艺术生高考数学专题讲义：考点28 等差数列

考点二十八数列的概念与等差数列

知识点一：数列的基本概念

知识突围1．数列的概念

(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an=f(n)．当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2．数列的分类

分类原则按项数分类

类型有穷数列无穷数列

按项与项间的大小关系分类按其他标准

分类

递增数列递减数列常数列有界数列摆动数列

满足条件项数有限项数无限

an+1>anan+1存在正数M，使|an|≤M从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

3．数列的两种常用的表示方法

(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an=f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

(2)递推公式：如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

4．已知数列{an}的前n项和Sn，则an=　S1　　　　n=1，

　Sn-Sn－1　n≥2.

其中n∈N*

合抱之木,生于毫末一些常见数列的通项公式

(1)数列1,2,3,4，…的通项公式为an=n；(2)数列2,4,6,8，…的通项公式为an=2n；(3)数列1,3,5,7，…的通项公式为an=2n-1；

(4)数列1,2,4,8，…的通项公式为an=2n-1；(5)数列1,4,9,16，…的通项公式为an=n2；

(6)数列1，1，1，1，…的通项公式为an=1.

234n(7)数列1，-1,1，-1，…的通项公式为an=(-1)n-1或(-1)n+1；(8)数列-1,1，-1,1，…的通项公式为an=(-1)n.

·1·

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题型突围纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行.题型一 数列的通项公式例1.写出下列数列的一个通项公式：(1)1，2，9，8，25，…；222(2)9,99,999,9999，…；22222-13-24-35(3)，，，-4，…；1357(4)-1，1，-1，1，…；1×22×33×44×5 方法总结 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．【题型练1-1】写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…；

(2)1，-3,5，-7,9，…；(3)11，22，33，44，…；

2345(4)1,11,111,1111，….

222

(5)1+1，1-3，1+5，1-7，….

2468题型二 数列的通项公式的应用

例2.根据下面数列an的通项公式，写出它的前5项：2

(1)an=n-1；(2)an=nn+2.

2n-1 方法总结 易混项与项数，它们是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一个确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．1+-1n+1【题型练2-1】已知数列an的通项公式为an=，则该数列的前4项依次为（）2A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.1,0,1,0D.2,0,2,022【题型练2-2】已知数列an的通项公式为an=1+那么1是这个数列的第n∈N，120nn+2（项．）【题型练2-3】已知数列an的通项公式为an=n2-n-50，则-8是该数列的·2·

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A.第5项

B.第6项

C.第7项

D.非任何一项

）

【题型练2-4】现有一列数：2，3，5，7，(　　)，13，17，…，按照规律，(　　)中的数应为（

24832A.9B.11C.1D.111616218【题型练2-5】已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的

A.第19项

B.第20项

C.第21项

D.第22项

（（

）

【题型练2-6】已知数列{an}中，a1=1，若an=2an-1+1(n≥2)，则a5的值是

A.7

B.5

C.30

D.31

）

【题型练2-7】已知数列{an}满足a1=1，an+1an=2n(n∈N+)，则a10=

A.

B.32

C.16

D.8

（）

【题型练2-8】已知数列{an}满足a1=1，an+1=a2则a2018=n-2an+1(n∈N+)，

A.1

B.0

C.2018

D.-2018

（）

【题型练2-9】在数列{an}中，a1=-1，an=1-1(n>1)，则a2020的值为

4an－1

A.-1B.5C.4D.以上都不对

45题型三 已知Sn，求an=

（）

S1

Sn-Sn-1n=1

.n≥2

2例3.1【江西，17】已知数列an的前n项和Sn=3n-nn∈N+.求an的通项公式．

2满足Sn=2an-2．求an的通项公式2已知数列{an}的前n项和为Sn，

方法总结 已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)对n=1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n=12【题型练3-1】【湖南，16】已知数列an的前n项和Sn=n+nn∈N+S.求数列an的通项公式；2【题型练3-2】已知数列an的前n项和Sn=3n2-2nn∈N+，则其通项公式为．【题型练3-3】(2013新课标Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和为Sn=2an+1，则数列{an}的通项公式是33an=____．·3·

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【题型练3-4】(2018•新课标Ⅰ，理14)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6=

．

知识点二：等差数列的概念与运算

知识突围1．等差数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表达式：

an+1-an=d(n∈N*，d为常数)，或an-an-1=d(n≥2，d为常数)．

(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A=a+b.

2

数列{an}是等差数列⇔2an=an-1+an+1(n≥2，n∈N*)．2．等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d.

推广：

①an=am+(n-m)d(m，n∈N*)．

②等差数列的通项公式与函数的关系an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数．③数列{an}是等差数列⇔an=pn+q(p，q为常数)．(2)等差数列的前n项和公式

Sn=

na1+annn-1

=na1+d(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项)．22

合抱之木,生于毫末推广：

①等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn=dn2+a1-dn是关于n的二次函数，且常数项为

220.②数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A，B为常数)．3．等差数列的有关性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和．

(1)当m+n=p+q时，am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m+n=2p，则am+an=2ap

(m，n，p∈N*)．

(2)等差数列{an}的单调性：当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列；当d=0时，{an}是常数列.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．

(4)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列，公差为m2d.4．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．

·4·

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1．有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1=….

Sn

2．其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的1.n也成等差数列，23．在等差数列{an}中，

San

(1)．若项数为偶数2n，则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)；S偶-S奇=nd；奇=.

S偶an＋1

S

(2)．若项数为奇数2n-1，则S2n-1=(2n-1)an；S奇-S偶=an；奇=n.

S偶n-1且前n项和分别是Sn和Tn，则4．若数列{an}与{bn}均为等差数列，

S2n－1an

=.bnT2n－1

{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an+p}，{pan+qbn}都是5．若数列{an}，

等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1+qd2.

an=m(m≠0)，则am+n=0.6．若am=n，

题型突围纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行.题型一 等差数列基本量的计算

（

D.

）例4.在等差数列{an}中，若a3+a4+a5=3，a8=8，则a12的值是

A.15

B.30

C.31

方法总结 等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式共涉及四个量a1，an，d，n，，知其中三个就能求另外一个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式转化为方程(组)求解．【题型练4-1】(2015重庆)在等差数列an中，若a2=4,a4=2，则a6=A.-1

B.0

C.1

D.6

．（

D.14

．

）

（）【题型练4-2】(2018北京)设{an}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{an}的通项公式为【题型练4-3】(2014重庆)在等差数列{an}中，a1=2,a3+a5=10，则a7=

A.5

B.8

C.10

【题型练4-4】(2015广东)在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8=【题型练4-5】(2013广东)在等差数列an中，已知a3+a8=10，则3a5+a7=_____．【题型练4-6】(2012福建)等差数列an中，a1+a5=10，a4=7，则数列an的公差为

A.1

B.2

C.3

D.4

（

D.30

（

）

【题型练4-7】在等差数列{an}中，已知a5+a10=12，则3a7+a9=

A.12

B.18

C.24

）

·5·

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题型二 等差数列的前n项和的计算

例5.(2018上海)记等差数列{an}的前几项和为Sn，若a3=0，a6+a7=14，则S7=

．

方法总结 等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．【题型练5-1】(2011江西)设{an}为等差数列，公差d=-2，Sn为其前n项和，若S10=S11，则a1=A.18

B.20

C.22

D.24

()【题型练5-2】(2018•新课标Ⅰ，理4)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=

(　)

A.-12

B.-10

C.10

D.12

；

【题型练5-3】(2012北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=1，S2=a3，则a2=

2Sn=．

的公差为A.1

B.2

C.4

D.8

(

【题型练5-4】(2017•新课标Ⅰ，理4)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}

)

【题型练5-5】(2016•新课标Ⅰ，理3)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=

A.100

B.99

C.98

D.97

(　)

【题型练5-6】(2015新课标Ⅰ，文7)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8=

4S4，则a10=A.17

2(

B.19

2C.10

D.12

(

))

【题型练5-7】(2015新课标Ⅱ，文5)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=

A.5

B.7

C.9

D.11

【题型练5-8】(2019•新课标Ⅰ，文18)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．

(1)若a3=4，求{an}的通项公式；

(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

·6·

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【题型练5-9】(2011福建)已知等差数列an中，a1=1，a3=-3．

(1)求数列an的通项公式；

(2)若数列an的前k项和Sk=-35，求k的值．

题型三 等差数列的判断和证明

例6.已知数列{an}满足2an-1-anan-1=1(n≥2)，a1=2，证明数列的通项公式．

1是等差数列，并求数列{an}an-1 方法总结 等差数列的四种判断方法(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数．(2)等差中项法：验证2an=an-1+an+1(n≥2，n∈N*)都成立．(3)通项公式法：验证an=pn+q.(4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn.后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断．提醒：要注意定义中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．【题型练6-1】已知数列{an}满足a1=2，n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*)．an求证：数列并求其通项公式；n是等差数列，【题型练6-2】(大纲全国，17)数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.

(1)设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式.

【题型练6-3】数列{an}满足an+1=

an1是等差数列；，a1=1.证明：数列an2an+1·7·

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题型四 等差数列的性质

角度1等差数列项的性质

例7.等差数列{an}中，若a1+a4+a7=15，a3+a6+a9=3，则a2+a5+a8=______.

方法总结 利用等差数列性质求解问题的注意点 如果{an}为等差数列，m+n=p+q，则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N*)．若出现am-n，am，am+n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件；若求am项，可由am=1(a+a)转化为求a，m+nm-nam+n或am+n+am-n的值．2m-n【题型练7-1】在等差数列{an}中，前n项和Sn满足S7-S2=45，则a5=（）A.7

B.9

C.14

D.18

（

D.3

（

））

【题型练7-2】在等差数列{an}中，2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36，则a6=

A.8

B.6

C.4

【题型练7-3】在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12的值为

A.20

B.22

C.24

D.28

.．

．.【题型练7-4】(1)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1+b1=7，a3+b3=21，则

(2)等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为

【题型练7-5】(1)在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11等于

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=10，S20=30，则S30=

角度二、等差数列和的最值问题

例8.(2018•新课标Ⅱ，理(文)17)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-7，S3=-15．

(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．

方法总结 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法am≥0，的项数m使得Sn取得最大值为Sm；am＋1≤0am≤0，②当a1<0，d>0时，满足am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.①当a1>0，d<0时，满足·8·

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【题型练8-1】设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3+a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自

然数n的值为A.6

B.7

C.12

D.13

a6

=8，则当Sn取最小值时，n的值为11a5

（

A.11

B.10

C.9

D.8

）

（

）

【题型练8-2】设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1<0且

【题型练8-3】已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使

得Sn达到最大值的n的值是________.

·9·