高考数学平面向量及复数专项训练

一、选择题〔此题每题5分,共60分〕

1．设向量a(cos23,cos67),b(cos53,cos37),则ab

A．3

212i〔 〕

2B．1

2C．3

2D．1

2．如果复数2bi〔其中i为虚数单位,b为实数〕的实部和虚部是互为相反数,那么b等于〔 〕

A．2 2B．2

3C．2

C．1

D． 2

33．1ii A．0

i2004的值是

B．1

D．i

〔 〕

4．假设a(2,3), b(1,2),向量c满足ca,bc1,那么c的坐标是 〔 〕

A．(3,2) B．(3,2) C．(3,2) D．(3,2) 5．使(ai)4R(i为虚数单位〕的实数a有 〔 〕 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．设e是单位向量,AB3e,CD3e,AD3,那么四边形ABCD是

A．梯形

B．菱形

C．矩形

C．9

D．正方形

〔 〕

D．12

〔 〕 〔 〕

7．O、A、B三点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(0,3),点P在线段AB上,且APtAB(0≤t≤1), 8．

那么OAOP的最大值为

A．3 B．6

a2,b1,a与b的夹角为60,那么使向量ab与a2b的夹角为钝角的实数的取

B． (13,)

〔 〕

值范围是 A． (,13)

C． (,13)(13,) D． (13,13)

9．假设z为复数,以下结论正确的选项是

A．假设z1,z2C且z1z20且z1z2 B．z2z

2C．假设zz0,那么z为纯虚数 D．假设z2是正实数,那么z一定是非零实数 10．假设sin21i(2cos1)是纯虚数,那么的值为 〔 〕 A．2k(kZ) B．2k(kZ) C．2k(kZ) D．k(kZ)

4442411．△ABC的三个顶点的A、B、C及平面内一点P满足PAPBPCAB,以下结论中正确的选

项是 〔 〕 A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在AB边所在直线上 D．P是AC边的一个三等分点 12．复数z在复平面上对应的点在单位圆上,那么复数z21 z 〔 〕

A．是纯虚数 B．是虚数但不是纯虚数

C．是实数 D．只能是零 二、填空题〔此题每题4分,共16分〕

13．复数z满足等式：|z|22zi12i,那么z= .

14．把函数)y2x24x5的图象按向量a平移后,得到y2x2的图象,且a⊥b,

c(1,1),bc4,那么b=_____________.

15．假设复数z满足|z1||z1|2，那么|zi1|的最小值是___________.

(1＋i)4(1－i)4＋16．i为虚数单位,复数等于___________________． 1＋2i1－2i三、解做题〔本大题共6小题,共74分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤〕

17．〔本小题总分值12分〕向量OA(3,4),OB(6,3),OC(5m,(3m)).

①假设点A、B、C能构成三角形,求实数m应满足的条件； ②假设△ABC为直角三角形,且∠A为直角,求实数m的值.

33xx18．〔本小题总分值12分〕向量a(cosx,sinx), b(cos,sin),且x[0,]．

22222假设f(x)ab2|ab|的最小值是,求的值．

19．〔本小题总分值12分〕向量m(1,1),向量n与向量m夹角为,且mn1. 〔1〕求向量n；

〔2〕假设向量n与向量q(1,0)的夹角为

2,向量p(cosA,2cos2C),其中A,C为 23432△ABC的内角,且A,B,C依次成等差数列,试求求|np|的取值范围.

20．〔本小题总分值12分〕A、B、C为ABC的三个内角,

且fA,Bsin22Acos22B3sin2Acos2B2.

 〔1〕当fA,B取得最小值时,求C的度数；

〔2〕当AB2时,将函数fA,B按向量P平移后得到函数fA2cos2A,求向量P.

21．〔本小题总分值12分〕．A、B、C是△ABC的三个内角,

5ABAB32向量a(sin. ,cos),a2224 〔1〕求证：tanAtanB为定值； 〔2〕求tanC的最大值.

22．〔本小题总分值14分〕向量a(cos,sin),b(cos,sin),且a与b之

间有关系式：|kab|3|akb|,其中k0． 〔1〕试用k表示ab；

 〔2〕求ab的最小值,并求此时a与b的夹角的值．

参 考 答 案〔四〕

一、选择题：(1).A (2).D (3).C (4). C (5).C (6). B (7). C (8).D (9).D (10).B (11).D (12)C 二、填空题：(13). －1,－1－2i ; (14). 〔3,－1〕; (15). 1 ; (16). 8

5三、解做题：17．解 ①向量OA(3,4),OB(6,3),OC(5m,(3m)).假设点A、B、C能构成三角形,那么这三点不共线……2分

AB(3,1),AC(2m,1m),…5分 故知3(1m)2m∴实数m1时,满足的条件…8分〔假设根据点A,B,C能构成三角形,必须|AB|+|BC|＞

2|CA|…相应给分〕②假设△ABC为直角三角形,且∠A为直角,那么ABAC,3(2m)(1m)0…………10分 解得m7 …………12分

418．解：abcos3xcos1xsin3xsin1xcos2x……2分; |ab|(cos3xcos1x)2(sin3xsin1x)222cos2x2|cosx|…4分

22222222 x[0，] ∴cosx≥0,因此|ab|2cosx∴f(x)ab2|ab|即f(x)2(cosx)2122……6分

2x[0，] ∴0≤cosx≤1 ①假设＜0,那么当且仅当cosx0时,f(x)取得最小值－1,这与矛盾；…… 8分

22 ②假设0≤≤1,那么当且仅当cosx时,f(x)取得最小值122, 由得123,解得：1……10分

2235 ③假设＞1,那么当且仅当cosx1时,f(x)取得最小值14, 由得14,解得：,这与1相矛盾． 28 综上所述,1为所求．…… 12分

219. 解：(1)设n(x,y),由mn1,有xy1 ① ………1分.由于|kab|3|akb|,所以|kab|23|akb|2,(kab)23(akb)2,

2222k2a22kabb23a26kab3k2b2,8kab(3k2)a2(3k21)b2,ab(3k)1(3k1)12k2k1．……2分

8k8k4k2111由〔1〕abk1k12k11,当且仅当k1,即k1时取等号．此时ab|a||b|cos∴cos∴,所以ab的最小值为,此

2234k44k44k2244k时a与b的夹角为由m与n夹角为3,有mn|m||n|cos3.∴|n|1,则x2y21.②……3分

344由①②解得x1,x0,或∴即|n|(1,0)或n(0,1).……4分

y0.y1.33322(1)由n与q垂直知n(0,1).…5分.由2B=A+C知B,AC2,0A2.…6分假设n(0,1),那么np(cosA,2cosC1)(cosA,cosC)…7分

1cos2A1cos2C1411[cos2Acos(2A)]1cos(2A) 2223232∵0A2,2A5,∴1cos(2A)1.111cos(2A)5.即np[1,5).∴np[2,5)……12分

33333222342422∴npcos2Acos2C23131220.解(1)fA,Bsin2A2cos2B21,当fA,B最小时,sin2A2,cos2B2A30或60°,B30C120或90°

2(2)BA,fA,Bsin22Acos22A3sin2Acos2A2sin2Acos2A3sin2Acos2A2

222cos2A3sin2A32cos2A3设Pa,b,2cos2Aa3b2cos2A, a,b3P,3

336651cos(AB)1cos(AB)9325ABAB9得：sin2,……2分 cos2,……2分 即：4422842284cos(AB)5cos(AB)……4分 9sinAsinBcosAcosBtanAtanB1……6分

9tanAtanB99〔2〕由〔1〕得tanA0,tanB0,又tanCtan[(AB)]tan(AB)=(tanAtanB)≤2tanAtanB3……10分

41tanAtanB883当且仅当tanAtanB.即A=B时,tanC取得最大的值,此时tanC…12分

422. 解〔1〕由于|kab|3|akb|,所以|kab|23|akb|2.(kab)23(akb)2,k2a22kabb23a26kab3k2b2…3分

21.解：解：〔理〕〔1〕由a=22228kab(3k2)a2(3k21)b2,ab(3k)1(3k1)12k2k1……6分

8k8k4k〔2〕由〔1〕abk1k21k1k11,即k1时取等号．…………10分 2…9分当且仅当4k44k44k244k111,cos,,所以ab的最小值为,此时a与b的夹角为……12分 22323此时,ab|a||b|cos