等差数列、等比数列、求通项方法、求和方法总结

1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为anan1d(n2)或an1and(n1)。

例：等差数列an2n1，anan1 2、等差数列的通项公式：ana1(n1)d；

说明：等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：d0为递增数列，d0为常数列，d0 为递减数列。

，则a12等于（ ） 例：1.已知等差数列an中，a7a916，a41A．15 B．30 C．31 D．64

2.{an}是首项a11，公差d3的等差数列，如果an2005，则序号n等于 （A）667 （B）668 （C）669 （D）670

3.等差数列an2n1,bn2n1，则an为 bn为 （填“递增数列”或“递减数列”）

3、等差中项的概念：

定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中A a，A，b成等差数列Aab 2ab 即：2an1anan2 （2ananmanm） 2例：1．设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13 （ ）

A．120 B．105 C．90 D．75

2.设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A．1 B.2 C.4 D.8

4、等差数列的性质：

（1）在等差数列an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列an中，对任意m，nN，anam(nm)d，danam(mn)；

nm（4）在等差数列an中，若m，n，p，qN且mnpq，则amanapaq； 5、等差数列的前n和的求和公式：Sn2(SnAnBnn(a1an)n(n1)1d（a1）n。na1dn22222(A,B为常数)an是等差数列 )

递推公式：Sn

(a1an)n(aman(m1))n 221

例：1.如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2...a7

（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 2.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于( ) A．13 B．35 C．49 D． 63 3. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9= 4.在等差数列an中，a1a910，则a5的值为（ ）

（A）5 （B）6 （C）8 （D）10

5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）

A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 6.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1221，则a2a5a8a11 7.设等差数列an的前n项和为Sn，若a55a3则

S9 S58．已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100. （Ⅰ）求数列｛bn｝的通项bn；

9.已知an数列是等差数列，a1010，其前10项的和S1070，则其公差d等于( )

A．23112B． C. D.

33310.（陕西卷文）设等差数列

an的前n项和为sn,若a6s312,则an

Sn11．设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前

nn项和，求Tn。

2

12.等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030，a2050

①求通项an；②若Sn=242，求n

13.在等差数列{an}中，（1）已知S848,S12168,求a1和d；（2）已知a610,S55,求a8和S8；(3)已知a3a1540,求S17

6.对于一个等差数列：

S奇an； S偶an1Sn（2）若项数为奇数，设共有2n1项，则①S奇S偶ana中；②奇。

S偶n1（1）若项数为偶数，设共有2n项，则①S偶S奇nd； ②

27.对与一个等差数列，Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等差数列。公差为 nd

例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）

A.130 B.170 C.210 D.260

2.一个等差数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为 。

3．已知等差数列an的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 4.设Sn为等差数列an的前n项和，S414，S10S730，则S9= 5．（全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若

S31S＝，则6＝ S63S12D．

A．

311 B． C． 10381 98．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法： an1and(常数）（nN）an是等差数列

②中项法： 2an1anan2③通项公式法： anknb（nN)an是等差数列

(k,b为常数)an是等差数列

(A,B为常数)an是等差数列

2④前n项和公式法： SnAnBn

3

例：1.已知数列{an}满足anan12，则数列{an}为 （ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

2.已知数列{an}的通项为an2n5，则数列{an}为 （ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

23.已知一个数列{an}的前n项和sn2n4，则数列{an}为（ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

24.已知一个数列{an}的前n项和sn2n，则数列{an}为（ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

5.已知一个数列{an}满足an22an1an0，则数列{an}为（ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

6.数列an满足a1=8，a42，且an22an1an0 （nN） ①求数列an的通项公式；

7．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n，则{an}是（ ）

A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

9.数列最值

（1）a10，d0时，Sn有最大值；a10，d0时，Sn有最小值；

2（2）Sn最值的求法：①若已知Sn，Sn的最值可求二次函数Snanbn的最值；

2

可用二次函数最值的求法（nN）；②或者求出an中的正、负分界项，即： 若已知an，则Sn最值时n的值（nN）可如下确定an0an0或。

an10an10例：1．等差数列an中，a10，S9S12，则前 项的和最大。

2．设等差数列an的前n项和为Sn，已知 a312，S120，S130 ①求出公差d的范围，

，S12中哪一个值最大，并说明理由。 ②指出S1，S2，

4

3．设｛an｝（n∈N）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（ ） ．．

A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5

4.已知{an}是等差数列，其中a131，公差d8。

（1）数列{an}从哪一项开始小于0？

（2）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值．

5.已知{an}是各项不为零的等差数列，其中a10，公差d0，若S100,求数列{an}前n项和的最大值．

6.在等差数列{an}中，a125，S17S9，求Sn的最大值．

利用an D.S6与

*

S7均为Sn的最大值

(n1)S1求通项{an}．

SS(n2)n1n21.数列{an}的前n项和Snn1．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{an}是等差数列吗？（3）你能

写出数列{an}的通项公式吗？

22．已知数列an的前n项和Snn4n1，求数列{an}的通项公式；

5

3.设数列{an}的前n项和为Sn=2n，求数列{an}的通项公式；

2

4.已知数列an中，a13，前n和Sn1(n1)(an1)1 2①求证：数列an是等差数列 ②求数列an的通项公式

25.设数列{an}的前n项和Snn，则a8的值为（ ）

（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64

等比数列

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做．．．．．．

等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q0)，即：an1：anq(q0)。

1． 递推关系与通项公式

递推关系：an1anq 通项公式：ana1qn1推广：anamqnm

1． 在等比数列an中,a14,q2，则an 2． 在等比数列an中,a712,q32,则a19_____. 3.在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（ ）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）8 4.在等比数列an中，a22，a554，则a8= 5.在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5（ ）

A 33 B 72 C 84 D 189

6

2． 等比中项：若三个数a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为bac，注：bac是成等比数列的必要而不充分条件.

例：1.23和23的等比中项为( )

2(A)1 (B)1 (C)1 (D)2

2.设an是公差不为0的等差数列，a12且a1,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn=（ ）

A．n247nn24 B．35n3 C．n23n24 D．n2n

3． 等比数列的基本性质，(其中m,n,p,qN) （1）若mnpq，则amanapaq （2）qnman，a2ananmanm(nN) m（3）an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. （4）an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.

例：1．在等比数列a中,a2n1和a10是方程2x5x10的两个根,则a4a7( )

(A)52112 (B)2 (C)2 (D)2

2. 在等比数列an，已知a15，a9a10100，则a18= 3.在等比数列an中，a1a633，a3a432，anan1 ①求an

②若Tnlga1lga2lgan,求Tn

7

4.等比数列{an}的各项为正数，且a5a6a4a718,则log3a1log3a2 A．12 B．10 C．8 D．2+log35 5.已知等比数列

log3a10（ ）

{an}满足

an0,n1,2,，且

a5a2n522n(n3)，则当n1时，

log2a1log2a3log2a2n1 （ ）

222(n1)(n1)n(2n1)nA. B. C. D.

4． 前n项和公式（错位相减法推导）

(q1)na1Sna1(1qn)a1anq1q1q(q1)

例：1.已知等比数列{an}的首相a15，公比q2，则其前n项和Sn

2.已知等比数列{an}的首相a15，公比q和Sn 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已a26,6a1a330，求an和Sn 4．设f(n)2222A．

471

，当项数n趋近与无穷大时，其前n项 2

2n(81) 723n10(nN)，则f(n)等于（ ） 2n12n32n4B．(81) C．(81) D．(81)

777105．设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；

6．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则q 的值为 .

5.若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.

如下图所示：

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k 公比为 q2k SkS2kSkS3kS2k例：1.设等比数列{

an}的前n 项和为

Sn，若

S6S3=3 ，则

S9S6 =

78A. 2 B. 3 C. 3 D.3

8

2.一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（ ）

A．83 B．108 C．75 D．63 3.已知数列an是等比数列，且Sm10，S2m30，则S3m

6.等比数列的判定法 （1）定义法：

an1q（常数）an为等比数列； an2（2）中项法：an1anan2(an0)an为等比数列；

n（3）通项公式法：ankq(k,q为常数）an为等比数列； nan为等比数列。 （4）前n项和法：Snk(1q)（k,q为常数）Snkkqn（k,q为常数）an为等比数列。

n例：1.已知数列{an}的通项为an2，则数列{an}为 （ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断 2.已知数列{an}满足an1anan22(an0)，则数列{an}为 （ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

n13.已知一个数列{an}的前n项和sn22，则数列{an}为（ ）

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断

7.利用an

例：1.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an1{an}的通项公式．

2.已知数列an的首项a15,前n项和为Sn，且Sn2Snn5nN列．

9

(n1)S1求数列{an}的通项公式．

SnSn1(n2)1Sn，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列3，证明数列a1是等比数

n求数列通项公式方法

1公式法（定义法）：根据等差数列、等比数列的定义求通项

例：1已知等差数列{an}满足：a37,a5a726， 求an；

2.已知数列{an}满足a12,anan11(n1)，求数列{an}的通项公式；

3.数列an满足a1=8，a42，且an22an1an0 （nN），求数列an的通项公式；

4. 已知数列{an}满足a12,

5. 设数列{an}满足a10且 、

6. 等比数列{an}的各项均为正数，且2a13a21，a39a2a6，求数列{an}的通项公式

7. 已知数列{an}满足a12,an3an1(n1)，求数列{an}的通项公式；

9.已知数列{an}满足a12，a24且an2anan1 （nN），求数列an的通项公式；

21an112，求数列an的通项公式； an111，求{an}的通项公式

1an11an2

10

2.已知Sn，求{an}

分析：把已知关系通过anS1,n1转化为数列an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。

SnSn1,n21.若数列{an}的前n项和Snan

231，求数列{an}的通项公式； 32.设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn

3n3，求数列{an}的通项公式。

3 累加法

a2a1f(1)1、累加法 适用于：an1anf(n) 若an1anf(n)(n2)，则

a3a2f(2) an1anf(n)

两边分别相加得 an1a1例：1.已知数列{an}满足a1

f(n)

k1n1,2an1an14n21，求数列{an}的通项公式。

11

2. 已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。

3. 已知数列{an}满足an1

4. 设数列{an}满足a12，an1an32

5.设数列{an}满足a11，an1anln2n1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

，求数列{an}的通项公式.

n1，求数列{an}的通项公式. n 4累乘法

适用于： an1f(n)an

若

an1aaf(n)，则2f(1)，3f(2)，ana1a2a，n1f(n) annan1两边分别相乘得，a1f(k)

a1k1例：1. 已知数列an满足a11，an1

2nan，求数列{an}的通项公式.

12

2. 已知数列an满足a1

2n，an1an，求数列{an}的通项公式. 3n13. 已知数列an满足a13，an1

3n1an (n1)，求数列{an}的通项公式. 3n2n4. 已知数列{an}满足an12(n1)5an，a13，求数列{an}的通项公式。

5倒数变换法

适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

an1panq

an例：1. 已知数列{an}满足an1

2an,a11，求数列{an}的通项公式。 an2 13

2.已知数列{an}满足an1an，a11，求数列{an}的通项公式。

3an1

6 同除法：

10形如 an1ann1 同除n1an1n1ann1n1n1 n11.已知数列{an}满足an13an3，a11，求数列{an}的通项公式。

112.已知数列{an}满足an3an13n2，a11，求数列{an}的通项公式。



n20形如 an1ananan1 同除an1ananan111an1anan1an

1.已知数列{an}满足3an1ananan1，a11，求数列{an}的通项公式。

14

7 待定系数法（构造法） 适用于an1qanf(n) 以及 an1panq

解题基本步骤：

1、确定f(n)

an1pan

2、设等比数列an1f(n)，公比为q an1panp 3、列出关系式an11f(n1)2[an2f(n)]

令pq

4、比较系数求1，2 求出 5、解得数列an1f(n)的通项公式 6、解得数列an的通项公式



例：1. 已知数列{an}中，a11,an2an11(n2)，求数列an的通项公式。

2..在数列an中，若a11,an12an3(n1)，求数列an的通项公式。

n3.已知数列{an}满足an12an35，a16，求数列an的通项公式。

n4. 已知数列{an}满足an13an524，a11，求数列{an}的通项公式。

15

5..已知数列an中，a1

511n1,an1an()，求数列an的通项公式。 632n16. 已知数列{an}满足an12an43，a11，求数列an的通项公式。

7.已知数列{an}满足a12，且an15

8 已知数列{an}满足a12，且an152

9..数列已知数列an满足a1

16

n1n12(an5n)（nN），求数列an的通项公式；

23(an52n2)（nN），求数列an的通项公式；

1,an4an11(n1).则数列an的通项公式= 28 特征根法

递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）。 将 an2pan1qan 先把原递推公式转化为an2san1t(an1san) 转化为x2pxq0，设，为方程的两根

stpnn其中s，t满足 当时，anAB

stqn1 当时，anABn

1.. 已知数列{an}满足an25an16an,a11,a22，求数列{an}的通项公式。

2..已知数列{an}满足an2

3.已知数列{an}满足an24an14an，a1

17

an16an，a10,a21,求数列{an}的通项公式。

1,a25,求数列{an}的通项公式。

9 变性转化法

取对数变换法 适用于指数关系的递推公式

an1panlgan1lgplgan2

2n5例： 1.已知数列{an}满足an123an，a17，求数列{an}的通项公式。

2. 已知数列{an}满足an1

23an，a11，求数列{an}的通项公式。

10 不动点法：

形如an1anpanq 转化为xxpx1求出方程的根x1,x2（即不动点）

再将数列两边同时将去x1,x2 即an1x1anpanqx1......① x2........②

an1x2再由

①式得 ， 求解即可 ②anpanq

18

10第一类：有两个不动点时

1.

2.已知数列{an}满足an1

已知数列{an}满足an12an6，a12，求数列{an}的通项公式。

an14an8，a14，求数列{an}的通项公式。

an6第二类：有一个不动点时，先求不动点，再取倒数即可

1.已知数列{an}满足an1

19

an9，a14，求数列{an}的通项公式。

an5第三类：没有不动点时，则数列为周期数列，具有周期性。 例 已知数列{an}满足an1

an33an1，

a10，求a20

数列求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

na1(q1)n(a1an)n(n1)Snna1d Sna1(1qn) 公比含字母时一定要讨论

(q1)221q(理)无穷递缩等比数列时，Sa11q

例：1.已知等差数列{an}满足a11,a23，求前n项和{Sn}

2. 等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ） A．9 B．10 C．11 D．12

3.已知等比数列{an}满足a11,a23，求前n项和{Sn}

20

4.设f(n)2242721023n10(nN)，则f(n)等于（ ）

A.

2(8n1) B.2(8n11) C.2(8n3D.

2771) 7(8n471)

2．错位相减法求和：如：an等差,bn等比,求a1b1a2b2anbn的和.

例：1．求和S12x3x2nnxn1

2.求和：S1na23na2a3an

3.设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313求{aann}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列b的前n项和Sn．

n

3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项：

1111n(n1)nn1

(2n1)(2n1)12(12n112n1) 1n(n2)12(1n1n2)1n2)1112[n(n1)(n1)(n2)] n(n1)( 21

（Ⅰ）

nn!(n1)!n!

n11i1iiCn1CnCn1(n1)!n!(n1)!

数列an是等差数列，数列1的前n项和

anan1

1，则S5等于（ ）

n(n1)例：1.数列{an}的前n项和为Sn，若anA．1 B．

511 C． D． 66302.已知数列{an}的通项公式为an

3.已知数列{an}的通项公式为an

4.已知数列{an}的通项公式为an＝

5．求1

1，求前n项的和；

n(n1)1nn1，求前n项的和．

11n1，设Tna1a3a2a421，求Tn．

anan21111,(nN*)。 121231234123n 22

6．已知a0,a1，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列，令bnanlgan(nN)，求数列bn的前n项和Sn。

4．倒序相加法求和

例：1. 求Sn3Cn6Cn…3nCn

012nn2.求证：Cn3Cn5Cn...(2n1)Cn(n1)2

12n

3．设数列an是公差为d，且首项为a0d的等差数列，

01n求和：Sn1a0Cna1CnanCn

23

综合练习

1.设数列{an}满足a10且

111

1an11an（1）求{an}的通项公式 （2）设bn

1an1n,记Snbk，证明：Sn1

k1n2.等比数列{an}的各项均为正数，且2a13a21，a39a2a6 （1）求数列{an}的通项公式

（2）设bnlog31log32...log3n，求数列{

aaa21}的前n项和 bn 24

3.已知等差数列{an}满足a20, a6a810. (1)求数列{an}的通项公式及Sn （2）求数列{

4.已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33 （1）若a1,求数列{an}的通项公式 （2）若数列{an}唯一，求a的值

2n15.设数列{an}满足a12，an1an32

an}的前n项和 2n1（1）求数列{an}的通项公式 （2）令bnnan，求数列{bn}的前n项和Sn

25

6.已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x+2x的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； （3） 记bn=

7.已知等差数列{an}满足：a37,a5a726，{an}的前n项和Sn （1）求an及Sn （2）令bn

2

112，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.

3Tn1anan21an12（nN），求数列{bn}前n项和Tn

 26

8．已知数列an中，a13，前n和Sn1(n1)(an1)1 2①求证：数列an是等差数列 ②求数列an的通项公式 ③设数列1的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得TnM对一切正整数n都成立？若存在，

anan1求M的最小值，若不存在，试说明理由。

9.数列an满足a1=8，a42，且an22an1an0 （nN）， （Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）设bn1(nN*)，Snb1b2bn，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有

n(12an)Sn

m总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由． 32 27