第三讲 勾股定理和角平分线的性质、判定定理

第三讲 勾股定理和角平分线的性质、判定定理

类型一：等面积法求高

【例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。

C（1） 求AB的长；

（2）求CD的长。

ADB

类型二：面积问题

【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的

2

正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm。

C D B

A 7cm

【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，

（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。 （2）求∠ADC的度数。

【练习2】如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE，且AE=3， A D E BE=4，阴影部分的面积是______.

【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194

169B C 25B 1

类型三：距离最短问题

【例题】 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

B

A

C D

【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

小河 北 A 牧童 东

类型四：判断三角形的形状

【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a+b+c+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

2222

【练习1】已知△ABC的三边分别为m－n,2mn,m+n(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

2

2

2

2

L

小屋 B

【练习2】若△ABC的三边a、b、c满足条件a＋b＋c＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.

22222

【练习3】.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a－b)(a+b－c)＝0，则它的形状为（ ）三角形. A.直角 B.等腰 C.等腰直角D.等腰或直角

22(ab)c2ab,则这个三角形是( ) 三角形 【练习4】三角形的三边长为

222

（A） 等边（B）钝角（C） 直角（D）锐角

类型五：直接考查勾股定理

【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。

【练习】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

类型六：构造应用勾股定理

【例题】如图，已知：在ABC中，B60，AC70，AB30. 求BC的长.

【练习】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

3

类型七：利用勾股定理作长为n的线段 【例题】在数轴上表示10的点。

作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为10。 【练习】在数轴上表示13的点。

类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法

【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）

A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40

类型九：生活问题

【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯的长至少需________米．

【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。

【练习2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

4

【练习3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.

类型十：翻折问题

【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？

C

D

ABE

【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

【练习2】如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长。

角平分线的性质定理和判定定理:

类型一:用性质(角平分线上的点到角两边的距离相等) 1、如图，已知AB∥CD，O是∠ACD，∠CAB的平分线的交点，且OE⊥AC于E点，OE=12，

求AB与CD之间的距离 A B E

O

C D

5

2. 如图，AE平分∠BAC，EB⊥AB于B，EC⊥AC于C，D是AE上一点，求证：BD=CD

C E D A B

3. 如图，已知∠ACB=∠DEB=90°，BD平分∠ABC，ED的延长线交BC的延长线于点F，求证：AE=CF A

E

D

B C F

类型二(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)

4. 如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，且BE=CF，求证：AD是∠BAC的平分线。 A

E F

B D C

5. 如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，且BD=CD，求证：AD平分∠BAC

B

F

D

A E C

6. 已知△ABC的两个外角的平分线相交于点P，连接BP，求证：BP是∠ABC的平分线

A P

B C

6

类型三(三角形三角平分线的交点到三边的距离\\相等)

7.如图，l1、l2、 l3是三条两两相交的笔直公路，先欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有 处。（画出来） l1

l2

l3 8. 如图，CF⊥AB, BE⊥AC, OD⊥BC,O到△ABC的三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠A=70°，求∠BOC A

F O E

B D C

类型四(面积相等法)

9. 如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC=90cm2，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长 A

E

D

B C

7