本章介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和 “元素”两个概念出发，给出集合运算、关系、映射以及集合的基数 等方面的知识．至于选择公理，只是稍稍提了一下，进一步的知识待 到要用到时再阐述．旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。
这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，如果对集合的 理论有进一步的需求，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻 辑，可以去研读有关公理集合论的专著． 文档收集自网络，仅用于个人学习
即令就朴素集合论本身而言，我们也无意使本章的内容构成一个 完全自我封闭的体系，主要是我们没有打算重建数系，而假定读者了 解有关正整数，整数，有理数，实数的基本知识，以及其中的四则运 算，大小的比较（V和w）,和实数理论中关于实数的完备性的论断 何由实数构成的集合有上界必有上确界）等，它们对于读者决不会是 陌生的．此外，对于通常的（算术）归纳原则也按读者早已熟悉的方 式去使用，而不另作逻辑上的处理． 文档收集自网络，仅用于个人学习
§1.1 集合的基本概念
集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种 共同特点的个体构成的集体．例如我们常说“正在这里听课的全体学
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生的集合”，“所有整数的集合”等等.集合也常称为集，族，类.
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文
集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个 体”构成的.例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一 个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素.元素 也常称为元，点，或成员. 文档收集自网络，仅用于个人学习
集合也可以没有元素.例如平方等于 2的有理数的集合，既大于1 又小于2的整数的集合都没有任何元素.这种没有元素的集合我们称 之为空集，记作.此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点 集.文档收集自网络，仅
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集合的表示法：
（1）用文句来描述一个集合由哪些元素构成（像前面所作的那样）， 是定义集合的一个重要方式.
（2）描述法：我们还通过以下的方式来定义集合：记号 ｛x|关于x的一个命题P｝
表示使花括号中竖线后面的那个命题 P成立的所有元素x构成的集 合.例如，集合｛x|x为实数，并且0VXV1｝即通常所谓开区间（0，1）.在 运用集合这种定义方式时有时允许一些变通，例如集合 ｛「二是实数｝ 便是集合「「「，其中x是实数｝的简略表示，不难明白这个集合实 际上是由全体非负实数构成的.集合表示方式中的竖线“ |”也可用冒
号“：”或分号“；”来代替.
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（3）列举法：也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号 以表示这个集合.例如｛：〔、｝表示由元素\\
构成的集合.如
果确实不至于发生混淆，在用列举的办法表示集合时容许某种省略. 例 如，有时我们可以用｛1 , 2, 3,…｝表示全体正整数构成的集合，用｛1 , 3,厶，…｝表示全体正奇数相成的集合.但我们并不鼓励这种做法，因 为后面的规律不是很清楚，容易产生误解.我们再三提请读者注意： 不管你用任何一种方式定义集合，最重要的是不允许产生歧义，也就 是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的.
在本书中，我们用：
「表示全体正整数构成的集合，称为正整数集； Z表示全体整数构成的集合，称为整数集； Q表示全体有理数构成的集合，称为有理数集； R表示全体实数构成的集合，称为实数集； 并且假定读者熟知这些集合. 以下是一些常用的记号：
€ :表示元素与集合的关系，如：x € X， x € ｛x｝等 一：表示集合与集合的关系，如：A_B （等价于宀「丄 （这个记号即是通常数学课本中的—） -:表示与上述相反的含义.
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=:表示两个集合相等，如：A=B （等价于 —一 :）
以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题，从直觉着去看也 是自明的.
定理1.1.1 设A, B, C都是集合，则
(I ) A= A;
(2) 若 A= B,则 B= A; (3) 若 A= B, B=C 则 A= C. 定理1.1.2 设A, B, C都是集合，则 (I ) A_A；
(2) 若 A_B, B_A，贝S A= B; (3) 若 A_B, B_C,贝S A_C. 证明(I )显然.
(2) A_B意即：若 x€ A,贝S x€ B；
B_ A意即：若x€ B,则x€ A.这两者合起来正好就是 A= B的意 思.
(3) x € A.由于A_ B,故x € B;又由于B _C,从而x€ C. 综上所述，如果x€A就有x€ C.此意即A—C.
因为空集二不含任何元素，所以它包含于每一个集合之中.由此 我们可以得出结论：空集是惟一的.
设A, B是两个集合.如果A—B,我们则称A为B的子集;
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如果A是B的子集，但A又不等于B,即A_B, AMB,也就是说A 的每一个元素都是B的元素，但B中至少有一个元素不是 A的元素， 这时，我们称A为B的真子集. 文档收集自网络，仅用于个人学习
我们常常需要讨论以集合作为元素的集合，并且为了强调这一特 点，这类集合常称为集族.例如，A二{{1},{1,2},{1,2,3}} 它的三个元素分别为：{1},{1,2},{1,2,3}
是一个集族.
及二. 文档收集自网络，仅用于个人学习
设X是一个集合，我们常用P(X)表示X的所有子集构成的集族， 称为集合X的幕集.例如，集合{1,2}的幕集是P={{1},{1,2},{2},
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: }.
本章中所介绍的集合论是所谓“朴素的”集合论.在这种集合论 中，“集合”和“元素”等基本概念均不加定义而被认作是自明的.
正
因为如此，历史上曾经产生过一些悖论.而对于绝大多数读者来说了解 朴素的集合已是足够的了，只是要求他们在运用的时候保持适当的谨 慎，以免导致逻辑矛盾.例如，我们应当知道一个集合本身不能是这 个集合一个元素.即：若 A是集合则A€A不成立.这一点是容易理解 的.例如，由一些学生组成的一个班级决不会是这个班级里的一名学 生.因此，我们不能说“所有集合构成的集合”，因为如果有这样一 个“集合”的话，它本身既是一个集合，就应当是这个“所有集合构 成的集合”的一个元素了.也因此，我们应当能够了解一个元素
a和
仅含一个元素a的单点集{a}是两回事，尽管我们有时为了行文的简便 而在记号上忽略这个区别. 文档收集自网络，仅用于个人学习
作业:
掌握集合、元素的概念、表示法 熟练区分“€”与“ 的意义
§ 1.2 集合的基本运算
在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算，这三种运 算的基本规律，以及它们与集合的包含关系之间的基本关联.
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定义1.2.1 设A与B是两个集合.
集合｛x|x €A或x€ B｝称为集合A与集合B的并集或并，记作AUB 读为A并B.
集合｛x|x €A且x€ B｝称为集合A与集合B的交集或交，记作AA B, 读为A交B.若AA B二二，则称集合A与集合B无交或不相交；反之， 若
AA BM二，则称集合A与集合B有(非空的)交. 文档收集自网络，仅用于个人学习 集合｛x|x €人且x^B｝称为集合A与集合B的差集，记作A\\B或A —B，读为A差B，或A减B.
关于集合的并、交、差三种运算之间，有以下的基本规律. 定理1.2.1
设A, B, C都是集合.则以下等式成立：
(1) 幕等律
AU A= A
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An A=A (2) 交换律
AU B= BUA (3) 结合律
(A U B) U C= AU (B U C) (A n B) n C= An (B n C) (4) 分配律
(A n B) U C= (A U C)n (B U C) An B=Bn A
(A U B) n C= (A n C)U (B n C)
(5) DeMonganf聿
A-(BUC)二((A- B) n (A-C) A-((B n C)= (A-B)U(A-C)
集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基 本关联.
定理1.2.2 设A, B是两个集合.下列三个条件等价：
(I ) A_B； (2) An B= A； (3) AU B= B. 定义1.2.2 设X是一个基础集.对于X的任何一个子集A,我们 称X-
A为A (相对于基础集X而言)的补集或余集记作匸. 文档收集自网络， 仅用于个人学习 我们应当提醒读者，补集 匚的定义与基础集的选取有关.所以在 研究某一个问题时，若用到补集这个概念，在整个工作过程中基础集 必须保持不变. 文档收集自网络，仅用于个人学习
定理123 设X是一个基础集.若A, B为X的子集，则
A\\JA = XMrUSSM = =A
以上证明均只须用到集合的各种定义，此处不证，略去. 作业:
熟记这两节的各种公式
掌握证明两个集合A=B与A_ B的基本方法
AuE 0 Yxexe B
（£= B O 虫匸
匸 A ）
§ 1.3 关系
我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算，以及 等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的 元素之间的某种联系.为了明确地定义它们，我们先定义“关系”， 而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念.
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定义1.3.1 设X和Y是两个集合.集合
{ （x，y） |x € X，y€ Y}
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称为X与丫的笛卡儿积，记作XX Y,读为X叉乘Y.其中（x , y）是一 个有序偶，x称为（x, y）的第一个坐标，y称为（x, y）的第二个坐 标.X称为XXY的第一个坐标集，丫称为XXY的第二个坐标集.集合 X与自身的笛卡儿积XXX称为X的2重（笛卡儿）积,通常简单记作［.文
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有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“开区间”的记号 是一样的，有时容易混淆.因此在可能发生混淆的情形下应当加以说 明，以避免误解. 文档收集自网络，仅用于个人学习
给定两个集合，通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合，这 个办法对于读者并不陌生.以前学过的数学中通过实数集合构作复数 集合，通过直线构作平面时，用的都是这个办法.
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我们应当注意，一般说来集合X与集合丫的笛卡儿积XXY完全不 同于集合丫与集合X的笛卡儿积YX X.
定义133 设X,Y是两个集合.如果R是X与丫的笛卡儿积XXY 的一个子集，即R—XX 丫，则称R是从X到丫的一个关系. 文档收集自网络，
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定义1.3.4 设R是从集合X到集合丫的一个关系，即R- XX Y.如 果（x , y） € R,则我们称x与y是R相关的，并且记作xRy.如果A_X， 则
丫的子集 文档收集自网络，仅用于个人学习
{y € Y|存在x€A使得xRy}
称为集合A对于关系R而言的象集，或者简单地称为集合 A的象集， 或者称为集合A的R象，并且记作R( A), R( X)称为关系R的值域.文
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关系的概念是十分广泛的.读者很快便会看到，以前在另外的数 学学科中学过的函数(映射)，等价，序，运算等等概念都是关系的 特例.这里有两个特别简单的从集合 X到集合丫的关系，一个是XXY 本身，另一个是空集二请读者自己对它们进行简单的考查. 文档收集自网络，
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定义135 设R是从集合X到集合丫的一个关系，即R_XX 丫这 时笛卡儿积YXX的子集
{ (y，X)€ YX X|xRy}
是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系 R的逆，并且记作 如果B_Y，X的子集丄」(B)是集合B的.「象,我们也常称它为 集合B对于关系R而言的原象，或者集合B的R原象.特别，关系£ ' 的值域；-(Y)也称为关系R的定义域. 文档收集自网络，仅用于个人学习
定义136 设R是从某个X到集合Y的一个关系，即R- XX Y，S 是从集合y到集合Z的一个关系，即S_YX乙集合{ (x，z)€ XX Y| 存在y€Y使得xRy并且ySz}是笛卡儿积XXZ的一个子集，即从集合 X到集合Z的一个关系，此关系称为关系R与关系S的复合或积，记作 S R.文档收集自网络，仅用于个人学习
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定理1.3.1 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y 到集合Z的一个关系，T是从集合Z到集合U的一个关系.贝心 文当收集 自网络，仅用于个
人学习
(1) = R
(2) (5 o/?)-1 =R-}OSA 证明(略) 定理132
设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从某个Y
到集合Z的一个关系.则对于X的任意两个子集A和B，我们有：文档收
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(1) R (AU B)= R (A)U R ( B); (2) R (AA B) _ R (A)A R (B); (3) ( SR)( A)= S(R(A)). 证明(略)
在本节的最后我们要提到有限个集合的笛卡儿积的概念，它是两 个集合的笛卡儿积的概念的简单推广.
定义137 设忙是n > 1个集合.集合
{(*1周■咼)丨*1 €才［內E Ai E \"J称为為・爲3“扎的笛卡儿积，并且记
作亠二
=；或者\"」 其中J丄」为有次 序的n元素组，I
(i=1,2,…n)称为n元素组：二-的第i个坐标，…(i = 1，2，…， n)称为笛卡儿积 二……的第i个坐标集. 文档收集自网络，仅用于个人学习
n> 1个集合X的笛卡儿积XXXX…XX常简单地记作
n 个集合的笛卡儿积的概念读者必然也不会感到陌生， 在线性代数 中 n 维欧氏空间作为集合而言就是 n 个直线（作为集合而言）的笛卡 儿积． 文档收集自网络，仅用于个人学习
需要提醒读者的是，如果你在给定的 n 个集合中交换了集合的次 序，一般说来得到的笛卡儿积会是完全不同的集合．至今我们并未定 义“0个集合的笛卡儿积”， 此事将来再以某种方式补充．（参见§ 9．1） 文档收集自网
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作业:
理解“关系”的概念 , 掌握“关系”与“映射”的异同 ,“映射” 与“函数”的异同 .（ 映射要求象惟一 ,关系没要求 .函数要求定义域与 值域是数域 , 而映射不一定 ） 文档收集自网络，仅用于个人学习
掌握运算乘积的概念与性质 掌握集合的笛卡儿积中元素的形式
§1.4 等价关系 初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析 几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的．这些概念的精确定 义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念．在本书中我们将 通过等价关系来定义拓扑空间的商空间． 文档收集自网络，仅用于个人学习
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定义1.4.1 设X是一个集合.从集合X到集合X的一个关系将简 称为集合X中的一个关系.集合X中的关系{ (x, x) |x € X}称为恒同 关系，或恒同，对角线，记作△( X)或△. 文档收集自网络，仅用于个人学习
定义142 设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如 果厶(X) _R,即对于任何x€ X,有xRx;关系R称为对称的，如果, 即对于任何x, y € X,如果xRy则yRx;关系R称为反对称的，如果 丄：厂-」，即对于任何x, y € X, xRy和yRx不能同时成立；关系 R 称为传递的，如果R「R_R,即对于任何x, y, z€ X,如果xRy, yRz, 贝y有xRz.文档收集自网络，
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集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集 合X中的一个等价关系.
容易验证集合X中的恒同关系△( X)是自反、对称、传递的，因 此是X中的一个等价关系.
集合X的幕集RX)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“相 等关系”可以理解为集合 RX) x RX)的子集 文档收集自网络，仅用于个人学习
{ (A, B) |A , B€ RX) , A=B}
从定理1.1.1中可见，它是自反、对称、传递的，因此是 中的一个等价关系.
集合X的幕集RX)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“包 含关系”可以理解为集合 P(X)x P(X)的子集 文档收集自网络，仅用于个人学习
{ (A, B) |A , B€ P (X) , A_B}
P (X)
根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是 对称的，因此不是RX)中的一个等价关系. 文档收集自网络，仅用于个人学习
集合X的幕集RX)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“真 子集关系”可以理解为集合 P(X) x P(X)的子集 文档收集自网络，仅用于个人学习
{(A , B)|A , B€ P(X) , A_B,AM B}
根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的， 因而不是P(X)中的一个等价关系.
实数集合R中有一个通常的小于关系V，即 RXR的子集 { (x，y) |x，y€ R, xVy}
容易验证关系V是反对称的，传递的，但不是自反的.
设p是一个素数，我们在整数集合 Z中定义一个关系三p如下： -={ (X，y)€ ZxZ|存在 n€Z 使得 x-y=np}
关系常称为模p等价关系，容易验证模p等价关系；是自反的， 对称的，传递的，因此是Z中的一个等价关系.
定义143 设R是集合X中的一个等价关系.集合X中的两个点 x，y，如果满足条件：xRy，则称x与y是R等价的，或简称为等价的； 对于每一个x€ X，集合X的子集：{y € X|xRy}称为x的R等价类或等 价类，常记作或［x］，并且任何一个y €都称为R等价类的 一个代表元
商集，记作X/ R. 文档收集自网络，仅用于个人学习
素；集族{ x€ X}称为集合X相对于等价关系R而言的
商集，记作
X/ 文档收集自网络，仅用于个人学习
R. 我们考虑整数集合Z中的模2等价关系1,易见，1^3和2【8.因 此1与3是【等价的，2和8也是1等价的.整数2所属的等价类是 所有偶数构成的集合，每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表 元素.此外易见，商集Z/三1有且仅有两个元素：一个是所有奇数构成 的集合，另一个是所有偶数构成的集合.
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下面这个定理说明，给定了一个等价关系，等于说给定了一个分 类的原则，把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类，使 得这集合的每一个元素都在某一个等价类中 .文档收集自网络，仅用于个人学习
定理1.4.1 设R是非空集合X中的一个等价关系.贝心 (1) 如果x € X，则x € ，因而 1厂「；
(2) 对于任意x，y€ X，或者〔山』儿，或者[心门[/]汀0证明 (1) 设x€ X，由于R是自反的，所以xRx，因此x€,二工J .文 档收集自网
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(3) 对于任意x，y € X，如果，设z € [x] A [y].此时有zRx,且 zRy.由于R是对称的，所以xRz.又由于R是传递的，所以xRy.文档 收集自网
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对于任何一个t €「丄，有tRx，由上述xRy和R的传递性可见tRy， 即t € \" 一：.这证明二_、5.
同理可证 二_
—因此-^ =?
(注意：要证或者…或者…，应从以下入手：否定掉一个，去证另一 个)
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在初等数论中我们早就知道整数模（素数）p的等价关系J将整数 集合Z分为互不相交的等价类，每一个等价类记作 模p同余类. 文档收集自网络，仅用于个人学习
让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：首先将 固定向量定义为平面（或n维欧氏空间）中的有序偶；然后在全体固 定向量构成的集合（暂时记为X）中定义一个关系~,使得两个固定向 量x和y~相关（即x~y）当且仅当x能通过平面（或n维欧氏空间） 的一个平移与y重合.容易验证这个关系〜是X中的一个等价关系.每 一个~等价类便称为一个自由向量.
作业：
熟练掌握等价关系，等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的 构成
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，称为整数x的
§ 1.5 映射
数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线性代数中的线性 变换概念等等都是读者所熟知的概念.这些概念的精确定义事实上都 有赖于本节中所讨论的映射概念. 文档收集自网络，仅用于个人学习
定义1.5.1
设F是从集合X到集合Y的一个关系.如果对于每一
个x€X存在惟一的一个y €Y使得xFy,则称F是从X到Y的一个映射，
并且记作F: X-Y.换言之，F是一个映射，如果对于每一个 x€ X:文
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(1) 存在y € Y,使得xFy; (2)
L和”1 ,则■'
_
如果对于€Y有二.
定义1.5.2 设X和Y是两个集合，F: X-Y(读做F是从X到Y的
一个映射).对于每一个x€ X,使得xFy的唯一的那个y€Y称为x的 象或值，记作F (x);对于每一个y€ Y,如果x€X使得xFy (即y是 x的象)，则称x是y的一个原象(注意：y€Y可以没有原象，也可 以有不止一个原象).
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由于映射本身便是关系，因此，如果 F是从集合X到集合丫的一 个映射，那么：
(1) 对于任何A_X，象F (A)有定义，并且
F(A)={F(x)|x € A}
(2) 对于任何B —Y，原象「’(B)有定义，并且
J (B) ={x € X|F(x) € B}(注意：：(x)与 J ({x})的异同，前者不一 定有
意义，而后者总存在；前者表示兀素，后者表示集合 )文档收集自网络，仅 用于个人学习
(3) 如果Z也是一个集合并且G: Y-乙则关系的复合GF作为 一个从X到Z的关系有定义；
(4) F :作为从丫到X的一个关系有定义，但一般说来F :不是一 个从丫到X的映射(这要看F是否是 ---- 映射)；
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(5) F的定义域有定义，并且它就是 X;(意味着X中的每个元素 都必须有象)
(6) F的值域有定义，并且它就是 F(X). (F(X)不一定充满Y) 定理1.5.1 设X, Y和Z都是集合.如果F: X-Y和G: Y-乙 则GF: X- Z;并且对于任何 x€ X,有 文档收集自网络，仅用于个人学习
GF (x)= G(F(x))(这实际上是映射的积的本质)
证明(略)(但要理解上式等号左右两边的不同含义，前者是两个映 射的积(也是一个映射)作用在 x上，后者是F先作用在x上，然后G 再作用在F(x)上).文档收集自网络，仅用于个人学习
今后我们常用小写字母f, g, h,……表示映射.
定理1.5.2 设X和Y是两个集合，f:X -Y.如果A, B_Y
则
(1) 八(AU B)= 一八(A)U 一…(B); (2) 八(AA B)= 一八(A)门一…(B); J1 -1
/~1
/-I
(3) 一 (A-B)=_ (A) -一 (B).
简言之，映射的原象保持集合的并，交，差运算. 证明(略).
定义1.5.3 设X和Y是两个集合，XY.如果Y中的每一个点都 有原象(即f的值域为Y,亦即f (X) =Y),则称f是一个满射，或 者称f为一个从X到丫上的映射；如果X中不同的点的象是Y中不同 的点(即对于任何 I ■: ■，如果「I,则有■ '1 ■/ ，则称f
是一个单射；如果f既是一个单射又是一个满射，则称 f为一个既单 且满的映射，或者—映射. 文档收集自网络，仅用于个人学习
如果f (X)是一个单点集，则称f是一个常值映射，并且当 f (X) ={y}时，我们也说f是一个取常值y的映射. 文档收集自网络，仅用于个人
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易见，集合X中的恒同关系△( X)是从X到X的一个一一映射， 我们也常称之为(集合 X上的)恒同映射或恒同，有时也称之为单位 映射，并且也常用记号 '或i : X-X来表示它.根据定义易见，对于 任何x€ X，有i(x)二x .概言之，恒同映射便是把每一个点映为这个点 自身的映射. 文
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由于下面的这个定理，一一映射也称为可逆映射. 定理1.5.3
设X和Y是两个集合.又设f:X -Y.如果f是一个
一一映射，则一八便是一个从丫到X的映射(因此我们可以写 / : Y— X)，并且是既单且满的.此外我们还有：
习
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=
和门厂F证明(略)
定理1.5.4 设X，丫和Z都是集合，f:X -Y，g: Y-乙如果f 和g都是单射，则gof:X —Z也是单射；如果f和g都是满射，则g - f:X -Z也是满射.因此，如果f和g都是一一映射，则 gf:X -Z也 是一 一映射. 文档收集自网
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这个定理的证明留给读者.
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定义1.5.4 设X和Y是两个集合，A是X的一个子集.映射f:X -Y 和g: A-Y如果满足条件g _f即对于任何a€A有f (a) =g (a), 则称g是f的限制，也称f是g的一个扩张，记作「特别地， 恒同映射耳：X-X在X的子集A上的限制々\\A : A-X称为内射.这时
I
我们有对于任何a € A,妆A (a)=a . 文档收集自网络，仅用于个人学习
将映射定义作为一种特别的关系，从理论上来说是十分清晰的.这 样做的本意在于使得在我们的理论系统中除了“集合”和“元素”不 再有任何未经定义的对象.如果每一次定义一个映射都要将这个映射 写成它的定义域与值域的笛卡儿积的一个子集，这毕竟是件麻烦事； 因此我们在定义映射时宁愿采用我们从前惯用的办法：为定义域中的 每一个点指定值域中的一个点作为它的象.以下我们定义往后经常要 用到的两个映射作为例子. 文
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定义1.5.5 设是n>0个集合，1- - ■'? — -1 _ -ii 文档收集自网络，仅用于个人学习
定义1.5.6 设R是集合X中的一个等价关系.从集合X到它的商 集X/R的自然投射：p:X-X/R定义为对于每一个x € X，p (x) = A .文
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作业：
熟练掌握本节的所有定义与定理；
注意定理132(2)与定理1.5.2的区别; 熟练记忆P23习题1.2与定理1.5.2 .
§ 1.6 集族及其运算
设r是一个集合.如果对于每一个 丫€『，指定了一个集合A, 我们就说给定了一个有标集族上，或者在不至于引起混淆的情形下 干脆说给定了一个集族 丄儿「，同时r称为（有标）集族的指 标集. 文档收集自网络，仅用于个人学
习
定理1.6.2 设」…•是一个非空的有标集族，A是一个集合.则 （1） 对于任何,
（2） 分配律：
（3） DeMorgan律：
£-（% 召）=斗）
证明（略）
如果集族二儿「满足条件：对于每一个丫 € r,二都是某一个集 合X的子集，这时我们称这个集族为集合 X的一个子集族.
以下的两个定理讨论关系和映射与集族运算之间的关联.
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定理163 设R是从集合X到集合Y的一个关系，则对于集合X 的任何一个非空子集族-■■■■,有
赳）〜离斑斗） 心耳曲）UC“詁
（4）
证明（略）（这个定理对关系成立，当然对映射更成立.注意这 两个公式，一个是等式，一个是包含于关系.）
定理164 设X和Y是两个集合，f: X-Y.则对于集合Y的任 何一个非空子集族,有
严（u讨殆〜呵厂（即
厂（存禺）”“/W）
简言之，集族的原象保持集族的并 与交运算.
证明（略） 作业：
熟练记忆这3个定理！
§ 1.7 可数集，不可数集，基数
定义1.7.1
设X是一个集合.如果X是空集或者存在正整数n€N
使得集合X和集合｛1 , 2,…，n｝之间有一个一一映射，则称集合 X是 一个有限集，不是有限集的集合称为无限集；如果存在一个从集合
X
到正整数集：，的单射，则称集合X是一个可数集，不是可数集的集合 称为不可数集.（注意：无限集可能是可数集，也可能是不可数集）文档收集
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显然，凡有限集皆是可数集，但可数集可为无限集.例如，正整 数集；本身便是一个可数集，但它不是有限集.
定理1.7.1
任何可数集的任何一个子集都是一个可数集.
定理1.7.2 设X和Y是两个集合，f:X -Y是一个映射.如果X 是可数集，则f (X)也是一个可数集.
定理1.7.3 集合X是一个可数集当且仅当存在从正整数集■ ■到 集合X的一个满射.
定理1.7.4 如果集合X和集合Y都是可数集，则笛卡儿积 XXY 也是一个可数集.特别，集合 「X 是一个可数集. 文档收集自网络，仅用于个 人学习
定理1.7.5 设是一个集族.如果指标集 r是可数集并且 对于每一个丫€『，：也是可数集，则并集；」「是可数集.
定理1.7.8 作业：
以上这些定理均要熟练记忆，证明过程不要求记.
实数集合R是不可数集.
§ 1.8 选择公理(略)
本章总结：
本章是点集拓扑学的预备知识，点集拓扑学需要对集合进行各种 运
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算，因此就必须熟记本章的各种有关集合的运算公式： 文档收集自网络，仅 用于个人学
习
（1）若干个集合的并、交、差运算：定义 1.2.1 与定理 1.2.1 ，定义 1.6.1 与定理 1.6.2
（2）若牵涉到两个空间之间集合的关系，则就要用到：定义 1.5.2，定理1.5.2，定理164与定理163（此定理中的关系R当然 适用于映射f），及课本P23习题1.2. 文档收集自网络，仅用于个人学习
另：本章中有关等价类的概念及乘积空间，乘积空间到分空间的 投射等概念也要深刻地理解好．
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