上海市青浦区九年级上期末质量数学试题有答案-精华版

数学试卷

（完成时间：100分钟 满分：150分 ）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、

本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在下列各数中，属于无理数的是（B）

（A）4； （B）6； （C） ； （D）327． 2．已知a>b，下列关系式中一定正确的是（D）

（A）a2b2； （B）2a<2b； （C）a2b2； （D）a<b． 3．一次函数ykx1（常数k0）的图像一定不经过的象限是（A）

（A）第一象限； （B）第二象限； （C） 第三象限； （D）第四象限． 4. 抛物线y2x24与y轴的交点坐标是（C）

（A）（0，2）； （B）（0，2）； （C）（0，4）； （D）（0，4）． 5．顺次联结矩形（非正方形）四边的中点，所得到的图形一定是（A）

（A）菱形； （B）矩形； （C）正方形； （D）等腰梯形． 6．如图1，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC与BD相交于点O，

如果SACD:SABC1:2，那么SAOD:SBOC是（B）

（A）1:3； （B）1:4； （C）1:5； （D）1:6．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

BAOCD12223图1

xy7． 函数 的定义域是 x1 ．

x158． 方程3x12的根是 x ．

39． 如果关于x的一元二次方程x22xm0有实数根，那么m的取值范围是 m1 ．

10. 从点数为1、2、3的三张扑克牌中随机摸出两张牌，摸到的两张牌的点数之积为素数的概率是 11. 将抛物线yx24x向下平移3个单位，所得抛物线的表达式是 yx24x3 ．

2 ． 312. 如果点A（2，y1）和点B（2，y2）是抛物线y(x3)2上的两点，那么

（填“>”、“=”、“<”） y1 < y2．

13. 如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，那么这个多边形的边数是 六 ． 14. 点G是△ABC的重心，GD//AB，交边BC于点D，如果BC=6，那么CD 的长是 4 ．

1．设BAa，BCb．那么 15. 已知在△ABC中，点D在边AC上，且AD∶DC2∶ BD= a132b ．（用向量a、b的式子表示） 35 ． 1216. 如图2，在△ABC中，∠C=90°，AC=3， BC=2，边AB的垂直平分线交AC边于点D，交AB边于点E，联结DB，那么tan∠DBC的值是

17. 如图3，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE并延长，交对角线BD于点F，交BA的延长线于点G，如果DE=2AE，那么CF∶EF∶EG= 6:4:5 ．

18．如图4，已知△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的点E处，点B落在点D处，联结BD，如果∠DAC=∠DBA，那么

三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）

AEBDCBD51的值是 ． AB2GAEFB图3

DCC图2

A图4

B2a2a21计算：． (a1)2a1a2a12a1a1a11解：原式=． 2a1a1a1=

2a1． a1a1a1． a1=

=1．

20. （本题满分10分）

x4xy4y4， ① 解方程组：

xy10.②

解：由①得x2y2或x2y2．

22原方程可化为x2y2，x2y2， xy1.xy1.4x，x10，23解得原方程的解是 y11；y1.2321．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）

8

y已知：如图5，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 x的图像与正比例函数ykx(k0)的图

y像相交于横坐标为2的点A，平移直线OA， 使它经过点B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求平移后直线的表达式； （2）求∠OBC的余切值．

解：（1）∵横坐标为2的点A在y图5 AOx8的图像上，∴A（2，4）． x ∵A（2，4）在ykxk0的图像上，∴y2x．

设直线BC的函数解析式为yk1xbk10， 由题意得，k12，∵B（3，0），∴y2x6．

（2）∵y2x6与y轴交于点C，∴C（0，6），∴OC=6． ∴cotOBC22．（本题满分10分）

某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图6，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1:3．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，31.73．）

BEDCAOB31． OC62

解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．

由题意，得AF⊥DC，HF = ED=1.5，EH=DF，∠AEH=37°，DC=40． ∵i=1:3，在Rt△BCF中，设BF =k，则CF =3k，BC =2k． ∵BC=12，∴k=6，∴BF=6，CF=63． ∵DF= DC +CF，∴DF=4063． 在Rt△AEH中， ∵tanAEHAH，∴AHtan37406337.8． EH∵BH =BF -FH，∴BH =6 -1.5=4.5． ∵AB =AH -HB，∴AB =37.8 -4.5=33.3． 答：大楼AB的高度约为33.3米．

23．（本题满分12分，每小题各6分）

已知：如图7，在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，联结CF交线段

A2BE于点G，CGGEGD． F（1）求证：∠ACF=∠ABD；

DE（2）联结EF，求证：EFCGEGCB．

证明：（1）∵CGGEGD，∴

2GB图7

CCGGD． GECG又∵∠CGD=∠EGC，∴△GCD∽△GEC． ∴∠GDC=∠GCE．

∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC． ∴∠ACF=∠ABD．

（2）∵∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE，∴△BGF∽△CGE． ∴

FGEG． BGCG又∵∠FGE=∠BGC，∴△FGE∽△BGC． ∴

FEEG． BCCG∴FECGEGCB．

24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）

已知：如图8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax1与x轴的正半轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OB=3OC，点P是第一象限内的点，联结BC，△PBC是以BC为斜边的等腰直角三角形． （1）求这个抛物线的表达式； （2）求点P的坐标；

（3）点Q在x轴上，若以Q、O、P为顶点的三角形与以点C、A、B为顶点的三角形相似，求点Q的坐标．

yPCOABx

图8

解：（1）∵抛物线yax4ax1，∴点C的坐标为（0，1）．

∵OB=3OC，∴点B的坐标为（3，0）． ∴9a12a10，∴ a21241． ∴yxx1．

333（2）过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，垂足分别为点M、N． ∵∠MPC=90°-∠CPN，∠NPB=90°-∠CPN，∴∠MPC=∠NPB．

∵PC=PB，∴△PMC≌△PNB，∴PM=PN．

设点P（a，a）．∵PCPB，∴aa1a3a．

222222解得a2． ∴ P（2，2）．

（3）∵该抛物线对称轴为x=2， B（3，0），∴A（1，0）．

∵ P（2，2），A（1，0）， B（3，0），C（0，1）， ∴ PO=22，AC=22，AB=2．

∵∠CAB =135°，∠POB =45°，∴当△OPQ与△ABC相似时，点Q在点O左侧．

（i）当

ACOP222时，∴，∴OQ=4，∴Q（-4，0）． ABOQ2OQ（ii）当

ACOQ2OQ时，∴，∴OQ=2，∴Q（-2，0）． ABOP222 综上所述，点Q的坐标为（-4，0）或（-2，0）．

25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）

5sinABD已知：如图9，在菱形ABCD中，AB=5，联结BD， ．点P是射线BC上的一个动点(点

5P不与点B重合)，联结AP，与对角线BD相交于点E，联结EC．

（1）求证：AECE；

（2）当点P在线段BC上时，设BP=x，△PEC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，求线段BP的长．

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴BA=BC，∠ABD＝∠CBD． 又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE． ∴AE＝CE．

（2）联结AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BC，

垂足分别为点H、F．

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD． ∵AB=5，sinABD∵

ADADEBP图9

CB备用图

C5，∴AO=OC5，BO=OD25． 51ACBDBCAH，∴AH=4，BH=3． 2AEADAEEPADBP∵AD∥BC，∴，∴， EPBPEPBPAP5xEPx∴，∴． EPxAP5xEFPE∵EF∥AH，∴， AHAP∴EF4x． 5x114x10x2x2∴yPCEF5x0x5．

225x5x（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．

（i）当∠ECP=90°时，

∵△ABE≌△CBE，∴∠BAE=∠BCE=90°，

ABBH， BPAB5325∴，∴BP=．

3BP5∵cosABP（ii）当∠CEP=90°时，

∵△ABE≌△CBE，∴∠ AEB=∠CEB=45°， ∴AOOE5，∴ED5，BE35． ∵AD∥BP，∴∴

ADDE， BPBE55，∴BP=15． BP3525或15． 3综上所述，当△EPC是直角三角形时，线段BP的长为