李强

系（部）：数学系 专业：数学与应用数学 班级：专升本1201 课题名称 指导教师 邢艳元 常微分方程中积分因子的求解 学生 李强 学号 20120403109 一、课题的来源及意义 微分方程是数学的心脏, 是现代数学的一个重要分支，在物理学，微分几何，计算数学，计算机图形学, 图象处理以及大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等学科中都有许多重要的应用.它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.其中常微分方程从它产生的那天起,就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力的工具.而求解微分方程又是应用这一数学工具的关键所在,在众多的求解方法中,积分因子的引入是求解常微分方程的一种常用的方法. 二、发展状况 从20世纪30年代直到现在,是常微分方程各个领域迅速发展、形成各自相对的而又紧密联系在一起的分支学科的时期.常微分方程的发展史大致可分为五个阶段:第一阶段是十七世纪前半期,即它的萌芽阶段.第二阶段是十七世纪后半期到十八世纪末,即常微分方程发展成为一个数学分支的阶段.这个阶段主要是讨论各种具体类型方程的积分法,把解表示为初等函数的积分形式.第三阶段是十九世纪上半期,这个阶段是数学分析的新概念（如极限、无穷小、连续函数、微分、积分等）和新方法大大影响了微分方程理论发展.这是建立常微分方程基础阶段.第四阶段是19世纪80年代至20世纪20年代,是常微分方程定性理论蓬勃发展的阶段.第五阶段是20世纪30年代直至现在,是常微分方程全面发展的阶段.其中在解常微分方程的过程中引入了恰当微分方程,以及用积分因子将一些非恰当的微分方程化为恰当微分方程的一些具体解法. 三、研究目标 本文将通过对常微分方程的积分因子的研究,对积分因子有更深层次的了解和认识,对以后的常微分方程的求解有所帮助. 四、研究内容 本课题将根据积分因子的定义及性质,通过不同的分类方法,在原有求积分因子方法的基础上,对多种求法进行加深和扩充,系统地总结出一些较为规律的求解方法:观察法、公式法和分组法,给出这些方法的使用条件,并对方法的正确性进行理论推导,并结合具体问题进行分析讨论,通过对这三种方法的研究,解决了某些常微分方程的求解问题. 五、本课题的研究方法与进度安排 1、主要研究方法 本论文设计将以严格的数学概念和定义作为理论的基础,以《数学分析》,《常微分方程》基本知识为出发点,结合自己的实际情况,在把握好完整的基础知识理论和已有的优秀成果上对常微分方程积分因子的解法进行分析、推理、证明、归纳和整理,尽可能的展示出积分因子的优越性. 2、进度安排 第一阶段:2013秋第1-5周,开设课程、搜索资料; 第二阶段:2013秋第6-7周,学生确定选题范围,指导教师提供题目,进行双向选择; 第三阶段:2013秋第8-11周,定题、准备填写开题报告,第11周开题报告会; 第四阶段:2013秋第12周-2014春第6周,指导教师指导学生调研、收集资料、准备撰写初稿; 第五阶段:2014春第7-14周,撰写初稿、修改论文,中期检查;提交论文,准备答辩; 第六阶段:2014春季第15-16周,指导教师、评阅教师评阅,答辩,总结. 六、可行性分析 在学习高等代数,数学分析,常微分方程的基础上,我们已具备研究此课题的能力,另外,国内外也已经有了一些最新研究,可以借鉴,同时学校已为我们开设机房,方便查阅资料. 七、 参考文献 [1] 王金城.浅析积分因子的求法[J].中国科技信息,2007,(20). [2] 李振东,张永珍.求积分因子的新方法[J].唐山学报,2003,(02). [3] 滕文凯.积分因子的分组求法[J]. 承徳民族师专学报,(02). [4] 张鹏强,黄继强,代平力.一类一阶微分方程的积分因子[J].固原师专学报,2004,（06）. [5] 龚雅玲.求解微分方程的积分因子法[J].南昌教育学院学报,2003,（02）. [6] 温启军,张丽静.关于积分因子的讨论[J].长春大学学报,2006,（10）. [7] 刘文武.两类微分方程的积分因子[J].黔南民族师范学院学报,2003,（06）. [8] 杨淑娥.一阶微分方程的积分因子解法[J].彭城职业大学学报,2000,（01）公司,2000. [9]王高雄,周之铭,朱思铭.常微分方程(第2版)[M].北京:高等教育出版社, 1983.45-46. [10]林娇燕.解常微分方程的积分因子问题[J].湘潭师范学院学报,1998,19(6): 30一33. 指导教师意见： （签字） 年 月 日