圆锥曲线基本题型总结

提纲：

一、 定义的应用： 1、 定义法求标准方程:

2、 涉及到曲线上的点到焦点距离的问题: 3、 焦点三角形问题： 二、 圆锥曲线的标准方程: 1、 对方程的理解

2、 求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、 各种圆锥曲线系的应用： 三、 圆锥曲线的性质： 1、 已知方程求性质：

2、 求离心率的取值或取值范围 3、 涉及性质的问题:

四、 直线与圆锥曲线的关系： 1、 位置关系的判定： 2、 弦长公式的应用： 3、 弦的中点问题: 4、 韦达定理的应用：

一、 定义的应用: 1. 定义法求标准方程：

（1)由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理)

1.设F1，F2为定点，|F1F2｜＝6，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，则动点M的轨迹是( ）

A．椭圆 B．直线

C．圆 D．线段 【注：2a〉|F1 F2｜是椭圆，2a=|F1 F2｜是线段】 2.设B－4，0),C4,0），且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为 )

A.错误!＋错误!＝1 y≠0） C.错误!＋错误!＝1 y≠0)

B.错误!＋错误!＝1 y≠0)

D。错误!＋错误!＝1 y≠0） 【注:检验去点】

3.已知A0，－5）、B0,5),|PA|－|PB|＝2a,当a＝3或5时，P点的轨迹为 ） A.双曲线或一条直线 B。双曲线或两条直线 C。双曲线一支或一条直线

D。双曲线一支或一条射线 【注：2a〈|F1 F2|是双曲线,2a=｜F1 F2｜是射线,注意一支与两支的判断】

4。已知两定点F1－3,0)，F23,0），在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是 ） A.||PF1|－｜PF2|｜＝5 B.|｜PF1|－｜PF2｜｜＝6 C。||PF1｜－|PF2|｜＝7

D.|｜PF1|－｜PF2|｜＝0 【注：2a〈|F1 F2|是双曲线】

5.平面内有两个定点F1－5,0）和F25,0），动点P满足|PF1｜－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是 ） A。错误!－错误!＝1x≤－4） C。错误!－错误!＝1x≥4）

B。错误!－错误!＝1x≤－3)

D.错误!－错误!＝1x≥3) 【注：双曲线的一支】

6。如图，P为圆B：x＋2）2＋y2＝36上一动点，点A坐标为2，0）,线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程.

7。已知点A（0，错误!)和圆O1:x2＋（y＋错误!)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且｜PM|＝|PA｜，求动点P的轨迹方程．

(2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：

8.已知圆A：x＋3）2＋y2＝100，圆A内一定点B3,0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程. 已知动圆M过定点B－4,0），且和定圆x－4）2＋y2＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为 ） A。错误!－错误!＝1 x>0） x2

C。－错误!＝1

4

B。错误!－错误!＝1 x〈0)

D。错误!－错误!＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】

9。若动圆P过点N－2，0），且与另一圆M：x－2）2＋y2＝8相外切，求动圆P的圆心的轨迹方程。 【注:双曲线的一支，注意与上题区分】

10。如图，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.

11.若动圆与圆x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ） A.椭圆 B。双曲线 C。双曲线的一支 D.抛物线

12.已知动圆M经过点A3，0），且与直线l：x＝－3相切,求动圆圆心M的轨迹方程. 【注：同上题做比较,说法不一样,本质相同】

13。已知点A3，2）,点M到F错误!的距离比它到y轴的距离大错误!。（M的横坐标非负） 1)求点M的轨迹方程； 【注：体现抛物线定义的灵活应用】

2）是否存在M，使｜MA｜＋|MF｜取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由。 【注：抛物线定义的应用,涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】

(3）其他问题中的圆锥曲线:

14.已知A，B两地相距2 000 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨

迹方程. 【注:双曲线的一支】

2.

15。如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）

A．直线 B．圆

C． 双曲线 D．抛物线

【注：体现抛物线定义的灵活应用】

2。涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：

16.设椭圆错误!＋错误!＝1 （m〉1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为（ ）

A.错误! B。错误! C。错误! D。错误!

17。椭圆错误!＋错误!＝1的左右焦点为F1，F2,一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（ ）

A．32 B．16 C．8 D．4

18.已知双曲线的方程为错误!－错误!＝1,点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m,F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（ ）

A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m

19。若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB｜＝5，则△AF1B的周长为________。

20。设F1、F2是椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2,则△PF1F2是（ )

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．直角三角形

21．椭圆错误!＋错误!＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若｜PF1|＝4，则|PF2｜＝________，∠F1PF2的大小为________．

【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a—c，最大是a+c】

22。已知P是双曲线错误!－错误!＝1上一点，F1,F2是双曲线的两个焦点，若｜PF1｜＝17,则|PF2｜的值为________.

【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c—a】

23。已知双曲线的方程是错误!－错误!＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON｜的大小O为坐标原点）. 【注：O是两焦点的中点,注意中位线的体现】 24。设F1、F2分别是双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且PF1·PF2＝0，则｜PF1＋PF2｜等于（ ) A．3 B．6 C．1 D．2

25.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是 ） A。错误!

B.3

C。错误!

D。错误!

【注:抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】

26。已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( ) A。错误! B。错误! C．2 D。错误! 【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】

27。设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1，0)，且｜AB｜＝1,则A的横坐标的值为( )

A．－2 B．0 C．－2或0 D．－2或2 【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】

3.焦点三角形问题：

椭圆的焦点三角形周长CPF1F2＝PF1＋PF2＋2C＝2a2c 椭圆的焦点三角形面积：

2PF1 推导过程:  PF12PF2-2PFPFPF2a (2)1222COS4c (1) 2

(2)-(1)得 2PF1 SPFF12PF2(1cos)4a-4c PF1222PF21cos2b212PFPF1sin12b2sinb tan 21cos22 双曲线的焦点三角形面积：

SPFF 12btan22

28.设P为椭圆错误!＋错误!＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝错误!，求△F1PF2的面积． 【注：小题中可以直接套用公式。S=btan15】

29.已知双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2

2的面积.

【注：小题中可以直接套用公式。】

30。已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点,P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝12错误!，求双曲线的标准方程．

x2

31.已知点P(3,4)是椭圆2＋错误!＝1 (a〉b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：

a

(1)椭圆的方程； （2)△PF1F2的面积．

二、圆锥曲线的标准方程: 1. 对方程的理解

32.方程错误!＋错误!＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（ ）

A．(－3,－1) B．(－3，－2） C．(1,＋∞) D．(－3,1) 33。若k>1，则关于x，y的方程1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是 ） A。焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆

C。焦点在y轴上的双曲线 D。焦点在x轴上的双曲线 【注:先化为标准方程形式】 34.对于曲线C：错误!＋错误!＝1,给出下面四个命题：

①曲线C不可能表示椭圆； ②当1④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1〈k〈错误!.

35。已知椭圆x2sin α－y2cos α＝1 （0≤α〈2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是（ )

A。错误! B。错误! C.错误! D。错误!

36.双曲线 错误!－错误!＝1的一个焦点到中心的距离为3，求m的值。 【注:要根据焦点位置分情况讨论】

2.求曲线方程（已经性质求方程）

37.以错误!－错误!＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )

A。错误!＋错误!＝1 B。错误!＋错误!＝1 C.错误!＋错误!＝1 D.错误!＋错误!＝1

38.根据下列条件，求椭圆的标准方程．

(1)两个焦点的坐标分别是（－4,0)，（4，0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10； （2)两个焦点的坐标分别是（0，－2)，（0，2),并且椭圆经过点错误!. 【注：定义的应用】

39.已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为错误!，且过点P(－5，4)，则椭圆的方程为______________．

40.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ )

A.错误!＋错误!＝1 B.错误!＋错误!＝1 C.错误!＋错误!＝1 D。错误!＋错误!＝1

41.设椭圆错误!＋错误!＝1 (m〉0，n〉0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同,离心率为错误!，则此椭圆的方程为( ）

A。错误!＋错误!＝1 B。错误!＋错误!＝1 C。错误!＋错误!＝1 D。错误!＋错误!＝1

42.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1（－错误!，0),且右顶点为D（2，0)．设点A的坐标是错误!.

(1）求该椭圆的标准方程；

(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．【注:相关点法求曲线方程】

43。双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的错误!倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（ )

A。错误!－错误!＝1 B。错误!－错误!＝1 C.错误!－错误!＝1 D.错误!－错误!＝1

x2y2

44。已知双曲线2－2＝1(a>0,b〉0）的一条渐近线方程是y＝错误!x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，

ab

则双曲线的方程为( ）

A.错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1 C。错误!－错误!＝1 D。错误!－错误!＝1 45。求与双曲线错误!－错误!＝1有公共焦点，且过点3错误!，2）的双曲线方程.

46。双曲线C与椭圆错误!＋错误!＝1有相同的焦点，直线y＝错误!x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．

47.根据下列条件写出抛物线的标准方程： 1）经过点－3，－1）;

2）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.

48.抛物线y2＝2px p>0）上一点M的纵坐标为－4错误!,这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________。 【注：定义的应用，焦半径】

三、圆锥曲线的性质： 1。已知方程求性质:

49.椭圆2x2＋3y2＝1的焦点坐标是( )

A.错误! B．（0，±1） C．（±1,0） D.错误! 【注：焦点位置】 50.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ）

A．5，3，错误! B．10,6,错误! C．5,3,错误! D．10，6，错误! 51.设a≠0，a∈R，则抛物线y＝ax2的焦点坐标为（ )

A。错误! B。错误! C。错误! D。错误! 【注：先化为抛物线的标准方程，此处最容易出错】

2。求离心率的取值或取值范围

52。直线x＋2y－2＝0经过椭圆错误!＋错误!＝1 (a〉b〉0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．

53.以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________．

54.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ）

4

A。 B.错误! C。错误! D.错误!

5【注:寻找a,b,c的等量关系，遇b换成a、c，整理成关于a、c的方程】

55。椭圆的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．

56.设椭圆错误!＋错误!＝1 (a>b〉0）的左、右焦点分别是F1、F2,线段F1F2被点错误!分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．

57.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2),则它的离心率为（ ）

A.6 B。5 C。错误! D.错误! 58.双曲线错误!－错误!＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ) A。2

B。错误!

C.错误!

D。错误!

x2

59.已知双曲线2－错误!＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有

a

一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A．（1,2］ B．(1,2) C．[2,＋∞) D．(2,＋∞)

四、直线与圆锥曲线的关系： 1、 位置关系的判定:

60.已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P－2，1)，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点?

【注：双曲线和抛物线中，都有相交只有一个交点的情况，这是二次项系数为0的时候,因此相离、相切、相交有两个交点，需要用⊿判断时，必须要加上二次项系数不为0的条件】

61。已知抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为 ) A.1,2)

B.0，0） C。错误!

D.1,4)

2.弦长公式的应用：

62.已知斜率为1的直线l过椭圆错误!＋y2＝1的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．

63。直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2,求弦AB的长．

64。已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为错误!，求抛物线的方程. 65。已知椭圆C：错误!＋错误!＝1 a>b〉0)的离心率为错误!,短轴一个端点到右焦点的距离为错误!。 1）求椭圆C的方程；

2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为错误!，求△AOB面积的最大值.

66.已知过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝错误!p，求AB所在的直线方程．

2、 弦的中点问题：

67。椭圆E：错误!＋错误!＝1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为____________．

68.点P（8，1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________． 【注:双曲线中，可能求出来的弦并不存在，因此需要注意检验⊿>0】

69.若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2，则k等于( )

A．2或－1 B．－1 C．2 D．1±错误!

【注:涉及弦的中点问题，可以使用点差法,但仍需要注意带回检验⊿>0】

70.已知抛物线y2＝6x,过点P4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及｜P1P2|。

4、韦达定理的应用：(综合题型)

71。已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．

（1)求a的取值范围;

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．

72。如图所示，O为坐标原点，过点P（2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M（x1，y1)，N(x2，y2）两点．

（1)求x1x2与y1y2的值;（2)求证：OM⊥ON。

73.已知F1、F2为椭圆x2＋错误!＝1的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ABF2面积的最大值． 【注：这是个焦点落在y轴的椭圆,以F1F2为底边，将三角形分成上下两部分,而高就是AB点横向的距离， 即｜xA－xB｜】

74.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y＝错误!x2的焦点,离心率为错误!。

(1）求椭圆C的标准方程；

（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M,若MA＝mFA,MB＝nFB，求

m＋n的值．