圆锥曲线基本题型总结

提纲：

一、 定义的应用：

1、 定义法求标准方程：

2、 涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、 焦点三角形问题： 二、

圆锥曲线的标准方程：

1、 对方程的理解

2、 求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、 各种圆锥曲线系的应用： 三、

圆锥曲线的性质：

1、 已知方程求性质： 2、 求离心率的取值或取值围 3、 涉及性质的问题： 四、

直线与圆锥曲线的关系：

1、 位置关系的判定： 2、 弦长公式的应用： 3、 弦的中点问题： 4、 韦达定理的应用：

一、 定义的应用： 1. 定义法求标准方程：

（1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）

1.设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )

A．椭圆 B．直线

1 / 9

.

C．圆 D．线段 【注：2a>|F1 F2|是椭圆，2a=|F1 F2|是线段】

2.设B－4,0)，C4,0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为 )

A.C.

＋＝1 y≠0) B.＋＝1 259259＋＝1 y≠0) D.＋＝1 1616169

x2x2

y2y2x2

y≠0)

y≠0) 【注：检验去点】

y2y2x2

3.已知A0，－5)、B0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为 ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线

D.双曲线一支或一条射线 【注：2a<|F1 F2|是双曲线，2a=|F1 F2|是射线，注意一支与两支的判断】

4.已知两定点F1－3,0)，F23,0)，在满足下列条件的平面动点P的轨迹中，是双曲线的是 ) A.||PF1|－|PF2||＝5 B.||PF1|－|PF2||＝6 C.||PF1|－|PF2||＝7

D.||PF1|－|PF2||＝0 【注：2a<|F1 F2|是双曲线】

5.平面有两个定点F1－5,0)和F2A.C.

5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是 )

－＝1x≤－4) B.－＝1169916

x2x2

y2y2

x2y2

x≤－3)

－＝1x≥4) D.－＝1x≥3) 【注：双曲线的一支】 169916

2

2

x2y2

6.如图，P为圆B：x＋2)＋y＝36上一动点，点A坐标为2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程.

7.已知点A(0，3)和圆O1：x＋(y＋3)＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．

（2）涉及圆的相切问题中的圆锥曲线：

8.已知圆A：x＋3)＋y＝100，圆A一定点B3，0)，圆P过B且与圆A切，求圆心P的轨迹方程. 已知动圆M过定点B－4,0)，且和定圆x－4)＋y＝16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为 )

2 / 9

2

2

2

2

2

2

.

A.－＝1 x>0) B.－＝1 412412

x2

y2

x2

y2

x<0)

C.－＝1 D.－＝1 【注：由题目判断是双曲线的一支还是两支】 412412

9.若动圆P过点N－2,0)，且与另一圆M：x－2)＋y＝8相外切，求动圆P的圆心的轨迹方程. 【注：双曲线的一支，注意与上题区分】

10.如图，已知定圆F1：x＋y＋10x＋24＝0，定圆F2：x＋y－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.

2

2

2

2

2

2

x2y2y2x2

11.若动圆与圆x－2)＋y＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 ) A.椭圆 B.双曲线C.双曲线的一支 D.抛物线

12.已知动圆M经过点A3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程. 【注：同上题做比较，说法不一样，本质相同】

1113.已知点A3,2)，点M到F，0的距离比它到y轴的距离大.（M的横坐标非负）

221)求点M的轨迹方程； 【注：体现抛物线定义的灵活应用】

2)是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【注：抛物线定义的应用，涉及抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】

（3）其他问题中的圆锥曲线：

14.已知A，B两地相距2 000 m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚4 s，且声速为340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【注：双曲线的一支】

2.

15.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，

则动点P的轨迹所在的曲线是( )

A．直线 B．圆

C． 双曲线 D．抛物线

2

2

【注：体现抛物线定义的灵活应用】

3 / 9

.

2.涉及到曲线上的点到焦点距离的问题：

x2y2

16.设椭圆2＋2＝1 (m>1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为( )

mm－1

212－13B.C.D. 222422xy

17.椭圆＋＝1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为( )

167

A．32B．16 C．8 D．4

A.

x2y2

18.已知双曲线的方程为2－2＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1

ab为另一焦点，则△ABF1的周长为( )

A．2a＋2mB．4a＋2mC．a＋m D．2a＋4m

19.若双曲线x－4y＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________.

xy

20.设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是( )

1612

A．钝角三角形 B．锐角三角形C．斜三角形 D．直角三角形

22xy

21．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．

92

【注：椭圆上的点到焦点的距离，最小是a-c，最大是a+c】 22.已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________.

6436

【注：注意结果的取舍，双曲线上的点到焦点的距离最小为c-a】

23.已知双曲线的方程是－＝1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求

168|ON|的大小O为坐标原点). 【注：O是两焦点的中点，注意中位线的体现】

24.设F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且PF1·PF2＝0，则|PF1＋PF2|等

54

于( )A．3 B．6 C．1 D．2

2

25.已知点P是抛物线y＝2x上的一个动点，则点P到点0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是 )A.179B.3 C.5D. 22

2

2

2

2

x2y2

x2y2

x2y2

【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离】

2

26.已知抛物线y＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最

1265

小值是( )A.B.C．2 D. 555

【注：抛物线定义的应用，将抛物线上的点到准线的距离转化成到焦点的距离】

27.设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，且|AB|＝1，则A的横坐标的值为( )

A．－2 B．0C．－2或0 D．－2或2 【注：抛物线的焦半径，即定义的应用】

4 / 9

.

3.焦点三角形问题：

椭圆的焦点三角形周长CPF1F2＝PF1＋PF2＋2C＝2a2c 椭圆的焦点三角形面积：

2PF1 推导过程：  PF12PF2-2PFPFPF2a (2)1222COS4c (1) 2

(2)-(1)得 2PF1 SPFF12PF2(1cos)4a-4c PF1222PF21cos2b212PFPF1sin12b2sinb tan 21cos22 双曲线的焦点三角形面积：

SPFF 12btan22

π

28.设P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．

100643【注：小题中可以直接套用公式。S=btan15】

29.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 916【注：小题中可以直接套用公式。】

30.已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程．

2x2y2

x2y2

x2y2

31.已知点P(3,4)是椭圆2＋2＝1 (a>b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：

ab(1)椭圆的方程； (2)△PF1F2的面积．

二、圆锥曲线的标准方程： 1. 对方程的理解

xy

32.方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值围是( )

|a|－1a＋3

A．(－3，－1) B．(－3，－2)C．(1，＋∞) D．(－3,1)

222

33.若k>1，则关于x，y的方程1－k)x＋y＝k－1所表示的曲线是 ) A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线 【注：先化为标准方程形式】 34.对于曲线C：＋＝1，给出下面四个命题：

4－kk－1

①曲线C不可能表示椭圆；

②当1③若曲线C表示双曲线，则k<1或k>4；

5

④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则12

5 / 9

2

2

x2y2

.

35.已知椭圆xsin α－ycos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值围是( )

3π3ππ3A.π，πB.，πC.，πD.，π 444224

2

2

x2y2

36.双曲线 －＝1的一个焦点到中心的距离为3，求m的值. 【注：要根据焦点位置分情况讨论】

mm－5

2.求曲线方程（已经性质求方程）

37.以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )

412

A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1 16121216164416

38.根据下列条件，求椭圆的标准方程．

(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；

35(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点－，. 【注：定义的应用】 2239.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

5

，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________． 5

x2y2

x2y2x2y2x2y2x2y2

40.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )

A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1 817281981458136

x2y2x2y2x2y2x2y2

x2y212

41.设椭圆2＋2＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线y＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )

mn2x2y2x2y2x2y2x2y2

A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1 1216161248646448

42.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设

1点A的坐标是1，. 2

(1)求该椭圆的标准方程；

(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．【注：相关点法求曲线方程】

43.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )

A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1

44444884

x2y2y2x2y2x2x2y2

x2y22

44.已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y＝24x的准线上，则

ab双曲线的方程为( )

A.－＝1 B.－＝1C.－＝1 D.－＝1 3610892710836279

45.求与双曲线－＝1有公共焦点，且过点32，2)的双曲线方程.

164

46.双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．

84

6 / 9

x2y2x2y2x2y2x2y2

x2y2

x2y2

.

47.根据下列条件写出抛物线的标准方程： 1)经过点－3，－1)；

2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.

48.抛物线y＝2pxp>0)上一点M的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________. 【注：定义的应用，焦半径】

2

三、圆锥曲线的性质： 1.已知方程求性质：

49.椭圆2x＋3y＝1的焦点坐标是( )

66

A.0，±B．(0，±1)C．(±1,0) D.±，0 【注：焦点位置】

6622

50.椭圆25x＋9y＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )

4433

A．5,3，B．10,6，C．5,3，D．10,6，

5555

2

51.设a≠0，a∈R，则抛物线y＝ax的焦点坐标为( )

a1a1，00，，00，A. B.C.D. 22a44a

【注：先化为抛物线的标准方程，此处最容易出错】

2

2

2.求离心率的取值或取值围

xy

52.直线x＋2y－2＝0经过椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．

ab

53.以等腰直角△ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为____________．

54.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )

4321A.B.C.D. 5553

【注：寻找a,b,c的等量关系，遇b换成a、c，整理成关于a、c的方程】

55.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．

2

2

x2y2b56.设椭圆2＋2＝1 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离ab2

心率为________．

57.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )

65

A.6B.5C.D.

22

x2y2

58.双曲线2－2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 )

ab7 / 9

.

3

A.2 B.3C.2D.

2

x2y2

59.已知双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一

ab个交点，则此双曲线离心率的取值围是( )

A．(1,2] B．(1,2)

C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)

四、直线与圆锥曲线的关系： 1、 位置关系的判定：

60.已知抛物线的方程为y＝4x，直线l过定点P－2,1)，斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

【注：双曲线和抛物线中，都有相交只有一个交点的情况，这是二次项系数为0的时候，因此相离、相切、相交有两个交点，需要用⊿判断时，必须要加上二次项系数不为0的条件】

61.已知抛物线y＝4x上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为 ) A.

2

2

2

11,2) B.0,0)C.，1D.

2

1,4)

2.弦长公式的应用：

62.已知斜率为1的直线l过椭圆＋y＝1的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．

4

x2

2

63.直线y＝kx－2交抛物线y＝8x于A、B两点，若线段AB中点的横坐标等于2，求弦AB的长．

64.已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程.

2

x2y26

65.已知椭圆C：2＋2＝1 a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3.

ab3

1)求椭圆C的方程；

2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为3

，求△AOB面积的最大值. 2

52

66.已知过抛物线y＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|＝p，求AB所在的直线方程．

2

2、 弦的中点问题：

xy

67.椭圆E：＋＝1有一点P(2,1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为____________．

164

8 / 9

2

2

.

68.点P(8,1)平分双曲线x－4y＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________． 【注：双曲线中，可能求出来的弦并不存在，因此需要注意检验⊿>0】

2

69.若直线y＝kx－2与抛物线y＝8x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k等于( )

A．2或－1 B．－1 C．2 D．1±5

【注：涉及弦的中点问题，可以使用点差法，但仍需要注意带回检验⊿>0】

2

70.已知抛物线y＝6x，过点P4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.

2

2

4、韦达定理的应用：（综合题型）

71.已知直线y＝ax＋1与双曲线3x－y＝1交于A，B两点．

(1)求a的取值围；

(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，数a的值．

2

72.如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点．

(1)求x1x2与y1y2的值；(2)求证：OM⊥ON.

2

2

y

73.已知F1、F2为椭圆x＋＝1的上、下两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦，求△ABF2面积的最大值．

2

【注：这是个焦点落在y轴的椭圆，以F1F2为底边，将三角形分成上下两部分，而高就是AB点横向的距离， 即|xA－xB|】

1225

74.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x的焦点，离心率为.

45

(1)求椭圆C的标准方程；

2

2

(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，若MA＝mFA，MB＝nFB，求m＋n的值．

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