利用导数求函数的极值——极值

利用导数研究函数的极值（1）——函数的极值

学习目标：理解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．并会求解函数的极大值与极小值. 复习：

复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y0，那么函数y=f(x) 在

这个区间内为 函数；如果在这个区间内y0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.

复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f(x). ②令 解不等式，得x的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x的范围，就是递减区间 .

新知讲授： 【问题导思】

1. 从远处看大山，一个个山头此起彼伏，山峰与山谷彼此相邻，如果这样的美景在数学中可看作函数的图象，那么一个个山峰和山谷又称作什么呢？． 探究任务一：

问题1.回答下列问题，并填空：

（1）函数yf(x)在a、b、c、d等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？

（2）yf(x)在这些点的导数值是多少？

（3）在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？

填空：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都 ，f(a) ；且在点xa附近的左侧f(x) 0，右侧f(x) 0.类似地，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其它点的函数值都 ，f(b) ；而且在点xb附近的左侧f(x) 0，右侧f(x) 0.

我们把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值；点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值.

极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值. 试试：

（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.

(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.

（4）导数为0的点是否一定是极值点. 比如：函数f(x)x3在x=0处的导数为 ，但它 （是或不是）极值点.

即：导数为0是点为极值点的 条件. （5）函数极值与单调性有什么关系？

求可导函数的极值的步骤： （1）求导数f′(x)；

（2）求方程f′(x)＝0的所有实数根；

（3）列表、考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化． （4）结论.

1

典型例题：

例1.已知函数f(x)x33x29x11. （1）写出函数的递减区间；

（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.

练习1.求函数f(x)＝(x2－1)3＋1的极值.

2

例2.已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3， (1)求a，b的值；

(2)求函数y的极小值．

思考：已知函数f(x)ax3bx2cx在点x0处取得极大值5，其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) x0的值 (2)a，b，c的值. y

o 2 x 1

总结：求可导函数f(x)的极值的步骤？ 作业：学案（2） 检测：16

3