平房区第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为（ A．2x+y﹣5=0B．2x﹣y+1=0C．x+2y﹣7=0D．x﹣2y+5=0

2． 某公园有P，Q，R三只小船，P船最多可乘3人，Q船最多可乘2人，R船只能乘1人，现有3个大人）

和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ A．36种B．18种

C．27种

D．24种

3． 在下面程序框图中，输入N44，则输出的S的值是（

）

A．251

B．253

C．255

D．260第 1 页，共 18 页

）

【命题意图】本题考查阅读程序框图，理解程序框图的功能，本质是把正整数除以4后按余数分类.4． 若a=ln2，b=5

，c=

xdx，则a，b，c的大小关系（

）

A．a＜b＜cBB．b＜a＜cCC．b＜c＜aD．c＜b＜a5． 复数z=

（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（

）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限　

6． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ A．4 A．（0，1）

B．6

C．8

D．10）

D．（0，2）

C．（2，0）

7． 函数y=ax+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（

B．（2，1）

）

8． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ A． C．80

B．72 D．112

）

【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力.9． 已知双曲线

（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为

，则双曲线的离心率为（

）

A．B．C．D．

10．已知圆C：x2+y2﹣2x=1，直线l：y=k（x﹣1）+1，则l与C的位置关系是（　　）A．一定相离B．一定相切

C．相交且一定不过圆心D．相交且可能过圆心

第 2 页，共 18 页

11．若函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g（x）=loga（x+k）的是（

）

A．B．C．D．

12．在复平面上，复数z=a+bi（a，b∈R）与复数i（i﹣2）关于实轴对称，则a+b的值为（ A．1

B．﹣3

C．3

D．2

）

二、填空题

13．设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），则z的模为　　　　　　．14．曲线y=x+ex在点A（0，1）处的切线方程是　　　　　　．15．若函数f（x）=x2﹣2x（x∈[2，4]），则f（x）的最小值是　　　　　　．　

16．设变量x，y满足约束条件

，则的最小值为　　　　　　．　

17．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为

，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为　　．18．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：

①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是　　　　　　．　

三、解答题

19．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5的学生颁发荣誉证书，现从A和B两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：A777.599.5B6x8.58.5y由于表格被污损，数据x，y看不清，统计人员只记得x＜y，且A和B两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．

（Ⅰ）若从B班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率；（Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X的期望．　

第 3 页，共 18 页

20．（本题满分14分）已知两点P(0,1)与Q(0,1)是直角坐标平面内两定点，过曲线C上一点M(x,y)作y轴的垂线，垂足为N，点E满足ME（1）求曲线C的方程；

（2）设直线l与曲线C交于A,B两点，坐标原点O到直线l的距离为

2MN，且QMPE0.33，求AOB面积的最大值.2【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．

21．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4（1）求椭圆E的标准方程；

x的焦点，离心率是．

（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得关，试求点M的坐标．

与k的取值无

第 4 页，共 18 页

22．已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且

．

（1）求A；（2）若

，求bc的值，并求△ABC的面积．

23．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．

24．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为菱形，E、P、Q分别是棱AD、SC、AB的中点，且SE平面ABCD.

（1）求证：PQ//平面SAD；（2）求证：平面SAC平面SEQ.

第 5 页，共 18 页

第 6 页，共 18 页

平房区第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）一、选择题

1． 【答案】A【解析】解：联立∴交点为（1，3），

过直线3x﹣2y+3=0与x+y﹣4=0的交点，

与直线2x+y﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0，把点（1，3）代入，得：2+3+c=0，解得c=﹣5，

∴直线方程是：2x+y﹣5=0，故选：A．　

2． 【答案】 　

【解析】

，得x=1，y=3，

C

排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；分类讨论．

【分析】根据题意，分4种情况讨论，①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，分别求出每种情况下的乘船方法，进而由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：分4种情况讨论，

①，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘1个大人，R船乘1个大1人，有A33=6种情况，

②，P船乘1个大人和1个小孩共2人，Q船乘1个大人和1个小孩，R船乘1个大1人，有A33×A22=12种情况，

③，P船乘2个大人和1个小孩共3人，Q船乘1个大人和1个小孩，有C32×2=6种情况，④，P船乘1个大人和2个小孩共3人，Q船乘2个大人，有C31=3种情况，则共有6+12+6+3=27种乘船方法，故选C．

【点评】本题考查排列、组合公式与分类计数原理的应用，关键是分析得出全部的可能情况与正确运用排列、组合公式．3． 【答案】B

第 7 页，共 18 页

4． 【答案】C【解析】解：∵b=5c=

=xdx=

a=ln2＜lne即，，

，

∴a，b，c的大小关系为：b＜c＜a．故选：C．

【点评】本题考查了不等式大小的比较，关键是求出它们的取值范围，是基础题．　

5． 【答案】C【解析】解：z=

=

=

=

+

i，

当1+m＞0且1﹣m＞0时，有解：﹣1＜m＜1；当1+m＞0且1﹣m＜0时，有解：m＞1；当1+m＜0且1﹣m＞0时，有解：m＜﹣1；当1+m＜0且1﹣m＜0时，无解；故选：C．

【点评】本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于中档题．　

6． 【答案】B【解析】

考

点：球与几何体7． 【答案】D

【解析】解：令x=0，则函数f（0）=a0+3=1+1=2．

第 8 页，共 18 页

∴函数f（x）=ax+1的图象必过定点（0，2）．故选：D．

【点评】本题考查了指数函数的性质和a0=1（a＞0且a≠1），属于基础题．　

8． 【答案】C.【

解

析

】

9． 【答案】A

【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为

，（a＞0，b＞0）

由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c=∴该双曲线的离心率是e==．故选A．

【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．　

10．【答案】C

【解析】

【分析】将圆C方程化为标准方程，找出圆心C坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，与r比较大小即可得到结果．

【解答】解：圆C方程化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=2，∴圆心C（1，0），半径r=，∵≥＞1，∴圆心到直线l的距离d=

＜

=r，且圆心（1，0）不在直线l上，=5t（t＞0）

∴直线l与圆相交且一定不过圆心．故选C

11．【答案】C

【解析】解：∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（ax﹣a﹣x）=0

第 9 页，共 18 页

则k=1

又∵函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1

则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选C

【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．　

12．【答案】A

【解析】解：∵z=a+bi（a，b∈R）与复数i（i﹣2）=﹣1﹣2i关于实轴对称，∴

，∴a+b=2﹣1=1，

故选：A．

【点评】本题考查复数的运算，注意解题方法的积累，属于基础题．　

二、填空题

13．【答案】　2　．

【解析】解：∵复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），∴z=

，∴|z|=

=

=2，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查复数的模的定义，复数求模的方法，利用了两个复数商的模等于被除数的模除以除数的模，属于基础题．　

14．【答案】　2x﹣y+1=0　．

【解析】解：由题意得，y′=（x+ex）′=1+ex，∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e0=2，

则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0，故答案为：2x﹣y+1=0．

第 10 页，共 18 页

【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题．　

15．【答案】　0　．

【解析】解：f（x））=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，其图象开口向上，对称抽为：x=1，所以函数f（x）在[2，4]上单调递增，所以f（x）的最小值为：f（2）=22﹣2×2=0．故答案为：0．

【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，一般运用数形结合思想进行处理．　

16．【答案】　4　．

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，则的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象可知，OC的斜率最小，由

即C（4，1），此时=4，故的最小值为4，故答案为：4

，解得

，

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的定义以及数形结合是解决本题的关键．　

第 11 页，共 18 页

17．【答案】　4或

　．

【解析】解：设AB=2x，则AE=x，BC=∴AC=

，

×

，

由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3×∴x=1或或AB=2

，

，球O的直径为，球O的直径为．

∴AB=2，BC=2故答案为：4或

，

=4，

=

．

，BC=

18．【答案】　①②④　．

【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．∵f（2x）=2f（x），∴f（2kx）=2kf（x）．

①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．…

一般地当x∈（2m，2m+1），则

∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，

从而f（x）∈[0，+∞），故正确；

③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，

第 12 页，共 18 页

∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即2n﹣1=9，∴2n=10，∵n∈Z，

∴2n=10不成立，故错误；

④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，

∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．故答案为：①②④．　

三、解答题

19．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∵=（6+x+8.5+8.5+y），∵∵

=∵

，得（x﹣8）2+（y﹣8）2=1，②

或

，

，∴x+y=17，①

，

，

（7+7+7.5+9+9.5）=8，

由①②解得

∵x＜y，∴x=8，y=9，

记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C，则事件C包含共有∴P（C）=

个基本事件，

，

个基本事件，

即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．

（Ⅱ）由题意知X所有可能的取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（X=1）=

=

，=

，

P（X=2）==，

第 13 页，共 18 页

P（X=3）=EX=

=，

=

．

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．　

20．【答案】

【解析】（1）依题意知N(0,y)，∵ME2221MN(x,0)(x,0)，∴E(x,y)3333则QM(x,y1)，PE(x,y1) …………2分

13x21y21∵QMPE0，∴xx(y1)(y1)0，即33x2y21 …………4分∴曲线C的方程为3第 14 页，共 18 页

21．【答案】

【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=c=e•a=故b=

×

==

，

=

，…4分

，…1分

第 15 页，共 18 页

所以，椭圆E的方程为，即x2+3y2=5…6分

（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；…7分设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则x1+x2=﹣∴∴

，x1x2=

；…8分

=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；

=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），

，

=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2

=m2+2m﹣﹣

要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；∴存在点M（﹣，0）满足题意…13分

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．　

22．【答案】

【解析】解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC﹣sinBsinC=cos（B+C）=∴B+C=则A=（2）∵a=2解得：bc=4，则S△ABC=

bcsinA=

×4×

=

．

，；

，b+c=4，cosA=﹣

，

，

∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，即12=16﹣bc，

【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．　

23．【答案】 【解析】解：（Ⅰ）∴当

∴f（x）的单调递增区间是

，单调递减区间是

，

第 16 页，共 18 页

当∴当

；当

的图象有3个不同交点，

（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，即方程f（x）=α有三解．　

24．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】

试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD中点F，连结AF,PF，可证明PQ//AF，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明AC平面SEQ，即平面SAC平面SEQ.试题解析：证明：（1）取SD中点F，连结AF,PF.∵P、F分别是棱SC、SD的中点，∴FP//CD，且FP∵在菱形ABCD中，Q是AB的中点，

1CD.21CD，即FP//AQ且FPAQ.2∴AQPF为平行四边形，则PQ//AF.

∴AQ//CD，且AQ∵PQ平面SAD，AF平面SAD，∴PQ//平面SAD.

第 17 页，共 18 页

考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.

【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直， 需熟练掌握判定定理以及性质定理.

第 18 页，共 18 页