2020年高考数学全真模拟试卷含解答

说明：本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1．（理）全集设为U，P、S、T均为U的子集，若P（＝（

U

U

T）

T）S则（ ）

A．PTSS B．P＝T＝S C．T＝U D．PU

S＝T

（文）设集合M{x|xm0}，N{x|x22x80}，若U＝R，且

UMN，则实数m的取值范围是（ ）

A．m＜2 B．m≥2 C．m≤2 D．m≤2或m≤-4

(55i)3(34i)（ 2．（理）复数

43i5i105

）

5105i 5105i

A．10 C．10 B．105105i D．10 （文）点M（8，-10），按a平移后的对应点M的坐标是（-7，4），则a＝（ ）

A．（1，-6） B．（-15，14） C．（-15，-14） D．（15，-14）

3．已知数列

{an}前n项和为

）

Sn159131721(1)n1(4n3)，则S15S22S31的值是（

A．13 B．-76 C．46 D．76

4．若函数f(x)a(xx3)的递减区间为（的取值范围是（ ）

A．a＞0 B．-1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1 5．与命题“若aM则bM”的等价的命题是（ ） A．若aM，则bM B．若bM，则aM C．若aM，则bM D．若bM，则aM 6．（理）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1之中点，则sin（CM，D1N）的值为（ ） A．1 B．4955

33，

33），则a C．295 D．2

3 （文）已知三棱锥S-ABC中，SA，SB，SC两两互相垂直，底面ABC上一点P到三个面SAB，SAC，SBC的距离分别为

2，1，6，则

PS的长度为（ ）

5

A．9 B． C．7 D．3

7．在含有30个个体的总体中，抽取一个容量为5的样

本，则个体a被抽到的概率为（ ） A．

1 30 B．1 C．1 D．5

656 8．（理）已知抛物线C：yx2mx2与经过A（0，1），

B（2，3）两点的线段AB有公共点，则m的取值范围是（ ）

A．(，1][3，) B．[3，) C．(，1] D．[-1，3]

（文）设xR，则函数f(x)(1|x|)(1x)的图像在x轴上方的充要条件是（ ）

A．-1＜x＜1 B．x＜-1或x＞1 C．x＜1 D．-1＜x＜1或x＜-1

9．若直线y＝kx＋2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（ ） A．( C．(153153，

15) 3 B．(0，

15) 3153，0) D．(，1)

10．a，b，c（0，＋∞）且表示线段长度，则a，b，

c能构成锐角三角形的充要条件是（ ）

A．a2b2c2 B．|a2b2|c2 C．|ab|c|ab| D．|a2b2|c2a2b2 11．今有命题p、q，若命题S为“p且q”则“

或

”是“”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

12．（理）函数yx4153x的值域是（

）

A．[1，2] B．[0，2] C．（0，

3]

D．[1，3]

（文）函数f(x)与g(x)(76)x图像关于直线x-y＝0对

称，则f(4x2)的单调增区间是（ ）

A．（0，2） B．（-2，0） C．（0，＋∞） D．（-∞，0）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上

13．等比数列{an}的前n项和为Sn，且某连续三项正好

Sn2________． 为等差数列{bn}中的第1，5，6项，则limnna1 ( 14．若nlimx2x1xk)1，则k＝________．

15．有30个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．

16．长为l(0＜l＜1)的线段AB的两个端点在抛物线

yx2上滑动，则线段

AB中点M到x轴距离的最小值是

________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（12分）从一批含有13只正品，2只次品的产品中不放回地抽取3次，每次抽取一只，设抽得次品数为． （1）求的分布列；

（2）求E（5-1）．

18．（12分）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为A1B1，BC之中点．

（1）试求A1A，使A1BB1C0．

AB

（2）在（1）条件下，求二面角NAC1M的大小．

19．（12分）某森林出现火灾，火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后五分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林损失费为60元．问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？

20．（12分）线段|BC|4，BC中点为M，点A与B，C两点的距离之和为6，设|AM|y，|AB|x． （1）求y

（2）（理）设dyx1，试求d的取值范围；

（文）求y的取值范围．

21．（12分）定义在（-1，1）上的函数f(x)，（i）对任意x，y（-1，1）都有：

f(x)的函数表达式及函数的定义域；

xyf(x)f(y)f()；（ii）当x（-1，0）时，f(x)0，回

1xy答下列问题．

（1）判断f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由．

（2）判断函数f(x)在（0，1）上的单调性，并说明理由．

（3）（理）若f(1)1，试求f(1)f(1)f(1)的值．

5221119

22．（14分）（理）已知Ｏ为△ABC所在平面外一点，且

OAa，OBb，OCc，OA，OB，OC两两互相垂直，H为

△ABC的垂心，试用a，b，c表示OH．

（文）直线l∶y＝ax＋1与双曲线C∶3x2y21相交于A，

B两点．

（1）a为何值时，以AB为直径的圆过原点；

（2）是否存在这样的实数a，使A，B关于直线x-2y＝0对称，若存在，求a的值，若不存在，说明理由．

参考答案

1．（理）A （文）B 2．（理）B （文）B 3．B 4．A 5．D

6．（理）B （文）D 7．B 8．（理）C （文）D 9．D 10．D 11．C

12．（理）A （文）A 13．1或0 14．1 15．10080°

2l216．

4

17．解析：（1）的分布如下

 0 22 3501 12 352 1 35P （2）由（1）知E ∴

2212114212． 3535353552E(51)5E1511．

5 18．解析：（1）以C1点为坐标原点，C1A1所在直线为x轴，C1C所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设A1B1b，

AA1a（a，b（0，＋∞）．

∵ 三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，则A1，B，B1，C的坐标分别为：（b，0，0），(1b，

2331b，a)，(b，b，0)，（0，2220，a）． ∴

3311b，b，a)，B1C(b，A1B(b，

22221A1BB1Ca2b2，A1Aa22a)b2aABb2又A1BB1C0.．

（2）在（1）条件下，不妨设b＝2，则a42， 3b，0），4 又A，M，N坐标分别为（b，0，a），（3b，（1b，

43b，a）． 4 ∴

|AN|b33，|C1N|3． 2 ∴ |AN||C1N|3

同理

|AM||C1M|．

∴ △AC1N与△AC1M均为以AC1为底边的等腰三角形，取

AC1中点为

P，则NPAC1，MPAC1NPM为二面角NAC1M22的平面角，而点P坐标为（1，0， ∴ ∴

PN(），

PM(1，3，2)． 222同理

1，322，2)． 2131PMPN0PMPN442．

∴ ∠NPM＝90°二面角NAC1M的大小等于90°． 19．解析：设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则

t510010 50x100x2 y＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费 ＝125tx＋100x＋60（500＋100t） ＝125x1060000100x30000 x2x2 ＝1250x22100(x22)300006000

x2x2 ＝31450100(x2)62500

x2

3145021006250036450

当且仅当100(x2)62500，即x＝27时，y有最小值

x236450．

故应该派27名消防员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36450元．

20．解析：（1）当A、B、C三点不共线时，由三角形中

2线

22性

22质

2知

2(|BM|2|AM|2)

y25(x3)2|AB||AC|2(2y)x(6x) 又y0y(x3)25；

当A，B，C三点共线时，由|AB||AC|6|BC|4A在线段BC外侧，由|6xx|4x1或x＝5，因此，当x＝1或x＝5时，有|AB||AC|6，

同时也满足：2(|BM|2|AM|2)|AB|2|AC|2．当A、B、C不共线时，||AB||AC|||BC|4

1x5yf(x)(x3)25定义域为[1，5]．

（2）（理）∵

(x3)25x1．

y(x3)25． ∴ d＝y＋x-1＝

令 t＝x-3，由1x5t[2，2]d 两边对t求导得：dt11t52t25t2，

1290d关于t在[-2，

2]上单调增．

∴ 当t＝2时，dmin＝3，此时x＝1． 当t＝2时，dmax＝7．此时x＝5．故d的取值范围为[3，7]． （文）由y(x3)25且x[1，5]，

5．当

ymin ∴ 当x＝3时，

x＝1或5时，ymax 2253．

∴ y的取值范围为[5，3]．

21．解析：（1）令xy0f(0)0，令y＝-x，则

f(x)f(x)0f(x)

f(x)f(x)在（-1，1）上是奇函数．

（2）设0x1x21，则f(x1)f(x2)而x1x20，0x1x21f(x1)f(x2)．

f(x1)f(x2)f(x1x2)，1x1x2x1x2xx0f(12)0．即 1x1x21x1x2当x1x2时，

∴ f（x）在（0，1）上单调递减． （3）（理）由于

11111125)f(1)， f()f()f()f()f(125253125111111f()f()f()，f()f()f()， 3114419511111f()f()f()2f()21． 2111952 ∴

OAOB，22．解析：（理）由OA平面OBCOABC，OAOC连AH并延长并BC于M．

则 由H为△ABC的垂心． ∴ AM⊥BC． 于是 BC⊥平面OAHOH⊥BC． 同理可证： 又

OHACOH平面又ACBCCABC．

OA，OB，OC是空间中三个不共面的向量，由向量

k3使得OH＝k1a＋k2b＋k3c．k2，基本定理知，存在三个实数k1，

由 OHBC0且ab＝ac＝0k2b2＝k3c2， 同理

k1a2k2b2．

∴

k1a2k2b2k3c2m0． ①

又 AH⊥OH，

∴

AHOH0(k11)ak2bk3c(k1ak2bk3c)＝

0k1(k11)a2

22k2bk32c20

②

联立①及②，得 又由①，得

OHm(k11)mk2mk30，k1k2k31 m0ma2 ③

k1，k2mb2，k3mc2，代入③得：

a2b2，k3a2b2c2b2c2m22k1abb2c2c2a2c2a2，k2， 是

其中

a2b2b2c2c2a2，于

122(bcac2a2ba2b2c)．  （文）（1）联立方程ax＋1＝y与3x2y21，消去y得：

(3a2)x22ax20 （*）

6a6．

又直线与双曲线相交于A，B两点， ∴0 又依题 OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则

y1y2x1x2．

且

y1y2(ax11)(ax21)a2x1x2a(x1x2)1x1x2x1x2(1a2)a(x1

x2)10，而由方程（*）知：x1x22a3a2，x1x22代入上2a32(a11)2a210a21a1．满足条件． 式得223a3a （2）假设这样的点A，B存在，则l：y＝ax＋1斜率a＝-2．又AB中点(x1x2，y1y2)在y1x上，则y1y21(x1x2)，

2222 又

y1y2a(x1x2)2，

代入上式知

2a(x1x2)4x1x22aa6这与a2矛盾． 又x1x23a2 故这样的实数a不存在．