考研数学三（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1 (题后含答案
及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． [2004年]函数在区间( )内有界． A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
正确答案：A
解析：解一 大家知道，若f(x)在有限闭区间[a，b]上连续，则f(x)一定在[a，b]上有界，但若f(x)在开区间(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内未必有界，而如果再附加条件和存在，则f(x)必在(a，b)内有界，这就是命题1．1．1．1(2)．由于下述极限 存在，又f(x)在(－1，0)内连续，故由命题1．1．1．1(2)知f(x)在(－1，0)内有界．仅(A)入选． 解二 因可补充定义则补充定义后的函数f(x)成为有界闭区间[－1，0]上的连续函数．利用有界闭区间上连续函数的有界性可知f(x)在[－1，0)[－1，0]上有界．仅(A)入选． 解三 因 由命题[1．1．1．1(1)：如果x∈(a,b)，或则f(x)在(a,b)内无界。即知，f(x)在(0，1)及(1，2)，(2，3)内均无界．仅(A)入选． 注：命题1．1．1．1 (1)如果x0(a，b)，或则f(x)在(a，b)内无界． (2)如果和存在，且f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界． 知识模块：函数、极限、连续
2． [2014年]设且a≠0，则当n充分大时，有( )． A． B． C． D．
正确答案：A
解析：解一 由可取从而有不等式即亦即当a＞0时有当a＜0时有由式①、式②可知仅(A)入选． 解二 因由极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，使得n＞N时，有|an一a|＜ε，从而取时有即仅(A)入选． 解三 由得到取则存在N＞0，当n>N时有即亦即故仅(A)入选． 知识模块：函数、极限、连续
3． [2000年]设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则( ).
A．存在且等于零 B．存在但不一定为零 C．一定不存在 D．不一定存在
正确答案：D
解析：下面举反例说明(A)，(B)，(C)都不正确．仅(D)入选．令 φ(x)=1-1／x2， f(x)=1， g(x)=1+1／x2， 显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且这时有这说明(A)、(C)都不正确．事实上，满足上述条件的f(x)，其极限不一定存在．因而(B)也不正确．例如，令 φ(x)=x－1／x2， f(x)=x， g(x)=x+1／x2， 显然它们均满足题设条件，但 知识模块：函数、极限、连续
4． [2015年]设{xn)是数列．下列命题中不正确的是( )． A． B． C． D．
正确答案：D
解析：由命题1．1．3．8的充分条件知选项(B)正确．由命题1．1．3．8的必要条件知选项(A)、(C)正确，因而仅(D)入选． 注：命题1．1．3．8 如果与均存在且相等，则存在，且 知识模块：函数、极限、连续
5． [2009年]当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1—bx)是等价无穷小量，则( )．
A．a=1，b=－1／6 B．a=1，b=1／6 C．a=－1，b=－1／6 D．a=－1，b=1／6
正确答案：A
解析：解一 因故必存在，所以必有因而a=1．再由－a3／(6b)=1得－1／(6b)=1，故b=－1／6．仅(A)入选． 解二 反复利用洛必达法则求之． 即a3=－6b(排除(B)、(C))．又因存在，而故必有即1－a=0，故a=1，从而b=－1／6．仅(A)入选． 注：命题1．1．3．1 当x→0时，有(2)x－sinx～x3/6；1－cosλ～λx2(λ为常数). 知识模块：函数、极限、连续
6． [2010年]若则a等于( )． A．0 B．1 C．2
D．3
正确答案：C
解析：解一 即a=2．仅(C)入选． 解二 由题设知，a－1=1，故a=2．仅(C)入选． 知识模块：函数、极限、连续
7． [2014年]设P(x)=a+bx+cx2+dx3，当x→0时，若P(x)=-tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是( )．
A．a=0 B．b=1 C．c=0 D．
正确答案：D
解析：由题设得 故a=0，b－1=0，c=0，即a=0，b=1，c=0，仅(D)入选．识模块：函数、极限、连续
填空题
8． [2012年]设函数则
正确答案：
解析： 当x=e时，y=lnx－1，故 知识模块：函数、极限、连续
9． [2012年]
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
10． [2009年]
正确答案：3e/2
解析： 知识模块：函数、极限、连续
11． [2015年]
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
12． [2002年]设常数则
正确答案：
解析： 知识模块：函数、极限、连续
知
13． [2005年]
正确答案：2
解析：解一 当x→∞时，sin[2x／(x2+1)]～2x／(x2+1)，由命题1．1．4．1 [*]其中m,n为正整数.得到 [*] 解二 令[*]则[*]故[*] 知识模块：函数、极限、连续
14． [2007年]
正确答案：0
解析：解一 因|sinx+cosx|≤|cosx|+|sinx|≤2，故sinx+cosx为有界变量，又 根据命题1．1．3．6即得所求极限为0． 解二 当x→∞时，2x是比xk(k为正整数)高阶的无穷大量，因而显然|sinx+cosx|≤2，于是由命题1．1．3．6即得所求极限为0． 注：命题1．1．3．6 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量. 知识模块：函数、极限、连续
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． [2011年]求极限
正确答案：解一 使用前先用等价无穷小代换化简． 解二 用有理化和等价无穷小量代换求之． 涉及知识点：函数、极限、连续
16． [2014年]求极限
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
17． [2004年]求
正确答案： 注：命题1．1．3．1(2)当x→0时，有x－sinx～x3/6；1－cosλ～λx2(λ为常数). 涉及知识点：函数、极限、连续
18． [2005年]求
正确答案：解一 当x→O时，1－e-x=-(e-x－1)～(～1)(-x)=x，并利用洛必达法则得 解二 注：命题1．1．3．1(7)当x→0时，有ex－x－1～x2/2. 涉及知识点：函数、极限、连续
19． [2016年]求极限
正确答案：解一 而 故 解二 而 故 涉及知识点：函数、极限、连续
20． [2010年]求极限
正确答案：解一 因所求极限式中含幂指函数，先用换底法将其化为以e为
底的指数函数，得到 因则这是幂指函数的极限，故 这是因为 解二 直接利用求之． 故 涉及知识点：函数、极限、连续
21． [2012年]求极限
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
22． [2008年]求极限
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
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