弹簧振子周期的影响因素
（南京 210096）
摘 要： 本文研究了弹簧质量对弹簧振子系统周期的影响，分析了不同方法近似成立的条件并对计算结果进行了讨论。并且通过对弹簧振子研究的进一步探析，发现如果弹簧的形状不是几何对称, 即使用相同的方法对弹簧两端分别挂测，其质量对周期公式产生的影响也是不同的。从而发现弹簧振子的周期与其重心位置也是有关的。 关键词： 弹簧振子；周期；质量；重心
Spring vibrator cycle impact factors
(Information science and engineering college of Southeast University, Nanjing, 210096)
Abstract: This paper studies the quality of spring spring vibration subsystem the influence of the cycle, and analyzes on the different methods of approximate established condition and the calculation results are discussed. And through the spring vibrator further analysis, found that if the shape of the spring is not symmetrical geometric, that is, using the same method of spring ends hang separately measured, its quality to cycle the impact of the formula is also different. Spring vibrator to find the cycle of barycenter position is also related with.
key words: spring vibrator; cycle;quality;focus
人们在讨论弹簧振子的振动情况时，往往忽略弹簧本身的质量。实际弹簧振子由质量为 m、劲度系数为k的弹簧和连接于弹簧一端的质量为M的振动物体组成。由于弹簧本身有质量，这种弹簧振子不是理想振子，它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系。当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式。
而且质量一定，形状不规则的弹簧，其运动周期还与他的形状及重心相关。
作者简介：
1 实验回顾
在“弹簧振子周期公式研究”的实验中，最后的课题探究采用控制变量的方法，控制振子质量M不变， 研究弹簧自身质量m对弹簧振子振动周期的影响。测得的数据见表1。 弹簧编号 弹簧劲度系数 k/ 1 6.685 2 3 4 4.057 5 3.478 6.343 5.018
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30T/s 1 2 3 平均 周期T/s 0.5997 0.0609 弹簧质量 表1 弹簧振子周期与质量的关系
2 分析弹簧质量对振动周期的影响
18.04 17.99 17.92 17.98 18.47 20.88 18.56 20.89 18.51 20.85 18.51 21.87 0.6172 0.0612 5.48 6.44 0.6962 0.0616 7.62 23.38 23.29 23.33 23.34 0.7780 0.0622 9.65 11.59 0.0629 25.33 25.34 25.35 25.35 簧单位长度的质量为
0.8450 动物体的质量M小,以至于弹簧质量对弹簧振子的振型没有影响。近似地,可以假定弹簧各截面的位移是按线性规律变化的,因此,离弹簧固定端距离为u的截面的位移为
,其中,x为振动物体离开弹簧平
。设弹簧质量m比振
2.1利用机械能守恒法进行分析
如图2所示,设弹簧未形变时的长度为,此时弹
衡位置O的位移。不计各种阻力引起的能量损耗,弹簧振子系统的能量守恒。
用Origin软件作出分析。
——图像，并进行线性
图2 弹簧振子示意图
弹簧的动能
(1)
振动物体的动能
(2)
弹簧振子系统的弹性势能
图1
——
图像
由Origin软件线性分析的到B=0.32437±0.00633。 可见如果考虑弹簧质量，弹簧这子周期公式就不再简单的满足公式
了。那么弹簧质量是如何影
(3)
根据机械能守恒定律有
响弹簧振子运动的呢。我想通过理论推导与实验的结合来进行一定的分析。
(4)
将(4)式对时间求导，整理后得
(5)
与谐振子的动力学方程比较得弹簧振子系统的周 期为
(6)
可见，当考虑弹簧质量m,且在m比M小时，弹簧振子的运动仍可认为是谐振动，但计算周期时要把弹簧质量的1/3加到M上去，再按不考虑弹簧质量时的周期计算公式计算即可。
探究实验中求得的B=0.32437±0.00633。其误差为
误差<5
，在误差允许范围内，可以认为两者相等。
2.2利用迭代法进行分析
设弹簧的匝数为N，实际弹簧振子的运动可以归结为不同圆频率谐振动的合成，即
且使
，
由参考文献[3]知
(7)
其中
(n=0,1,2,„)是为了描述动态劲度系数
和有效质量而引入的一系列参数，它们由弹簧振
子的本征方程
，
(8)
和本征值
(9)
决定。振动物体的各阶振动周期为
(10) 其中
(11)
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将式(9)代入式(8)中有
(12)
利用级数展开式式(12)
可以写成
(13)
通过分析发现，对固定的γ值，n=0对应的基频
的
振幅占绝对优势，高频振动的振幅随频率的增大而迅速减小（比如，γ=1时,
=98％）。因此，为简单起
见，只讨论n=0时弹簧振子的周期。取式(13)右边前两项易得
(14)
再取初值代人式(14)迭代,有
(15)
代人式(11)可得
(16)
因此迭代法近似得到基频振动的周期为
(17)
b由式(16)给出，只与振动物体质量和弹簧质量之比γ有关。式(17)把弹簧质量对振动周期的影响归结为有效质量
，很容易就能求出基频振动周期。
2.3对两种分析方法的讨论
(1)比较两种不同方法知道, 从机械能守恒定律出发,
计算过程简单清晰, 而迭代法过程稍为复杂, 但能得到更准确且带有普遍意义的结果。机械能守恒近似法中假定弹簧各截面的位移按线性规律变化，或者说
是弹簧各个匝数之间变化均匀，相当于要求弹簧各向均匀同性。因为弹簧的一端固定，另一端系一振动物体，振动物体振动状态的任何变化都能够同时传递到弹簧的各个部分，必然要求弹簧的质量m比振动物体的质量M小得多。事实上，比较式(6)，式(17)可知，前者正是后者在γ→∞时的极限情形。
(2) 特别地, 如果弹簧的质量m和振动物体的质量M相等，即式(17)中γ=1，两种方法得到的振动周期比
显然，使用机械能守恒近似法已
经是很好的近似，而不必要求γ>>1或γ→∞，也可以不考虑其它高频振动的影响。
(3) 注意到机械能守恒近似法中我们还假设弹簧单位长度的质量
是常数, 事实上弹簧振动时弹
簧单位长度的质量λ随x的变化而变化，即
(18)
此时弹簧的动能
(19)
和式(1)结果相同, 因此弹簧单位长度的质量λ随x变化不影响计算结果。
3 弹簧重心对周期公式的影响
3.1问题提出与理论分析
上文讨论的都是柱形弹簧的质量对其振动周期的影响，那么对于形状不对称的弹簧，其重心会不会也是影响振动周期的因素呢？我想通过对锥形弹簧的相关测定来验证我的猜想。研究示意图见图3。
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图3 研究示意图
由上文的式(17)已知，将其
改写为
(20)
令y=
,x=M,A=
,B=
,则y=a+bx,从n组
值，可求得A,B的值，从而求得b的值
(21)
B的不确定度
3.2 测量锥形弹簧正挂时的b值
首先测量弹簧的质量m=12.65g，其次测量弹簧下端悬挂不同负载M时的周期的周期T,共测3组，用秒表测量连续振动50次的时间t，测量数据见表2。 砝码编号 1 2 3 4 5 振子质量1.01 2.30 3.32 4.33 5.31 M/() 50T/s 1 50.76 53.18 56.19 58.74 61.10 2 49.56 53.41 56.52 58.89 61.19 3 50.28 53.65 56.40 58.70 61.21 平50.20 53.42 56.37 58.78 61.17 均
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周期T/s 1.004 1.0683 1.1274 1.1755 1.2233 砝码编1.008 1.1413 1.2710 1.3818 1.4965 1 2 3 4 5 表2 弹簧正挂周期测量数据 使用Origin软件作出图像。
图4 弹簧正挂
图像
用Origin分析得到A=0.88745±0.00697， B=0.1144±0.0019, u(A)=0.00697,u(B)=0.00194
天平的仪器误差
，
结果:b=0.613±0.011
3.3测量锥形弹簧反挂时的b值
步骤同上，测量数据表格如下
号 振子质1.01 2.30 3.32 4.33 5.31 量M() 50T1 38.61 43.10 46.32 49.31 52.16 /s 2 38.58 43.12 46.28 49.30 52.11 3 38.70 43.14 46.36 49.35 52.03 平38.63 43.12 46.32 49.32 52.10 均 周期0.7726 0.8627 0.9264 0.9864 1.0419 T/s 0.5969 0.7443 0.8582 0.9730 1.0856 表3 弹簧反挂周期测量数据
使用Origin软件作出图像。
图5 弹簧反挂
图像
用Origin分析得到A=0.4824±0.0010，
B=0.11346±0.0003,u(A)=0.00101, u(B)=0.000280598
结果:b=0.3361±0.0015
3.4讨论与思考
对于同一锥形弹簧而言， 正挂时弹簧的修正系数b值要大于反挂时的b值。原因是正挂时弹簧振子系统重心位置相对反挂时的重心位置下移, 以致弹簧振子的周期变大。从y=A+Bx中分析可知, 因弹簧正、反挂时的B值近似相等。当 y 变大时, A也变大, 故 b 值也随之变大。
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上述实验的两个b值显著不同, 说明修正系数b不是普遍适应的常数, 它不仅与弹簧的形状有关,而且还
与弹簧振子系统重心的相对位置有关。
参考文献：
[1] 钱峰，潘人培. 大学物理实验（修订版）[M].2010，高
等教育出版社. 73-76..
[2] 臧涛成. 弹簧系统能量计算[ J] . 大学物理, 2005,
24( 2) : 5-7.
[3] 徐延燕，弹簧振子近似作简谐振动的条件[J]. 河北师
范大学报，1997，21（1）：55-58.
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