得到圖15，印證φ=sin−1

B。 A

圖15 Lissajous pattern

5.測量相位差的各種方法，並說明其優點、缺點。 6.用方波、三角波、正弦波為驅動的電源有什麼差別？ 7.要做DMM測量時候，一定要選擇大電容嗎？

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參考文獻:

1. 清華大學物理系實驗物理講義。 2. Aglient示波器使用手冊。

3. 蔡崇洲、羅光耀,”通訊系統電子電路實習”, 高立出版社。

4. Advanced Engineering Mathematic：chap10.2- Fourier series.

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