新县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

新县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的

1，则圆锥的体积（ ） 21 6

D．53

A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的

2． 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ ） A．35

B．

C．

→→→

3． 已知点A（0，1），B（3，2），C（2，0），若AD＝2DB，则|CD|为（ ）

4

A．1 B.

3

5C. D．2 3

4． 在曲线y=x2上切线倾斜角为A．（0，0）

的点是（ ）

C．（，

）

B．（2，4） D．（，）

5． 函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（ ） A．0＜a≤ B．0≤a≤ C．0＜a＜ D．a＞

6． 如图，棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F是侧面对角线BC1,AD1上一点，若 BED1F 是菱形，则其在底面ABCD上投影的四边形面积（ ）

13322 B． C. D． 24427． 经过点M1,1且在两轴上截距相等的直线是（ ）

A．

A．xy20 B．xy10

C．x1或y1 D．xy20或xy0 8． 若实数x，y满足A．

B．8

C．20

22

，则（x﹣3）+y的最小值是（ ）

D．2

9． 已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（ ）

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A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q

10．阅读如下所示的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（ ）

A．39 B．21 C．81 D．102

11．已知曲线C1：y=e上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2

x

时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（ ） A．1

B．

C．e﹣1 D．e+1

，则f（﹣2）等于（ ）

12．已知偶函数f（x）满足当x＞0时，3f（x）﹣2f（）=A．

B．

C．

D．

二、填空题

13．抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：

交于A，B两点，C1与C2的

= ．

两条渐近线分别交于异于原点的两点C，D，且AB，CD分别过C2，C1的焦点，则

14．设p：实数x满足不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0），q：实数x满足不等式x2﹣x﹣6≤0，已知￢p是￢q的必要非充分条件，则实数a的取值范围是 ．

15．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，

*

在90组数对（xi，yi）（1≤i≤90，i∈N）中，

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经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．

16．若函数f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，则实数a的取值范围是 ．

17．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数； ②在区间（1，3）内f（x）是减函数； ③在x=2时，f（x）取得极大值； ④在x=3时，f（x）取得极小值． 其中正确的是 ．

18．从等边三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+的最小值为 ．

，则这两个正方形的面积之和

三、解答题

19．（本小题满分12分）已知圆C:x1y225,直线

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L:2m1xm1y7m40mR.

（1）证明: 无论m取什么实数,L与圆恒交于两点; （2）求直线被圆C截得的弦长最小时L的方程.

20．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为

234，，，且各轮考核通过与否相互独立。 345（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；

（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为X，求X的分布列和数学期望。

21．记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=（Ⅰ）集合M，N；

（Ⅱ）集合M∩N，∁R（M∪N）．

的定义域为集合N．求：

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22．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4=7，S4=16． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=

23．已知函数f（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）（a＞0，a≠1）． （Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；

（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．

24．如图，已知椭圆C

，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交

，求数列{bn}的前n项和Tn．

点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上． （1）求直线AB的方程；

（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q． ①证明：OM•ON为定值； ②证明：A、Q、N三点共线．

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新县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A 【解析】

12rh，将圆锥的高扩大到原来311112V2的倍，底面半径缩短到原来的，则体积为V2(2r)hrh，所以12，故选A.

2326V2试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为V1考点：圆锥的体积公式.1 2． 【答案】D

3

【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 5，

故选：D．

【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．

3． 【答案】

【解析】解析：选C.设D点的坐标为D（x，y）， →→

∵A（0，1），B（3，2），AD＝2DB，

∴（x，y－1）＝2（3－x，2－y）＝（6－2x，4－2y），

x＝6－2x，5∴即x＝2，y＝，

3

y－1＝4－2y

55→

∴CD＝（2，）－（2，0）＝（0，），

33

55→

∴|CD|＝02＋（）2＝，故选C.

334． 【答案】D

2

【解析】解：y'=2x，设切点为（a，a）

∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1， ∴a=，

2

的点是（，）．

在曲线y=x上切线倾斜角为故选D．

【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

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5． 【答案】B

【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣2x+2，符合题意

当a≠0时，要使函数f（x）=ax2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上为减函数 ∴

⇒0＜a≤

综上所述0≤a≤ 故选B

【点评】本题主要考查了已知函数再某区间上的单调性求参数a的范围的问题，以及分类讨论的数学思想，属于基础题．

6． 【答案】B 【解析】

试题分析：在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1AD12，设AFx，则2x1x2，2322，即菱形BED1F的边长为2，则BED1F在底面ABCD上的投影四边形是底边44433为，高为的平行四边形，其面积为，故选B. 44解得x考点：平面图形的投影及其作法. 7． 【答案】D 【解析】

考

点：直线的方程. 8． 【答案】A

【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：

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，

由图象得P（3，0）到平面区域的最短距离dmin=

22

∴（x﹣3）+y的最小值是：

，

．

故选：A．

【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．

9． 【答案】B

11xx

【解析】解：因为x=﹣1时，2﹣＞3﹣，所以命题p：∀x∈R，2＜3为假命题，则￢p为真命题．

3232

令f（x）=x+x﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x+x﹣1在（0，1）上存在零点，32

即命题q：∃x∈R，x=1﹣x为真命题．

则￢p∧q为真命题． 故选B．

10．【答案】D111.Com] 【解析】

试题分析：第一次循环：S3,n2；第二次循环：S21,n3；第三次循环：S102,n4．结束循环，输出S102．故选D. 1 考点：算法初步．

11．【答案】C

【解析】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：∴0＜1+ln（x2﹣m）≤∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，

，∴

．

=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，

∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．

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令x2﹣m≤化为m≥x﹣e∴m≥e﹣1． 故选：C．

12．【答案】D

，

x﹣e

，x＞m+x﹣e

，则

．

令f（x）=x﹣ef′（x）=1﹣ex﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．

【解析】解：∵当x＞0时，3f（x）﹣2f（）=…①，

∴3f（）﹣2f（x）=①×3+③×2得： 5f（x）=故f（x）=

， ，

=…②，

又∵函数f（x）为偶函数， 故f（﹣2）=f（2）=故选：D．

【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据已知求出当x＞0时，函数f（x）的解析式，是解答的关键．

，

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：由题意，CD过C1的焦点，根据由AB过C2的焦点，得A（c，∵A（c，4a）在C1上，

2

∴16a=2pc，

．

，得xC=，∴b=2a；

），即A（c，4a），

又c=a，

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∴a=∴

=

， =

． ．

故答案为：

【点评】本题考查双曲线、抛物线的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

14．【答案】

22

【解析】解：∵x﹣4ax+3a＜0（a＜0），

．

∴（x﹣a）（x﹣3a）＜0， 则3a＜x＜a，（a＜0）， 由x﹣x﹣6≤0得﹣2≤x≤3，

2

∵￢p是￢q的必要非充分条件， ∴q是p的必要非充分条件， 即故答案为：

15．【答案】

．

【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所 围成的弓形面积S1，由图知，

，又

，所以

，即

≤a＜0，

【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．

16．【答案】 {a|

或

} ．

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2

【解析】解：∵二次函数f（x）=x﹣（2a﹣1）x+a+1 的对称轴为 x=a﹣，

f（x）=x2﹣（2a﹣1）x+a+1是区间（1，2）上的单调函数，∴区间（1，2）在对称轴的左侧或者右侧， ∴a﹣≥2，或a﹣≤1，∴a≥，或 a≤， 故答案为：{a|a≥，或 a≤}．

【点评】本题考查二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想．

17．【答案】 ③ ．

【解析】解：由 y=f'（x）的图象可知， x∈（﹣3，﹣），f'（x）＜0，函数为减函数；

所以，①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；不正确； ②在区间（1，3）内f（x）是减函数；不正确； x=2时，y=f'（x）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负， ③在x=2时，f（x）取得极大值； 而，x=3附近，导函数值为正，

所以，④在x=3时，f（x）取得极小值．不正确． 故答案为③．

【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．

18．【答案】

．

【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）． 则

+x+y+

=3+

，

化为：x+y=3．

22则x+y

=，当且仅当x=y=时取等号．

∴这两个正方形的面积之和的最小值为． 故答案为：．

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三、解答题

19．【答案】（1）证明见解析；（2）2xy50． 【解析】

试题分析：（1）L的方程整理为xy4m2xy70，列出方程组，得出直线过圆内一点，即可

证明；（2）由圆心M1,2,当截得弦长最小时, 则LAM，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程.

（2）圆心M1,2,当截得弦长最小时, 则LAM, 由kAM1111]

1得L的方程y12x3即2xy50. 2考点：直线方程；直线与圆的位置关系.

20．【答案】（1）（2）X的分布列为数学期望为E(X)025

11124700100020003000-- 3610532342 3455解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P（A）＝所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为

2-------------4分 5（2）X的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分

212312341，P(X1000)(1)，P(X2000)(1) 33346345102342P(X3000)------------------9分

3455P(X0)1第 13 页，共 16 页

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所以，X的分布列为数学期望为E(X)021．【答案】

【解析】解：（1）由2x﹣3＞0 得 x＞，∴M={x|x＞}．

由（x﹣3）（x﹣1）＞0 得 x＜1 或x＞3，∴N={x|x＜1，或 x＞3}． （2）M∩N=（3，+∞），M∪N={x|x＜1，或 x＞3}， ∴CR（M∪N）=．

11124700100020003000---------------------12分 361053【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题．

22．【答案】

【解析】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得：a1=1，d=2an=2n﹣1… （2）由①得∴∴

…（12分）

…（7分）

…（11分） …（2分）

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由

，得

，

即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1）， 则f（x）为奇函数．

（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0， 即loga（1+x）﹣loga（1﹣x）＞0， 即loga（1+x）＞loga（1﹣x）， 则1+x＜1﹣x，

则f（﹣x）=loga（1﹣x）﹣loga（1+x）=﹣[loga（1+x）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x），

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解得﹣1＜x＜0，

则不等式解集为：（﹣1，0）． 题的关键．

24．【答案】

【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本

【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1）， ∵点A在椭圆C上，∴

整理得：6t2

+4t=0，解得t=﹣

或t=0（舍去）， ∴E（﹣，﹣），A（﹣

，﹣

），

∴直线AB的方程为：x+2y+2=0； （2）证明：设P（x0，y0），则

，

①直线AP方程为：y+=（x+），

联立直线AP与直线y=x的方程，解得：xM=直线BP的方程为：y+1=

，

联立直线BP与直线y=x的方程，解得：xN=∴OM•ON=|xM|

|xN|

=2•|

|•|

=||

=|=||

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，，

|

|

，精选高中模拟试卷

=．

=

），

②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k=

联立22

，整理得：（1+2k）x﹣4kx=0，

∴xQ=，yQ=，

∴kAN===1﹣，kAQ==1﹣，

要证A、Q、N三点共线，只需证kAN=kAQ，即3xN+4=2k+2， 将k=

代入，即证：xM•xN=

，

，

由①的证明过程可知：|xM|•|xN|=而xM与xN同号，∴xM•xN=即A、Q、N三点共线．

，

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

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