教师是在不断地总结教学经验和教学反思中成长的，下面是我对这一节课的教学反思。 这节课根据学生现有的认知水平和能力水平，首先，展示教材上的图案以及制作的一些图案，引导学生读图，激发学生兴趣，从图中去发现有形状与大小完全相同的图形。再让学生找出生活中具有类似特点的图形，激发学生的学习积极性，让学生体会数学来源于生活，生活中存在数学美。第二，让学生自己动手随意去做两个形状与大小相同的图形，通过动手实践，合作交流，直观感知全等形和全等三角形的概念。然后，通过阅读的方法让学生找出全等形和全等三角形的概念。第三，教师演示一个三角形经过平移，翻折，旋转后构成的两个三角形全等。通过教具演示让学生体会对应顶点、对应边、对应角的概念，并以找朋友的形式练习指出对应顶点、对应边、对应角，加强对对应元素的熟练程度。此时给出全等三角形的表示方法，提示对应顶点，写在对应的位置上，然后再给出用全等符号，表示全等三角形并加以练习，加强对知识的巩固。第四，通过学生对全等三角形纸板的观察，小组讨论，合作交流，观察对应边、对应角有何关系，从而得出全等三角形的性质。并通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理。最后师生共同小结，这节课我们知道了什么是全等形、全等三角形，学会了用全等符号表示全等三角形，会用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题。
通过这节课的学习，学生能找出图形中的全等图形，多数学生对本节课的知识掌握较好，但是个别学生在用符号标记全等三角形时对应点还是有部分学生没有写对，还有的学生把“全等于”的符号写错了，为后面知识的学习带来了困难。对这些学生还要多作指导，以巩固基础知识，为后续的学习做好准备。
12.2三角形全等的判定1 教学反思
三角形全等的判定方法一：边边边公理，是判定方法研究的第一课时，本课在教学时有三个难点：1．体会有一组量、两组量对应相等的两个三角形不一定全等；2．三组量对应相等的各种情况的分类；3．利用“边边边”判定全等推理的书写格式；
有学生前置学习的优势，难点1的突破还是可以很快进行的，但是反例的列举还是略显单薄。难点2是学生分类解决问题能力的检验，可以预料：学生能够很顺利地分成四类：三条边、两边一角、两角一边、三个角，但是两边一角和两角一边中，由于相互位置的不同学生不能更加细致地分类，不能进一步把两边一角分为两边及其它们的夹角、两边及其中一边的对角；不能把两角一边进一步分为两角及其夹边、两角及其中一角的对边。从课上的实施看，四种情况的分类基本做得比较好，进一步的分类有教者强加的影子，课后细想，进一步的分类，本课也可以不再进行，可以到下一课再细化。理由是：学习是一个循序渐进的过程，没有必要每一次的新知引进都要一步到位，况且本课要处理的问题还是挺多的，课堂教学要有所侧重。难点3的处理不较好，间接条件要推理到直接条件（如例1中由AD是中线，证得BD=CD），这在写两个三角形中的前面就要做好书写说明；直接条件直接写（如例1中AB=AC）；隐含条件要挖掘（如例1中，公共边AD=AD）。
从本课的教学情况看，学生的前置学习还需指导，学生对课本上探究2的操作比较粗糙，课堂上需要教者认真示范引领，传给学生的不只是尺规作图的方法，更是严谨认真的精神；课堂容量的把握要一有度，本课我安排了两个例题，一个开放型填空题和四个解答证明题，学生的思维训练是充分的，四个证明题也是有
学生上黑板板演的，多数同学是能够全部完成，但是不可否认，还是有同学没有来得及，作一个角等于以知角的教学还不很充分，全面提高学生的教学质量要真正得到保证。
12.2三角形全等的判定2 教学反思
学生有了“边边边公理”的探究经历，本课的探究活动就能很顺利地展开了，我的教学意图是：根据要求能唯一的作出一个三角形的，就能够作为判定三角形全等的条件。在今天三角形全等的判定方法2边角边公理的教学中，设计了两个作图题。1。已知：△ABC，求作：△A′B′C′，使∠A′＝∠A，A′B′＝AB，A′C′＝AC；2。已知：△ABC，求作：△A′B′C′，使∠B′＝∠B，A′B′＝AB，A′C′＝AC。结合三角形硬纸模型和活动三角形教具，学生能够很好地感受到“两边及其夹角”能唯一确定三角形，可以作为三角形全等的判定，“两边及其中一边的对角”不能唯一确定三角形，不可以作为三角形全等的判定。在今天备课组交流中，备课组老师有多种设计方法，课前预习，由学生根据条件，剪一个三角形给出相同条件的模型，课堂上将模型叠合比较，很容易进行了全等判定的探究体验，这个方法还是挺可行的，下一课学习“角边角”和“角角边”我将试一试。
学生在自己任意画出已知△ABC后，作△A′B′C′，使∠B′＝∠B，A′B′＝AB，A′C′＝AC，出现了几种情况，多数是作出了两个三角形的，也有能够唯一地作一个三角形的，还有同学根据自己给定的三角形，不能作出三角形的。这本来是课堂很好的生成，学生没有在课堂上引起讨论，课上教者当然也没有“惹事”，这就保证了预设内容的顺利完成，正好明天是双休日，下课前将这个很好的研究课题给了学生，看看他们的研究情况怎样，我期待着。
12.2三角形全等的判定3 教学反思
利用事先剪制的三角形模具叠合（课前布置了作业：剪制△ABC纸片，使∠A＝60°，∠B＝40°，AB＝5厘米。剪制△DEF纸片，使∠D＝60°，∠F＝40°，AB＝5厘米），很快就使我们的同学感受到“已知两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”。谢老师设计的前置学案很好，在进行了公理的探究后，安排的第二题（在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF。要求用角边角证明），通过证明可以使学生体会到：“角角边”是“角边角”的推论。
本课须通过一组训练，加强公理中“对应相等的认识”,加强\"角边角\"与\"角角边\"在应用上的区别。
在课堂训练时，学生对证明思路的分析需要学习，发挥学生主动学习、相互学习的作用，几个例题由学生在前面讲解，其效果不错。讨论例1也可以用“角角边”，适时比较，选择最优方法。留有较大的空间由学生板书训练，这堂课有三个同学在前面说明思路，有四个同学上黑板板演，训练还是充分的。反思教学过程，有一个班学生的上课习惯不及另一个班，在用分析法逆推分析过程时，第二个班的同学自觉地记下分析的树状分析过程。可见学生的学习习惯需要老师经常性地进行指导。
由于是周一第一课，有一个班的三个同学没有做好准备，要加强学习目的教
育。双休日之后学生迅速进入学习状态，要引起我们的重视。
12.2三角形全等的判定4 教学反思
在学习了三角形全等的四种判定方法后，我们安排了一课训练，目的是要求学生掌握三角形全等的四种判定，学会分析三角形全等条件的探究和证明思路的寻求，培养学生的发散思维的能力。
在学生自主复习整理四个判定方法后，我安排了证明全等的思路探究： 一、已知两组边相等，要找：一条边（依据是SSS）；或要找：一个角（一定是夹角，依据是SAS）。
二、已知一边一角（边角相邻），要找：一条边（一定是角的邻边，依据是SAS）；或一个角（依据是ASA或AAS）。
三、已知一边一角（边角相对），要找：一个角（依据是AAS，），不能找边。
四、已知两个角，要找一条边（依据是ASA或AAS），不能找角。
在讨论四种情形（两组边、边角相邻、边角相对和两个角）后，小组讨论应寻找的第三个怎样的条件，这是培养学生发散思维的很好的手段，虽然耗时（要用5到10分钟），但也值得。 A B C D F E
问题三和问题四是进行同样的训练，
问题三：如图，在 ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD=BE. (1)请你再添加一个条件，使得 BEA BDC,并给出证明。你添加的条件是 。 证明：
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： 。 A B C D E
问题四：数学课上，老师在黑板上画出右图，并写下了四个等式： （1）AB=DC,（2）BE=CE,（3） B= C,（4） BAE= CDE.
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AE=DE.请你试着完成老师提出的要求，并说明理由。（写出一种即可） 已知：
求证:AE=DE
在进行了充分研究后，问题三由四个同学上黑板板演证明过程，虽然教学起点比较低，但这样保证了全体同学都能学会，保证了整体水平的提高（这在其中一个班尤为重要）。
对证明题的分析方法的研究以及分析过程的书写也要教者做好示范，并要求学生学习，可以利用一个证明题进行分析研究。
杨老师在分析时，对证明三角形全等的直接条件、隐含条件（图上条件）和间接条件的归类研究、如何合理联想、解题经验总结等值得我们学习。
12.2三角形全等的判定5 教学反思
回想直角三角形的判定的条件——HL的教学，除了要掌握的知识内容和应用能力外，还要学生体会的是：在两个三角形中已知两边及其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等，在对应相等的角是直角时，这两个直角三角形是全等的，并且利用这组条件可以判定两个直角三角形全等．真正有了这样的感悟，HL公理的推理语言的书写格式就不犯错误了；真正有了这样的感悟，两边及其中一边的对角对应相等在什么情况下可以唯一地作出一个三角形，可以判定两个三角形全等的研究就有了一点点眉目了（前面还留有一个研究课题）．
因此，在设计和上这一课时，通过回忆三角形全等的判定方法SSS、SAS、ASA和AAS，不能有所谓的SSA、AAA，从作图探究的过程我们体会到已知两边及其中一边的对角和已知三个角，不能唯一地作出一个三角形．设计问题：已知△ABC，∠C＝90°，求作△A′B′C′，使∠C′＝∠C＝90°，A′B′＝AB，A′C′＝AC．作图分析，本来是出现符合条件的两个三角形，现在只有一个三角形了，从而引导学生提升认识，得到斜边直角边公理．再进一步比较研究，让学生体会，这是在两个三角形中已知两边及其中一边的对角对应相等，在对应相等的角是直角时，这两个三角形才是全等的！进而讨论书写字母语言时的格式要求．
另外，在本课教学时，还要求认识直角三角形全等的四个判定方法：HL、SAS、ASA、AAS，一无需用SSS、二不能一提到直角三角形就只联想HL．
为此，在完成了HL公理的探究后，及时总结直角三角形全等的判定方法，体会直角三角形中，有一个直角相等后，就无需三边对应相等了，一直角边一斜边可以（HL），两条直角边对应相等也可以（SAS）．安排了下面的小题目：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C′＝∠C＝90°，下列条件能够判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的个数有（ ）
1．A′C′＝AC ，∠A＝∠A′；2．AC＝A′C′， AB＝A′B′； 3．AC＝A′C′，BC＝B′C′；4．AB＝A′B′，∠A＝∠A′． A．1， B．2， C．3， D．4．
在思考回答问题时，说出每个能够判定全等的依据，强化学生直角三角形全等的各种判定方法（LH、SAS、ASA、AAS）．
12.2三角形全等的判定习题课 教学反思
昨天对三角形全等进行复习，教学目的是：使学生能灵活运用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”和“HL”来判定三角形全等；体会文字命题转化为数学符号语言的过程，掌握文字命题的证明。
对于本单元的知识内容，学生很容易掌握，但是，与单纯的知识内容相比，更重要的是利用这些知识内容解决问题。因此，本课的复习就是重在证明题的分析方法上。
这一课的导学案设计很合理，前置学习第一部分安排复习了定义、性质、判定方法；安排复习三角形全等的条件思路；安排复习找三角形全等的条件时经常见到的隐含条件；三个对应相等的条件不能使三角形全等的情况及其反例。前置学习第二部分的三个选择题，有效地复习了“对应相等”、“两边夹角”、“边边角”和“角角角”不能的注意点。又安排了两次全等的证明题，并由命题的证明归纳文字命题：“等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等”，为学习文字命题的证明作好了准备，也训练了学生语言表达能力。
在前置学习的基础上，我让学生上台叙述例题1的证明思路，并由两条题目的分析思路的探究体会怎样分析和总结证题时常有的合理联想，如“由垂直想互余，互余多了自有同角或等角的余角相等”、“由角平分线想折叠”等等。接着学习例2和练习学习文字命题的证明步骤：根据题意画图形，结合图形写“已知”和“求证”，认真分析得“证明”。
这一课复习安排的内容比较多，学生思维训练很充分，证明和分析方法体会得不少，学生动手写证明的全过程偏少，文字命题的训练占全课的比重较小。
直角三角形全等的判定（ＨＬ）教学反思
本节数学课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定（除了定义外，已经学了四种方法：SAS\\ASA\\AAS\\SSS）的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解。在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、总结、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力。新课程标准强调“从具体的情景或前提出发进行合情推理，从单纯的几何推理价值转向更全面的几何的教育价值”，为了体现这一理念，设计了几个不同的情景，让学生在不同的情景中探求新知，用直接感受去理解和把握空间关系。探索“HL公理”中，要求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想，强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的过程。数学教学应努力体现“从问题情景出发，建立模型、寻求结论、解决问题”，纵观整个教学，不足的方面：第一，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮，延误了学生学习的最佳时机；第二，在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；第三，在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验，丧失激起学生继续学习的很多机会。这些我在今后的教学中会争取改进。
12.3角平分线的性质1 教学反思
周五教学了角平分线的性质，课本上安排的知识要求比较多：有角平分线的尺规作图、过直线上的点作已知直线的垂线、角平分线的性质定理及其应用。有学生的前置学习，这几部分的内容在课上比较好的得到了实现，这是“协进课堂”优势的地方。但是，本课回想起来还是比较平淡，最强烈的感受：利用角平分线的性质定理可以优化我们的证题思路、角平分线性质定理的基本图形可以提醒学生证题思路的确定，学生没有真真切切的体验。这就使我们思考，如何在“协进课堂”模式下使学生对新知识的产生和新知识的应用有更为深刻的体验。
教学时，教者要善于把握和创设机会，对本课教学，例题1的教学就是一个实例，题目是：△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：EB＝FC。在第一个班教学时，分析题目，探求方法时学生比较顺利地使用了角平分线的性质定理，而在另一个班教学时，从学案的检查中我发现了王钰钰同学用了两个方法，而且还进行了比较，及时让她展示，并谈做这道题的体会，学生对新知识的应用意识得到了强化。在练习题中，有几个地方可以有方法优劣的比较体验。提升学习训练对补全角平分线性质定理基本图形，作出合理的辅助线，教者在教学这道题时，要引导学生总结，本课时间很紧，总结还略显仓促。
12.3角平分线的性质2 教学反思
角平分线的性质定理及其逆定理在几何的初学阶段重要内容，通过今天的学习，应该使学生感受利用这两个互逆定理的优越性。
为了凸现角平分线的优越性，弥补上一课中新知识应用比较的不足，在复习和讲评上一课作业时，用两种方法分析《课时作业本》第14页第10题，在Rt△ABC 和Rt△BAD中，∠C＝∠D＝90°，AD、BC分别平分∠CAB、∠DBA，求证：OC＝OD，学生感受还是比较深刻的；在探究了第二个性质后，安排训练题：OC是∠AOB内的射线，在OC上有点P、Q，作PD⊥OA，PE⊥OB，QF⊥OA，QG⊥OB，垂足分别是D、E、F、G，已知PD＝PE，求证：QF＝QG。
例题1的分析，进行一题多解的研究，充分训练学生的思维的广阔性，在例题1的分析上也出现连接AO，寻求证明△ABO≌△ACO，但是此路不通，也体会碰壁后再思考的经历；例题2解题后的总结归纳，也是语言总结训练的好材料，同时“三角形三个内角平分线交于一点”是学生应该掌握的内容，随后的拓展和训练是学数学用数学的好材料；学生对例题3的思考分析比较好，如果曹一凡同学想到的另一个证明方法没有在课上（只是下课时单独告诉我），那将是本课值得圈点的地方，反思其原因，可能教者有点压制学生的活动，以后，要更多地鼓励学生发表自己的见解，使他们充分感受成功的快乐。
本课的内容还是安排的比较多，学生动手演练的时间比较少，这是需要改进的方面。
三角形章节复习课要点总结
一、知识点复习：
1．全等形、全等三角形的定义。注意形状、大小相同； 2．全等变换。平移、翻折、旋转，加强识图训练；
3．三角形全等的判定方法。SSS、SAS、ASA、AAS和HL，注意“对应相等”； 4．判定三角形全等的思路。注意相互位置关系和两边对角、三个角的不可用；
二、解题训练：
1．判断选择训练。重在“位置关系”、“判定条件”和“实际运用”的识别； 2．证明题训练。重在分析方法，书写要求，证题经验总结；
3．文字命题训练。理解题意，画图表达，翻译转化和证明途径的探究。
知识内容以学生总结为主，教者给材料进行，由学生进行解题训练和训练后的评点。
问题征解
在学习了角平分线的性质定理后，有这样一个问题引起了我们的争论。 角平分线定理是：角平分线上的点到角的两边的距离相等。符号语言是：若 OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD⊥OB于E，则 PD＝PE。有了角平分线性质定理，已知“一平分两垂直”就可以得线段相等，省去了一次全等。
问题是：已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD⊥OB于E，求证：OD＝OE。
有两种证明方法，第一种证明方法是：利用“AAS”证得△OPD≌△OPE，从而得到OD＝OE；第二种方法是：先用角平分线的性质定理得到PD＝PE，再用“HL”证得△OPD≌△OPE，从而得到OD＝OE。
引起我们争议的是：
一种观点是：第二种方法不对，理由为，此方法循环论证，因为，PD＝PE是通过“AAS”证△OPD≌△OPE得到的，现在再用它证明△OPD≌△OPE，就出现了循环论证；
另一种观点是：第二种方法对，理由为，角平分线的性质定理是经过证明的定理，可以作为推理的依据，也可以用来作为证明△OPD≌△OPE的条件。
尊敬的数学爱好者和数学专家，提出您的见解。
13.1.1轴对称与轴对称图形 教学反思
轴对称的第一课时的教学任务是：轴对称和轴对称图形的有关概念，轴对称与轴对称图形两者的区别和联系，轴对称的性质，线段的垂直平分线的概念；认识简单的轴对称图形及其对称轴（直线），能找出两个图形关于某直线对称的对称点；学会用轴对称的思想认识现实世界，培养学生的数学意识。
由于本课的教学任务和内容的特点，我们用多媒体课件辅助教学，结合众多的图片欣赏对称带来的美感，再用实物演示研究轴对称和轴对称图形的意义及有关概念。
在体会已经认识一些几何图形（正方形、长方形、等腰梯形、等腰三角形和圆等）的对称轴时，我们对这个环节是这样设计的：利用事先准备的几何图形的纸片进行折叠，认识它们的对称轴。但是，在课堂实际教学时，由于学生很快说出了各个几何图形的对称轴，也就省去了折纸环节，虽然看起来达到了同样的效果，对比一下，还是有亲身体验，感受才会更深，学生才不会忘记。
本课教学时间比较充裕，在列举实际生活中的轴对称的例子时，可以由更多的同学说，更广泛地的思考，最后不要忽略提醒学生要善于用学到的数学知识认识世界、认识自然。
13.1.2线段垂直平分线的性质 教学反思
线段垂直平分线的性质定理和判定定理可以优化证明题目的方法，这是本课最为突出的地方，感触比较深刻的就是，学生得到了新知识新方法的那个喜悦劲儿，这主要得益于学生“预学案”的先行研究。
本课我们安排的教学流程是：画直线的垂直平分线，研究和证明线段的垂直平分线的性质；体会线段垂直平分线的性质的应用，学习例题1、2、3；提出问题：由PA＝PB，能说明1。点P一定在线段AB的垂直平分线上吗？2。经过P点的直线是线段AB的垂直平分线吗？过渡到线段垂直平分线的判定的研究；在证明猜想时，提出是不是过点P作线段AB的垂直平分线，学生的反应比较热烈，施尘月、张静怡同学提出了作PC⊥AB，垂足为C，设法证明AC＝BC；黄飞、季嘉伟同学提出取AB的中点C，连接PC，证明PC⊥AB，学生讨论证明，得到了线段垂直平分线的判定定理，并总结出证明时是“作垂直，证平分”或者“作平分，证垂直”，由此体会到“过一点不可能作直线保证既垂直又平分”，思考的第二个问题也就容易解释了，提出如果有两个这样的点P，根据 “两点确定一条直线”就能够作出已知线段的垂直平分线了，适时地引出了例4的研究；最后进行提升学习，在训练中又可以有新的知识内容的收获。
例4是已知AB＝AC，DB＝DC，求证：AD⊥BC。学生在预习时，绝大多数同学延长AD交BC于E，用两次全等证明，而且在得到∠AEB＝∠AEC后，没有交待∠AEB＋∠AEC＝180°，直接得到∠AEB＝90°，出现错误。现在只要分别证明点A、D在线段AB的垂直平分线上，便可以得到AD垂直平分线段AB了。有比较，有收获！
13.2.1作轴对称图形 教学反思
本课教学内容在课本的基础上作了一些调整，包括作线段的垂直平分线、作对称轴、作轴对称图形等内容。
最大的优点是：两个重要的题型能够比较地理解和掌握，已知直线 和直线的同侧有两点A、B，在直线上求一点P，使点P到点A、B的距离相等；已知直线 和直线的同侧有两点A、B，在直线上求一点P，使点P到点A、B的距离和最小相等。
最难处理的问题是第二个典型应用的引导，作法为：作点A关于交直线l的对称点A′，连接A′B，交直线l于点P，证明这个点使距离之和最小很好启发引导，但是为什么能够想到这样作图，是比较难处理的问题，我在设计这个问题时，要求学生把直线想象成镜子（平面镜），由点A经过平面镜看点B，光线经过的路线就是最短的路径，因此，使我们选择了这样的作图方法。更难的应用，已知∠XOY，和角内部的点A，在OX、OY上分别作点B、C，使△ABC的周长最小。引导学生思考时，还是可以把OX、OY看成两面镜子，学生理解起来能够更便利些。
做到老，学到老，细节问题都值得钻研。
关于“问题征解”的思考
前面我们对一个数学问题，提出了我们备课组的一个小小的争论，写在博克上，求得广泛的争论，以此希望唤起我们对数学的热爱，可能是我们太忙了无暇顾及我们曾经喜欢的数学，或者还没有看到这篇博克，或者是这个小问题简直不是值得争论的问题。使用百度，我们可以很方便地了解相关知识，解释这个问题。百度百科名片上说：
循环论证（又称为乞词魔术等），用来证明论题的论据本身的真实性要依靠论题来证明的逻辑错误。如证明“鸦片能催眠”，所用的论据是“它有催眠的力量”。而“鸦片有催眠的力量”，又要借助于“它能催眠”来证明。这就是犯了循环论证的错误。这是论证谬误的一种，当辩士为支持某项主张所提供的根据，其实是同一主张换汤不换药的重复时，就是犯了“循环论证”的谬误。换句话说，在循环论证中，论证的前提就是论证的结论，因此又称为“先定结论”。
举一个更通俗的例子：一个瘦子问胖子：“你为什么长的胖？” 胖子回答：“因为我吃的多。” 瘦子又问胖子：“你为什么吃的多？” 胖子回答：“因为我长的胖。” 胖子的回答真是令人啼笑皆非。他回答瘦子的第一个问题时，是以“吃的多”为理由的；而他回答瘦子的第二个问题时，又以“帐的胖”为理由。胖子的回答能够解决瘦子的问题吗？当然不能。胖子的这种论证，就叫做“循环论证”，是说明不了任何问题的。
在我们争论的问题中，第二种方法不能认为是犯了循环论证的错误，因为，PD＝PE是通过“AAS”证△OPD≌△OPE得到的，现在再用它证明△OPD≌△OPE，两次证明全等，只不过是换了不同的角度和方法，最为重要的是通过“HL”证得全等后得到的是OD＝OE，OD＝OE也不是第一种方法中用“AAS”证全等的条件，这就更谈不上有“循环论证”之嫌疑了，故两种方法都是可以的。
13.2.2用坐标表示轴对称 教学反思
在平面直角坐标系中关于X轴对称、关于Y轴对称的两点的坐标特征，这个知识内容在初一年级的时候就已学过，本课的学习看起来好像是重复，其实，深入研究，对学生的学习又有进一步的指导。
在上课时，我们更侧重引导学生利用刚学过的轴对称的性质去研究问题：由平面直角坐标系中的点，作坐标轴的垂线段，延长垂线段2倍，这样得到的对称点，其坐标特征可以更好地由学生理解。
正是利用轴对称的知识，对于关于直线x=m或直线y=n对称的点的坐标规律才可以探究，学生利用平面直角坐标系数形结合来研究的能力得到了培养，对于课本第46页第8题的教学需要重新设计和安排，对直线x=m或直线y=n的意义要更详细的解释。
利用坐标特征进行数学应用，是初一已经学过的，这里方程思想和数形结合思想必须继续训练，放手由学生进行自我训练、自我评价，感觉在学生评价上力度还需更加大些。
13.3.1等腰三角形的性质 教学反思
安排一课时学习等腰三角形的性质，内容很多，课堂容量很大，本课教学后，有很多方面需要总结。
在证明性质时，不再有同学直接用性质证明性质了，这是一个很大的进步，用三种方法研究性质的证明，要用到小组交流，比较发现有三种方法：取中点，
用“SSS”证明全等；作垂线，用“HL”证明全等；作角平分线，用“SAS”证明全等。通过这样的教学设计，一方面，体会了辅助线不同的作法，就有不同的证法；另一方面，为性质2“三线合一”的教学提供了方便。不足的是，课堂交流的面可以更宽些。
性质2的应用比较多，初学者往往不能灵活应用这条性质优化证题途径，因此要解读这条性质，由图形训练和规范符号语言，把性质一句话改写成三句话或者六句话，一句话是“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”，三句话是“1 等腰三角形的顶角平分线平分底边、垂直于底边，2 等腰三角形的底边上的中线平分顶角、垂直于底边，3 等腰三角形的底边上的高平分顶角、平分底边”，六句话是“1等腰三角形的顶角平分线平分底边，2 等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，3 等腰三角形的底边上的中线平分顶角，4 等腰三角形的底边上的中线垂直于底边，5 等腰三角形的底边上的高平分顶角， 6等腰三角形的底边上的高平分底边”，结合图形概括起来就是：在△ABC中，AB＝AC，下列论断①∠BAD＝∠CAD，②BD＝CD，③AD⊥BC中，有一条成立，另外两条就成立，分六句话，写出推理语言。这里设计了一组填空题，有利于性质2的应用。学生能够整齐地叙述，但还需进一步巩固。
性质在计算中的应用，涉及到方程思想和分类讨论思想，课堂上的训练不是太充分的，安排了两个同学在黑板上板演，提升学习的六道题没有讨论。要培养学生讨论和自觉纠错的学习习惯。
性质在证明中的应用，集体备课安排的两道题很好，先由学生独立思考，多数同学用全等证明，提出问题进行思考“结合新知识，可以不用全等证明吗”，课堂至此，到了思维的最高潮，两道题最优解法的得到是学生取得成功的最好感受，这是我觉得提升学习的一道题可以不要了，留有更多的时间进行课堂小结，本课的课堂小结还应当更充分些。
13.3.1等腰三角形的判定 教学反思
等腰三角形的判定与等腰三角形的性质两课的课堂结构基本类似，预想学生学习应更好一些，但是课堂教学实施之后，学生学习的情况不是很好的，需要分析和反思．
上一课指明了在探究时不能用性质证明性质，学生都能做到探究性质时我们设计的一道题的设计意图，但是这堂课的探究题有不少同学不能领会其意图错误地用判定证明判定，究其原因，学生的探究能力和几何的说理意识不够好，因此在教学时，也列举了三角形内角和的证明等问题说明定理证明的要求，即用已学过的知识进行推理．
全等的证明有混乱和遗忘的现象，还是判定的推理论证，已知：∠B＝∠C，求证：AB＝AC．学生交流得到：作AD平分∠BAC，用“AAS”证全等，得到AB＝AC，可以的；作AD⊥BC，用“AAS”证全等，得到AB＝AC，也是可以的，但是还是有同学取BC的中点D，连接AD来证明全等．当然教者引导同学及时争论，及时引导同学纠错，并布置了研究问题，要求学生进行深入的研究，做得还是成功的，但是，从这一点可以看出，学生对全等的证明方法有遗忘现象，对“边边角”不能证明全等没有清醒地认识，还需经常提醒．
本课的解题方法的优化，通过比较更好地得到鉴别、证题经验的总结和应用，通过观察归纳更好地得到感悟、文字命题的说理，通过训练更好地得到巩固、变化中规律的探究，通过题组更好地得到提升，做得还是有效的．
13.3.2等边三角形 教学反思
回顾等腰三角形的知识内容，从问题中激发学习新知识的欲望，引入新课。在复习回顾等腰三角形的知识时，有这样一题：等腰三角形是轴对称图形，对称轴有 条。引起学生的争论，提出了新课的学习任务，结合前置学习，完成新知识的学习。
在新课知识学习时，等边三角形的对称轴是什么和等腰三角形对称轴的条数这两个问题，通过对学生的不同见解或不成熟的看法的争论得到强化。
利用几何画板展示问题，能够更好地进行题目的变化，在图形的变化过程中感受研究方法的不变，几何量关系的不变；更好地揭示了图形中的旋转变化，训练学生的识图能力；更好地用动态的观念和方法认识题目，为今后研究动态型几何问题作一些准备。学生面对新的学习媒体，学习热情比较高涨，旋转进行的全等变换有较为深刻的感受，翻折进行的全等变换也做得比较好（体现在提升学习的最后一题）。
本课还有一个难点是学生对三个三角形连续全等的书写，利用优秀同学的示范，学生亲自书写训练，相互评价提高的作用还可以更好地发挥作用，同备课组有老师用的是两个三角形全等，另一组全等同理推出的方法处理这个问题，这种处理方法也是可以介绍给学生的。
充分利用证得的全等得到边相等、角相等进行后面的问题的研究也是学生必须强化的意识。
13.3.2含30°角的直角三角形 教学反思
含30°角的直角三角形性质定理是在实验探究的基础上得到的，课本上没有独立的证明过程，在“预习案”上要求学生理顺课本探究的证明过程，并且提出你还有什么证明方法．学生重视程度不够，因此，本课对定理的推导证明花了不少功夫，目的在于使学生重视新的知识的产生和发展，养成严谨认真的科学精神，同时也训练了学生的逻辑推理，这个时间花得还是值得的，在课上得到多种证明定理的方法．
定理的文字表述是：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．改写成符号命题是：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝AB．学生讨论后，2班徐缪丹青等同学回答得很好，“延长B
＝BC，连接AD”，证明思路比较顺畅地得到，但是在11班没C到点D，使CD
有能够很好地得到思路，回想分析，老师在2班引导比较好，我说：“我们利用三角形拼图实验得到了含30°角的直角三角形的性质，现在证明这个性质，我们就是想法构造等边三角形”，第二课我在11班引导提示为“要证明BC是AB的一半，如何通过截长补短进行转化”，学生的反响就不好，而在用多种方法研究证明时，第二种引导方法就比较适宜，通过独立思考和小组协作学习，郑睿杰、俞扣湘、张静怡等同学提出了不少方法．
方法1．在AB上截取点D使BD＝BC，连接CD；方法2．在△ABC的内部作∠BCD＝60°，交AB于点D；方法3．作∠ABC的平分线BD交AC于点D，作DE⊥AB垂足为E；方法4．作AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D，连接BD；方法5．作AC的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点D，连接CE．学生经过协作学习，总结出不少方法，提高了学习几何的兴趣．
在例3和例4的学习时，学生研究了解题思路，但是归纳解题经验的能力还是不够，由线段垂直平分线联想构造线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等基本图形，由已知30°角联想构造含30°角的直角三角形．由于倍长中线的解题经验没有见过，例5的学习就更为困难，分析时，着重以构造含30°角的直角三角形比较合适，最后再总结倍长中线的解题经验．课堂小结的时间比较紧，但通过本课的学习，学生初步体会到几何的魅力，课堂反映比较好，达到了预想的效果．
轴对称章节复习要点总结
知识复习重联系
本章知识内容是一个有机的整体，理顺知识的相互联系，有助于学生数学意识、数学精神的产生。在复习时，按照知识的产生发展理出下面的顺序，实际生活中轴对称的感受，轴对称与轴对称图形的区别和联系，轴对称的三条性质，性质的三方面应用（作对称轴、作轴对称图形、用坐标表示轴对称），线段的垂直平分线（三句话），与此相对偶的角平分线（三句话），等腰三角形（定义、性质和判定），等边三角形（定义、性质和判定）。注重轴对称在各知识点中的应用和指导作用，例如，已知：B、E、D、F、C再同一条直线上，且点D是BC的中点，AB=AC，AE=AF，图中全等三角形有哪几对。有轴对称的意识，△ABF≌△ACE这一对全等就不容易遗忘。
方法应用重优选
由于有线段中垂线的两条性质，角平分线的两条性质，等边对等角，等角对等边，三线合一等知识，在应用中可以优化全等三角形的证明思路，不断地进行比较学习，使学生对新知识的应用意识加强。例如，点E是∠AOB的平分线，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D。求证：（1）∠ECD＝∠EDC；（2）OE是CD的垂直平分线。多数学生用两次全等证明，徐叶琳同学在利用角平分线性质得到ED=EC后绕道全等得到∠ECD＝∠EDC，真是“过家门而不入”，徐叶琳同学对于性质“等边对等角”是很熟悉的，为什么没有及时想到呢，还是新知识的应用意识不强，一时没有想到。本题证题思路是：一平分两垂直得相等ED=EC，等边对等角得∠ECD＝∠EDC，等角的余角相等得∠OCD＝∠ODC，等角对等边得OD=OC，由到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，得到点O、E都在线段CD的垂直平分线上，从而证得OE是CD的垂直平分线。比较后的优化，学生印象很深，自己学习应用的意识也就加强了，方法归类，注重总结的习惯逐渐养成。
思想提升重实际
等腰三角形的应用问题中分类思想的应用很多，几何计算中方程思想的应用也很多，只有用具体的应用渗透数学思想方法，学生才能有效地掌握，在本章复习时，我安排了下面的题目，训练作图中分类思想的应用，已知△ABC，点M、N分别在AB、AC上，在边BC上求作一点P，使△MNP为等腰三角形。葛浩
然、樊夏辉等同学正确地作MN的中垂线交BC与点P，作出了符合题意的点P，周凯等同学利用分类思想的指导，又分别讨论了以M、N为顶角顶点作等腰三角形，出现了多种情形，在训练中习惯使用数学的思想方法。
语言归纳中锤炼
本章的内容中，文字语言表述的命题的证明占有一定的比例，等腰三角形三线合一的命题训练学生分六句话一一总结，学生的应用，证题的优化就能更加习惯，文字命题证明四个部分（画出图形、写出已知、求证、并进行证明）学生的训练不是太难的，但是由符号语言的命题总结为文字命题的概括能力不是很好的，本课训练了下面的题目，并由学生进行了命题的文字表述。在△ABC中，AD平分∠BAC，BD=CD，求证：△ABC是等腰三角形。瞿贝儿、马烨、陈浸伦等同学总结出：如果一个三角形的内角平分线平分对边，那么这个三角形是等边三角形。由原来总结的“如果一个三角形的顶角平分线平分底边，那么这个三角形是等腰三角形”，语言得到了锤炼。
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