２０１１年第７期 福建中学数学 ２９ 猜想５设Ａ，Ｂ分别是椭圆 ＋ ：ｌ（ａ＞ｂ＞０） ａ— Ｄ 的左、右顶点，Ｐ（ｍ，０）为椭圆内一定点．过点Ｐ作 直线ｚ交椭圆于Ｍ，Ⅳ两点，连接ＡＭ，ＢＮ，设直 趣．本文从一道高考解析几何题出发，运用合情推 理的两大利器——归纳、类比，探寻出圆锥曲线的 个美妙性质，实现了从解一题到通一类、会一法 的跨越，收获的不仅是一种知识，更是一种问题解 决的方法．因此，在数学教学中，教师要充分、合 理地利用合情推理，鼓励学生大胆猜想，培养其归 一线ＡＭ，ＢＮ交于点Ｐ，求证：点Ｐ在一条定直线上． 类似于猜想５，对于双曲线和抛物线是否也成 立？答案均是肯定的，在这里就不再赘述了． 合情推理的应用，使原有认知结构得到有效的 整合和优化，思维能力得到发展，并把学习者引入 到一个更广阔的领域，去体验数学探究与发展的乐 纳、类比能力，使合情推理成为学生自觉的求知方 式，成为激励探索、发现新知的源泉． 注重通性通法教学 潘颖艺 凸显数学本质理解 福建省晋江养正中学（３６２２６１） １问题提出 所谓通性通法是指具有某种规律性和普遍意义 的常规解题模式和常用的数学解题方法．建构主义 认为，教学应以使学生形成对知识的深刻理解为目 标． 普通高中数学课程标准（实验） 也指出：“高 中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法 则、结论的发展过程和本质．”＜＜２０１ １年数学科考试 说明 也指出：“数学知识考查时，要从学科整体意 义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技 巧，要有效地检测考生对中学数学知识中所蕴含的 提高解题思维的清晰化、精确化 例１在函数单调性概念的学习中，有学生给出 １ 了以下判断：函数／（ｘ１＝二在定义域（一勺ｏ，ｏ）ｕ（ｏ，＋ｏ。） Ｘ 上是增函数． 产生这一错误的原因，是对概念中‘任意”两字的 意义缺乏进一步认识，把函数单调性判断方法当作 陈述性知识．因此，在知识学习中经常地回到定义 去，呈现数学概念的形成、发生和发展过程，体会 通性通法的来龙去脉，将更好地深入揭示数学知识 的本质规律． 数学思想和方法的掌握程度．”因此，数学教学应重 视对通性通法的深层次理解，强化基础知识、基本 技能的训练，深入理解数学的本质，发展数学应用 意识，提高实践能力． ２现状分析 在平时数学学习中，经常有学生说，上课听懂 了，但课后解题时却往往无所适从．同样，每次考 ３．２变化题目，突出通性通法的本质特征，提高 解题思维的灵活性、敏捷性 例２己知命题：“３ｘ∈【１，２］，使 ＋２ｘ＋口≥０” 为真命题，求实数ａ的取值范围． 很多学生把它看成“恒成立问题”，出错在于对 “ ”和“Ｖ”理解上，其实，这是一道“存在性问题”． 试后质量分析发现：平常讲过、做过、甚至于反复 强调过的题目，还有相当一部分学生仍答题不到位， 抓不到得分点．在公开课的听评课中，往往对授课 教师评价高，认为上课讲得很棒．但从课后学生问 例３设数列｛ａ ｝满足ａｌ＋３ａ２＋３ ＋…＋３ ａｎ＝ ｊ （日∈Ｎ’），求数列｛ ｝通项公式？ 乍一看，感觉该题很陌生．事实上，若设６ ＝ 卷调查发现，仍有相当一部分学生对数学基础知识、 基本技能停留在了解层面上．因而，数学教学中确 立“为理解而学习、教学”显得非常有必要． ３想一想做一做 ３．－１ａｎ＝，则｛ ｝前 项和为 ＝ ，这就是利用公式 ｊ ｓｏ一 （１，２≥２）求解就行了． 通过变化题目，改变条件的叙述方式、题设背 景或设问方式，把相似的几个题目组合改造、引申 ３．１加强概念教学，体会通性通法的来龙去脉， ３０ 福建中学数学 解题的思想和方法． ２０１２年第２期 拓展，可以让通性通法置于多种具有一定复杂性的 问题情境之中，从而更加突出其结构特征，有利于 使学生对知识形成多角度、丰富的理解，更容易激 活通性通法，消除学生“相异构想”，灵活地利用它们 解释新现象，从而更顺利地形成解决问题的方案． ３．３优化和整合通性通法的解题过程，培养解题 思维的深刻性、批判性 例５（２０１１年福建省质检）己知函数ｆ（ｘ）＝ｘｅ ． （Ｉ）略； （ＩＩ）是否存在实数ａ，使得对于任意的 ｘａ，ｘｚ∈（ ∞１，且 ＜ ，恒有 一 ＞ 一 成立，？若存在，求ａ的范围；若不存在，说明理由． 例４求函数ｆ（ ）＝２ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＋ｂ的单调递增 Ｚ 区间． 解析第（１１）题考查利用导数解证不等式问题， 观察不等式左右两边是相同结构的式子，构造辅助 厂 、 函数ｇ（ ）： 二 Ｊ一思路Ｉ将函数化为．厂（ ）＝４２ ｓｉｎ『 ＋ Ｉ＋ｂ＋１， ４／ｌ ，日 通过函数ｇ（ ）在（ａ，＋∞） 再利用该函数的性质求解． 上是增函数求得实数ａ的范围．整个解题过程中贯穿 着函数思想、分类整合思想以及化归与转化思想的 运用． 思路２对函数＿厂（ ）求导得厂 （ ），令厂 （ ）＞０， 解三角不等式即可． 再如，涉及直线与圆锥曲线相交的问题，如弦 长、弦中点问题，参数取值范围等，常需要将直线 方程代入圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，再 利用根与系数的关系来解决，体现了用代数方法研 究几何问题的解析思想，具体运用了“数形结合”、“设 而不求”、“整体代换”、“待定系数法”等思想方法． 利用导数研究函数的单调性，给定的函数类型 可以是多样的，但对三角函数而言，关注三角知识 的应用，重视三角函数的图象和性质的探究，是本 例题主要考查的方向．因此，尽管求导法用起来很 顺手，但本题思路１才是解此类问题的通法，求导 法并不是首选的． 解题中思维方向多、解题途径多、方法活有助 于发散思维．然而一题多解中，过多依赖特殊技巧， 将造成成绩好的学生“走火入魔”，成绩差的学生“信 心尽失”．因此，强调解题后的反思的作用，分清通 法与巧法，优化己有解题方法，寻找解决问题的最 佳方案，可以提高解题思维灵活性，批判性． 因此，在一道数学问题的解决过程中常常需要 运用多种数学思想方法，学生只有具备一个有序的 网络化知识体系，抓住通性通法的本质，“站得高， 才能看得远”，起到事半功倍的作用． 总之，数学教学中，通性通法的深层次理解是 一个螺旋上升、逐步深化的过程．教师只有真正地 重视对通性通法多方位、多侧面的理解，才能及时 地把学生的知识学习引向深入． 参考文献 ［１］章建跃，曹才翰．数学教育心理学（第二版）．北京师范大学出版社，２００８ ［２］曹才翰，章建跃．中学数学教学概论（第二版）．北京师范大学出版社， ２００８ ３．４强调思想方法，进一步深化和升华通性通法， 形成自我监控学习的技能 建构主义强调：“在问题解决中学习”．数学思想 和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它 蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中．能否 综合相关知识解决问题，能否将所学知识迁移到实 际问题中去，必须对通性通法进一步升华，提炼出 高中数学课堂教学生“动＂的有效做法初探 林建筑 福建省安溪沼涛中学（３６２４００） １设置问题梯度，提供思考空间，提高课堂教 学学生的“可”动性 让学生有较多的展示机会，做到“凡是学生自己能够 解决的问题，教师绝不包办代替”．康托尔说：“在数 学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更 课标课程改革要求教师能营造宽松的教学氛围
