题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
BE=1，EC=4，1. 如图，△ABC≌△DEF，则BF的长是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 如图，在四边形ABCE中，D是BC的中点，连接AD，AC．若AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中的全等三角形共有（ ）
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 3. 如图，∠CAB=∠DBA，再添加一个条件，不一定能判定
△ABC≌△BAD的是（ ）
A. AC=BD B. ∠1=∠2 C. AD=BC D. ∠C=∠D
4. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD
等于（ ） A. 18∘ B. 36∘ C. 54∘ D. 64∘ 5. 下列三条线段不能组成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 5，12，13 D. 5，12，15
6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为24，斜边与一直角边之比为5：4，则这个直角三
角形的面积是（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 30 7. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC
于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A. 48∘ B. 36∘ C. 30∘ D. 24∘
8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，
CF＝6cm，则DE的长是（）
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A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
，则等腰三角形的底角是______°． 9. 若等腰三角形的一个外角是80°
10. 等腰三角形两边长分别是5和12，则这个等腰三角形的周长是______． 11. 如图，已知△ABC中，D为BC边上一点，且
AB=AC=BD，AD=CD，则∠BAC=______°．
，则∠A=______． 12. 等腰△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，若∠BDC=120°
13. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于点H，
且BH=AC，DH=DC，则∠ABC=______°．
，则14. 如图，五边形ABCDE中有一等边三角形ACD．若AB=DE，BC=AE，∠E=115°
∠BAE的度数是______°．
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AB2-BC2=AC2，在△ABC中，点D是边BC上一点，15. 如图，
F分别是AB、AD的中点．AD=10，EF=2，点E、若AB=12，
则△CEF的周长是______．
AB=AC=5，BC=6．若点P在边AC上移动，则BP的最小值是______． 16. 在△ABC中，
，点D在BC边上，连接AD．若△ABD为直角17. 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°
三角形，则∠ADC的度数为___________
18. 如图，在△ABC中，BC=15cm，BP，CP分别是∠ABC
和∠ACB的平分线，PD∥AC交BC于点D，PH⊥AB于
2
H，BH=6cm，若PH=3cm，则△PBD的面积是______cm．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
19. 如图，在△ABC中，利用直尺和圆规按要求作图（不
写作法，保留作图痕迹）： （1）在BC边上作点P，使得点P到AB和AC的距离相等；
（2）在射线AP上作点Q，使得AQ=CQ．
20. 如图，在8×8的正方形网格中，已知△ABC的三个
顶点在格点上．
（1）在图中画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1；
（2）将图中点A1沿网格线横向或纵向平移一次到格点O，使得△OB1C1为等腰三角形，试在图中画
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出格点O的位置．
21. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，∠1=∠2．
求证：△ABC≌△ADE．
22. 如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，
AF与DE交于点G，求证：GE=GF．
AC=6，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，23. 如图，
BC=8，折叠纸片的一角，使点B与点A重合，展开得
折痕DE，求DE的长．
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，分别以BC、BA为边24. 如图，已知△ABC中，∠ACB=90°
作等边三角形BCD和等边三角形BAE，连接ED并延长
交AC于点F．
求证：（1）∠BDE=90°；（2）AF=DE-DF．
25. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°
，AC=BC=4，直线MN⊥BC于B，直角三角板的直角顶点P落在射线AB
上，一直角边始终经过点C，另一直角边交直线MN于点D．
（1）求∠A的度数；
（2）若AP2
=2，求△ACP的面积；
（3）绕点C转动直角三角板，若△ACP≌△BPD，求∠ACP的度数．
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答案和解析
1.【答案】B 【解析】
解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC=EF， ∴BE=CF，
∴BF=BC+CF=BE+EC+BE=1+4+1=6． 故选：B．
由三角形全等的性质可知BC=EF，结合条件可求得BF的长．
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
2.【答案】C 【解析】
解：∵D是BC的中点， ∴BD=CD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）， 在△AEC和△CDA中，
，
∴△AEC≌△CDA（SSS）， ∴△ABD≌△CAE，
∴图中的全等三角形共有3对， 故选：C．
首先证明△ABD≌△ACD，再证明△AEC≌△CDA，进而得出△ABD≌△CAE． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 3.【答案】C 【解析】
解：A、∵AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=AB， ∴根据SAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
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B、∵∠CAB=∠DBA，AB=AB，∠1=∠2，
∴根据ASA能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误；
C、根据AD=BC和已知不能推出△ABC≌△BAD，故本选项正确； D、∵∠C=∠D，∠CAB=∠DBA，AB=AB，
∴根据AAS能推出△ABC≌△BAD，故本选项错误； 故选：C．
根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）判断即可．
本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 4.【答案】C 【解析】
解：∵AB=AC，∠ABC=72°，
， ∴∠ABC=∠ACB=72°
， ∴∠A=36°
∵BD⊥AC，
-36°=54°． ∴∠ABD=90°故选：C．
根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数．
本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般． 5.【答案】D
【解析】
222
解：A、3+4=5，故是直角三角形，故不符合题意；
B、62+82=102，故是直角三角形，故不符合题意； C、52+122=132，故是直角三角形，故不符合题意； D、52+122≠152，故不是直角三角形，故符合题意． 故选：D．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
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本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 6.【答案】B 【解析】
解：设斜边是5k，直角边是4k， 根据勾股定理，得另一条直角边是3k． ∵周长为24， ∴4k+5k+3k=24， 解得：k=2．
∴三边分别是8，6，10． 所以三角形的面积公式=故选：B．
由斜边与一直角边比是5：4，设斜边是5k，则直角边是4k，根据勾股定理，得另一条直角边是3k，根据题意，求得三边的长，进而得出三角形面积即可． 本题考查的是勾股定理，用一个未知数表示出三边，根据已知条件列方程即可，要求能熟练运用勾股定理． 7.【答案】A 【解析】
解：∵BD平分∠ABC，
， ∴∠DBC=∠ABD=24°
， ∵∠A=60°
-60°-24°×2=72°， ∴∠ACB=180°
∵BC的中垂线交BC于点E， ∴BF=CF， ， ∴∠FCB=24°-24°=48°， ∴∠ACF=72°故选：A．
根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．
，
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此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
8.【答案】B 【解析】
解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，CF=6cm， ∴△ABC的面积=∴CF=2DE， ∴DE=3cm， 故选：B．
根据等腰三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键． 9.【答案】40 【解析】
解：与80°角相邻的内角度数为100°；
+100°当100°角是底角时，100°＞180°，不符合三角形内角和定理，此种情况不成立；
÷2=40°当100°角是顶角时，底角的度数=80°； 故此等腰三角形的底角为40°． 故答案为：40．
首先判断出与80°角相邻的内角是底角还是顶角，然后再结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行计算．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 10.【答案】29 【解析】
解：5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、12， ∵5+5=10＜12，
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=2△ADC的面积=，
∴不能组成三角形，
5是底边时，三角形的三边分别为5、12、12， 能组成三角形， 周长=5+12+12=29，
综上所述，这个等腰三角形的周长为29． 故答案为：29．
分5是腰长和底边长两种情况讨论求解，再利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，然后根据周长公式列式计算即可得解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 11.【答案】108 【解析】
解：∵AD=CD
， ∴设∠DAC=∠DCA=x°
∵AB=AC=BD
，∠B=∠C=x°， ∴∠BDA=∠BDA=∠DAC+∠C=2x°
， ∴∠BAC=3∠C=3x°
∵∠B+∠BAC+∠C=180°
∴5x=180，
∴∠C=36°
， ∴∠BAC=3∠C=108°故答案为：108
由AD=CD得∠DAC=∠DCA，由AB=AC=BD得∠BDA=∠BAD=2∠C，
∠DAC=∠C，从而可推出∠BAC=3∠C，根据三角形的内角和定理即可求得∠C的度数，从而不难求得各个内角的度数．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力；求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键．
12.【答案】100°
【解析】
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=∠ABC， 又∵AB=AC，
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∴∠C=∠ABC， ∴∠C=2∠1，
-∠BDC，且∠BDC=120°而∠2+∠C=180°， ， ∴3∠1=60°
即∠1=∠2=20°，
又∵∠BDC=∠A+∠1，
-20°=100°． ∴∠A=∠BDC-∠1=120°故答案为：100°．
由在△ABC中，AB=AC，根据等边对等角，可得∠ABC=∠C，又由BD平分，可求得∠1的度数，然后根据三角形内角和定理，即可求∠ABC，∠BDC=120°
得∠A的度数．
此题考查了等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 13.【答案】45 【解析】
解：∵AD⊥BC，
， ∴∠BDH=∠ADC=90°
在Rt△BDH和Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC（HL）， ∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD，
， ∵∠ADB=90°
-90°（180°）=45°． ∴∠ABC=×故答案为45．
求出∠BDH=∠ADC=90°，根据HL证Rt△BDH≌Rt△ADC，推出AD=BD，推出∠BAD=∠ABD即可．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，垂直定义，全等三角形的性质和判定的应用，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．全等三角形的对应边相等，对应角相等． 14.【答案】125
【解析】
解：∵正三角形ACD，
， ∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°在△ABC与△AED中
，
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∴△ABC≌△AED（SSS），
，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE， ∴∠B=∠E=115°
-115°=65°， ∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°+60°=125°， ∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°故答案为：125
根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．
15.【答案】13 【解析】
222
解：∵AB-BC=AC，
， ∴∠ACB=90°
∵点E、F分别是AB、AD的中点，AB=12，AD=10， ∴CE=AB=6，CF=AD=5， ∵EF=2，
∴△CEF的周长=CE+CF+EF=13， 故答案为：13．
根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半得到CE=AB=6，CF=AD=5，于是得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 16.【答案】4.8
【解析】
解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短， 过A作AD⊥BC，交BC于点D， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴D为BC的中点，又BC=6， ∴BD=CD=3，
在Rt△ADC中，AC=5，CD=3， 根据勾股定理得：AD=
=4，
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又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC， ∴BP=
=
=4.8．
故答案为：4.8．
根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．
此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
或90°17.【答案】130°
【解析】
解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，
， ∴∠B=∠C=40°
∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形， 时，则∠ADB=50°， ∴当∠BAD=90°， ∴∠ADC=130°时，则 当∠ADB=90°， ∠ADC=90°
故答案为：130°或90°．
根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．
本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答． 18.【答案】15
【解析】
解：
∵CP平分∠ACB，
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∴∠1=∠2， ∵DP∥AC， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴DP=CD，
过P作PE⊥BC于E，
∵PH⊥AB，BP平分∠ABC，PH=3cm， ∴PE=PH=3cm，
222222
∵由勾股定理得：BH=BP-PH，BE=BP-PE，PH=PE，
∴BH=BE， ∵BH=6cm， ∴BE=6cm， 设DE=xcm，
∵BC=15cm，
∴PD=CD=（15-6-x）cm=（9-x）cm，
222
在Rt△PED中，由勾股定理得：PE+DE=DP，
32+x2=（9-x）2，
解得：x=4， 即DE=4cm，
∴BD=BE+DE=6cm+4cm=10cm， ∴△BPD的面积S=故答案为：15．
过P作PE⊥BC于E，求出CD=PD，根据角平分线的性质求出PE=PH，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x的值，再根据面积公式求出即可． 本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 19.【答案】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）如图，点Q即为所求；
=
=15cm2，
【解析】
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（1）作∠BAC的平分线AM交BC于点P，点P即为所求； （2）作线段AC的垂直平分线EF交AP于点Q，点Q即为所求；
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，点O′或点O″即为所求． 【解析】
（1）作出点A，B，C关于直线l的对称点，再顺次连接即可得； （2）根据等腰三角形的定义，结合网格的特点可得点O的位置．
此题主要考查了轴对称变换和勾股定理以及其逆定理等知识，正确得出对应点位置是解题关键． 21.【答案】证明：∵∠1=∠2，
∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC ∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中， ∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE， ∴△ADE≌△ABC（ASA）． 【解析】
依据∠1=∠2，即可得出∠BAC=∠DAE，根据ASA证明△ADE≌△ABC即可． 本题考查了全等三角形的判定，解题时注意：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
22.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
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AB=DC∠B=∠CBF=CE ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG． 【解析】
求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
，AC=6，BC=8， 23.【答案】解：∵∠ACB=90°∴AB=AC2+BC2=10
∵折叠
∴AE=BE=5，AD=BD
222
在Rt△ACD中，AC+CD=AD．
22
∴36+（8-AD）=AD． ∴AD=254
在Rt△ADE中，DE=AD2−AE2=154 【解析】
由题意可求AB=10，根据折叠的性质可求AD=BD，AE=5，根据勾股定理可求AD的长，再勾股定理可求DE的长．
本题考查了折叠问题，勾股定理，熟练运用折叠的性质解决问题是本题的关键．
24.【答案】证明：（1）∵BCD和BAE是等边三角形，
∴BD=CD，BE=BA，
-∠DBA=∠CBA， ∠DBD=60°
∴△ABC≌△EBD（SAS）， ∴∠ABC=∠BDE=90°，DE=AC； （2）∠CDF=180-∠BDE-∠BDC=30°，∠DCA=∠BCA-∠BCD=30°， ∴CF=DF，
AC=AF+CF=AF+DF，而DE=AC， ∴AF=DE-DF． 【解析】
（1）证明△ABC≌△EBD（SAS）即可；
（2）∠CDF=180-∠BDE-∠BDC=30°，∠DCA=∠BCA-∠BCD=30°，则：CF=DF，再
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用DE=AC，即可证明．
本题考查的是全等三角形的判断与性质，主要是通过等边三角形的边角关系确定全等的三角形即可证明．
， 25.【答案】解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°∴∠A=∠ABC=45°．
（2）作PH⊥AC于H，则AH=PH．
222
∵AH+PH=PA=2， ∴PH=1，
4×1=2． ∴S△APC=12•AC•PH=12×
（3）∵△ACP≌△BPD， ∴AC=PB， ∵AC=BC， ∴BC=BP， ∵∠CBP=45°，
∴∠PCB=∠BPC=67.5°，
-67.5°=22.5°∴∠ACP=90°． 【解析】
（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； （2）作PH⊥AC于H，求出PH即可解决问题；
（3）只要证明BC=PB，即可推出∠PCB=67.5°即可解决问题；
本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，属于中考常考题型．
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