道里区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

一、选择题

1． 等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a6=（ ） A．6

B．9

C．36

D．72

2． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ 则该几何体的体积为（ ）

A．64 B．32 C．

6432 D． 33

3． 抛物线y=﹣8x的准线方程是（ ）

2

A．y= B．y=2 C．x= D．y=﹣2

4． 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（ ） A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5． 若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2

6． 在空间中，下列命题正确的是（ ） A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥n

B．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β D．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β

C．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥α

7． 偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，且f（1）=1，则f（89）+f（90）为（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 8． 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足

=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

第 1 页，共 14 页

A．（0，1） B．（0，] C．（0，） D．[，1）

9． 执行如图所示的程序，若输入的x3，则输出的所有x的值的和为（ ） A．243 B．363 C．729 D．1092

【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力． 10．命题：“∀x＞0，都有x2﹣x≥0”的否定是（ ） A．∀x≤0，都有x2﹣x＞0 C．∃x＞0，使得x2﹣x＜0 11．已知函数fx1

B．∀x＞0，都有x2﹣x≤0 D．∃x≤0，使得x2﹣x＞0

2x1，则曲线yfx在点1，f1处切线的斜率为（ ） x1A．1 B．1 C．2 D．2 12．已知点A（0，1），B（3，2），向量A．（﹣7，﹣4）

B．（7，4）

=（﹣4，﹣3），则向量C．（﹣1，4）

=（ ）

D．（1，4）

二、填空题

13．B、C、D四点，在半径为2的球面上有A、若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为 ．

第 2 页，共 14 页

14．二面角α﹣l﹣β内一点P到平面α，β和棱l的距离之比为1：度．

15．已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m= ．

：2，则这个二面角的平面角是

16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为 cm3．

17．如果椭圆 18．

+=1弦被点A（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．

（sinx+1）dx的值为 ．

三、解答题

19．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y(如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室。那么药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？

1ta)（a为常数），16

第 3 页，共 14 页

20．已知函数f（x）=x3+2bx2+cx﹣2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x﹣10． （1）求函数f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）=f（x）+mx，若g（x）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值．

21．（本小题满分12分）

已知圆M与圆N：(x)(y)r关于直线yx对称，且点D(,)在圆M上.

22253531533（1）判断圆M与圆N的位置关系；

（2）设P为圆M上任意一点，A(1,)，B(1,)，P、A、B三点不共线，PG为APB的平分线，且交

5353AB于G. 求证：PBG与APG的面积之比为定值.

22．已知函数f（x）=sinx﹣2（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[0，

sin2

]上的最小值．

第 4 页，共 14 页

23．已知椭圆Γ：M．

（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为

，过点A的直线l与椭圆交于另一点

（I）求椭圆Γ的方程；

（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线 x﹣2y﹣2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

24．（本小题满分10分） 已知函数fxxax2．

（1）若a4求不等式fx6的解集；

（2）若fxx3的解集包含0,1，求实数的取值范围．

第 5 页，共 14 页

道里区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，

∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q2+q4）=21，解得q2=2． 则a2a6=9×q6=72． 故选：D．

2． 【答案】B 【解析】

试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:

144432，故选B. 2考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.

【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响. 3． 【答案】A

【解析】解：整理抛物线方程得x2=﹣y，∴p=∵抛物线方程开口向下， ∴准线方程是y=故选：A．

【点评】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．

4． 【答案】B

【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立， 若a⊥b，则α⊥β不一定成立， 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件， 故选：B．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．

5． 【答案】A

【解析】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数， 可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1， 所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]， 函数的最大值为：5． 故选：A．

第 6 页，共 14 页

，

【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．

6． 【答案】 C

【解析】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；

对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确； 对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确； 故选：C．

对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；

【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．

7． 【答案】D 【解析】解：∵f（x+2）为奇函数， ∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）， ∵f（x）是偶函数，

∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2）， 即﹣f（x+4）=f（x），

即函数f（x）是周期为8的周期函数， 则f（89）=f（88+1）=f（1）=1， f（90）=f（88+2）=f（2）， 由﹣f（x+4）=f（x）， 则f（2）=0， 故选：D．

则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），

得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2）， 故f（89）+f（90）=0+1=1，

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．

8． 【答案】C 【解析】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c， ∵

=0，

∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆． 又M点总在椭圆内部，

∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2． ∴e2=

＜，∴0＜e＜

．

故选：C．

第 7 页，共 14 页

【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．

9． 【答案】D

n

2【解析】当x3时，y是整数；当x3时，y是整数；依次类推可知当x3(nN*)时，y是整数，则

由x31000，得n7，所以输出的所有x的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D．

n10．【答案】C

【解析】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是： ∃x＞0，使得x2﹣x＜0， 故选：C．

【点评】本题主要考查含有量词的命题 的否定，比较基础．

11．【答案】A 【解析】

试题分析：由已知得fx2x1112，则f'x2，所以f'11． xxx考点：1、复合函数；2、导数的几何意义.

12．【答案】A

【解析】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到则向量

=

=（﹣7，﹣4）；

故答案为：A．

=（3，1），向量

=（﹣4，﹣3），

【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒．

二、填空题

13．【答案】

．

【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P， 设点P到CD的距离为h， 则有 V=×2×h××2，

，

当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2则四面体ABCD的体积的最大值为故答案为：

．

．

第 8 页，共 14 页

【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间 想象力．属于基础题．

14．【答案】 75 度．

【解析】解：点P可能在二面角α﹣l﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P在二面角α﹣l﹣β的内部

时，如图，A、C、B、P四点共面，∠ACB为二面角的平面角，

由题设条件，点P到α，β和棱l的距离之比为1：

故答案为：75． 键．

15．【答案】8或﹣18

：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．

【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关

【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案． 【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）2++y2=1 故圆的圆心为（1，0），半径为1 直线与圆相切

∴圆心到直线的距离为半径 即

=1，求得m=8或﹣18

故答案为：8或﹣18 16．【答案】 6

【解析】解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO=所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V=故答案为：6．

=6．

=

，

第 9 页，共 14 页

17．【答案】 x+4y﹣5=0 ． 【解析】解：设这条弦与椭圆

+

=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），

由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，

把P（x1，y1），Q（x2，y2）代入x2+4y2=36， 得

，

①﹣②，得2（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0， ∴k=

=﹣，

∴这条弦所在的直线的方程y﹣1=﹣（x﹣1）， 即为x+4y﹣5=0，

由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y﹣5=0． 故答案为：x+4y﹣5=0．

【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．

18．【答案】 2 ．

【解析】解：所求的值为（x﹣cosx）|﹣11 =（1﹣cos1）﹣（﹣1﹣cos（﹣1）） =2﹣cos1+cos1 =2．

故答案为：2．

三、解答题

10t,0t0.119．【答案】（1）y1t0.1；（2）至少经过0.6小时才能回到教室。

(),x0.116【解析】

试题分析：（1）由题意：当0t0.1时，y与t成正比，观察图象过点0,0，(0.1,1)，所以可以求出解析

11ta110.1a时，y与t的函数关系为y()，观察图象过点(,1)，代入得：1()，1016101610t,0t0.11t0.1所以a0.1，则解析式为y()，所以含药量y与t的函数关系为：y1t0.1；（2）观

16(),x0.116式为y10t，当t第 10 页，共 14 页

察图象可知，药物含量在0,0.1段时间内逐渐递增，在t0.1时刻达到最大值1毫克，在t0.1时刻后，药物含量开始逐渐减少，当药物含量到0.25毫克时，有(所以至少要经过0.6小时，才能回到教室。 试题解析：（1）依题意，当易求得k＝10，∴ y＝10t，

，可设y与t的函数关系式为y＝kt，

1t0.11)0.25，所以t0.10.5，所以t0.6，164∴ 含药量y与时间t的函数关系式为

（2）由图像可知y与t的关系是先增后减的，在 然后

时，y从1开始递减。 ∴

时，y从0增加到1； ，解得t＝0.6，

∴至少经过0.6小时，学生才能回到教室

考点：1.分段函数；2.指数函数；3.函数的实际应用。

20．【答案】

【解析】解：（1）由已知，切点为（2，0），故有f（2）=0， 即4b+c+3=0．①

f′（x）=3x2+4bx+c，由已知，f′（2）=12+8b+c=5． 得8b+c+7=0．②

联立①、②，解得c=1，b=﹣1， 于是函数解析式为f（x）=x3﹣2x2+x﹣2． （2）g（x）=x3﹣2x2+x﹣2+mx， g′（x）=3x2﹣4x+1+，令g′（x）=0．

当函数有极值时，△≥0，方程3x2﹣4x+1+=0有实根， 由△=4（1﹣m）≥0，得m≤1．

①当m=1时，g′（x）=0有实根x=，在x=左右两侧均有g′（x）＞0，故函数g（x）无极值． ②当m＜1时，g′（x）=0有两个实根， x1=（2﹣

），x2=（2+

），

（x1，x2） ﹣ x2 0 （x2，+∞） + 当x变化时，g′（x）、g（x）的变化情况如下表： x x1 （﹣∞，x1） g′（x） + 0 第 11 页，共 14 页

g（x） 当x=（2﹣当x=（2+

极大值 极小值 故在m∈（﹣∞，1）时，函数g（x）有极值； ）时g（x）有极大值； ）时g（x）有极小值．

【点评】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．

21．【答案】（1）圆与圆相离；（2）定值为2. 【解析】

试题分析：（1）若两圆关于直线对称，则圆心关于直线对称，并且两圆的半径相等，可先求得圆M的圆心，

rDM,然后根据圆心距MN与半径和比较大小，从而判断圆与圆的位置关系；（2）因为点G到AP和

BP的距离相等，所以两个三角形的面积比值和PA,最后得到其比值.

试题解析：（1） ∵圆N的圆心N(,)关于直线yx的对称点为M(,)， ∴r|MD|()22PBSPBG,根据点P在圆M上，代入两点间距离公式求PBSAPGPA5533535343216， 9525216.

33910210210282r，∴圆M与圆N相离. ∵|MN|()()3333∴圆M的方程为(x)(y)考点：1.圆与圆的位置关系；2.点与圆的位置关系.1 22．【答案】

第 12 页，共 14 页

【解析】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2=sinx﹣2=sinx+

×cosx﹣）﹣

=2π；

sin2

）﹣．

∈[﹣

，2﹣

=2sin（x+

∴f（x）的最小正周期T=（2）∵x∈[0，∴x+

∈[

]，

，π]，

∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+

]上的最小值为：﹣

]，

∴可解得f（x）在区间[0，

【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）依题意得

，解得，

所以所求的椭圆方程为；

（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x﹣2y﹣2=0相切，

因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM， 又由

=﹣1，所以直线MF的方程为y=x﹣2， 消去y，得3x2﹣8x=0，解得x=0或x=，

，

），半径为r=

=

=

，

所以M（0，﹣2）或M（，），

（1）当M为（0，﹣2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4， 则圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d=所以圆C与直线x﹣2y﹣2=0不相切；

=

≠

（2）当M为（，）时，以AM为直径的圆心C为（

第 13 页，共 14 页

所以圆心C到直线x﹣2y﹣2=0的距离为d==r，

所以圆心C与直线x﹣2y﹣2=0相切，此时kAF=

综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y﹣4=0．

，所以直线l的方程为y=﹣

+2，即x+2y﹣4=0，

【点评】本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．

24．【答案】（1）,0U6,；（2）1,0. 【解析】

试题分析：（1）当a4时，fx6，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得恒成立，即1a0. 试题解析：

（1）当a4时，fx6，即解集为,0U6,；（2）fxx3等价于xa2x3x，即1xa1x在0,1上

x2解得x0或x6，不等式的解集为,0U6,；

4x2x6或2x44xx26或x4x4x26，

考

点：不等式选讲．

第 14 页，共 14 页