高一数学必修一子集真子集例题汇总

1．真子集不包含已知集合它本身。

如集合｛1，2，3｝的子集有｛1｝｛2｝｛3｝｛1,2｝｛1,3｝｛2,3｝｛1,2,3｝；而真子集有｛1｝｛2｝｛3｝｛1,2｝｛1,3｝｛2,3｝。不要忽略了空集哦~~

2．通俗地说，对于集合A和集合B，若A中的每个元素都是B中的元素，那么A就是B的子集；若在满足上面的条件下，能够找到至少一个元素，这个元素属于B但不属于A，则A就是B的真子集。

3．已知集合M={x|x=m+1/6,m属于Z},N={x|x+n/2-1/3,n属于Z},P={x|x=p/2+1/6,P属于Z},则M,N,P满足关系?

有4个选项:A.M=N真包含P B.M真包含N=P C.M真包含N真包含P D.N真包含P真包含M 请告诉我这个题的意思和解法,我不是只要答案,我想知道怎样做的 这题很简单，用通分即可。。

集合M中X=（6M+1）/6

N中X=（3N-2）/6

P中X=（3P+1）/6

N与P中的分子都是一个除以3余1的数，所以N=P

而M中X可以表示成x=[3*(2M)+1]/6

所以M中的元素都在N、P中，而且N、P的元素数量范围要比M中的大，所以M真包含于N（你的题目应该打少了个“于”字吧）

所以答案是（B） 4．

如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。

举例 所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集。 所有自然数的集合是所有整数的集合的真子集。 {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

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真子集和子集的区别

子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等 真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等 编辑本段真子集和子集举例

子集比真子集范围大，子集里可以有全集本身，真子集里没有，还有，要注意非空真子集与真子集的区别，前者不包括空集，后者可以有。 比如全集I为{1，2，3}，

它的子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}、再加个空集； 而真子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、再加个空集，不包括全集I本身。

非空真子集为{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}，不包括全集I及空集。 设全集I的个数为n，它的子集个数为2的n次方，真子集的个数为2的n次方-1，非空真子集的个数为2的n次方-2。

5．集合A中任何一个元素属于集合B，且集合B中有元素不属于集合A，那么A就是B的真子集

比如 集合A=｛1，2｝ 集合B=｛1，2，3｝ 集合A中任何一个元素1，2都属于集合B，但集合B中的元素3不属于集合A，这样A就叫做B的真子集 再如C=｛a,b,c｝D=｛a,b,c,d,e｝C是D的真子集

6．集合、子集、交集、并集、补集

一. 选择题：

1. 满足1，1M2，1，0，1，2的集合M的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 设I为全集，AB，则AB（ ）



A.AC.IB.BD.

3. Mx|x3k2，kZ，Nx|x(3k1)，kZ，则集合M、N的关系是（ ）

A.MN

C.MNB.MN

D.MN 4. 已知My|yx21，xR，Ny|yx1，xR，则MN等于（ ）



A.(0，1)，(1，2)C.1，2B.0，1D.[1，)

5. 已知集合Ax|3x5，Bx|a1x4a1，且ABB，

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B，则实数a的取值范围是（ ）

A.a1

C.a0 6. 下列各式中正确的是（ ）

B.0a1

D.4a1A.0C.0B.0D.0

7. 设全集I1，2，3，4，5，6，7，集合A1，3，5，7，B3，5，则（ ）



A.IABC.IABB.IABD.IAB

8. 已知全集Ix|x10，xN，A1，3，5，B2，3，7，9，那么集合

4，6，8，10是（ ）

A.ABC.ABB.ABD.AB

二. 填空题：

1. 用列举法表示｛不大于8的非负整数｝__________________________。 2. 用描述法表示{1，3，5，7，9，…}________________________。 3. (x，y)|xy0表示位于第___________象限的点的集合。

4. 若Ax|x12，xN，Bx|x6，xN，IN，则AB_______。 5. 设I2，4，1a，A2，a2a2，若A1，则a=__________。

6. 集合MN1，1，就M、N两集合的元素组成情况来说，M、N的两集合组成情况最多有不同的__________________种。

三. 解答题：

1. 已知A(x，y)|y3x2，B(x，y)|yx2，求AB。

2. 已知集合Aa，ad，a2d，Ba，aq，aq2，其中a，d，qR，若A=B，求q的值。

3. 已知集合Ax|x2(p2)x10，xR，且AR，求实数p的取值范围。



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【试题答案】

一.

1. B 2. C 3. A 4. D 5. B 6. D 7. C 8. D 二.

1. {0，1，2，3，4，5，6，7，8} 2. ｛正奇数｝ 3. 二、四

4. x|x7或x11且xN 5. 2 6. 9 三.

y3x2 1. 解：AB(x，y) 2yx

(1，1)，(2，4)

aaaa2(2) 2. 解：adaq(1)或adaqa2daq2a2daq 解(1)得：q=1，这样集合B中元素重复，不合题意。

1或q1(舍) 21 q

2 解(2)得：q 3. 解：(1)当0时，AR，符合条件 由(p2)40解得－4p0 (2)当0时，p0或4

2当p0时，解得x1，满足AR 当p4时，解得x1，不满足AR

p0 (3)当0时，要AR则

0 x1x20xx012解得p0

综上所述，p4。

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7。．子集、全集、补集应试能力测试

一、选择题

1．下列各式中正确的是( ) A．0＝ C．{0}＝

B．{0} D．0∈

2．若x、y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B{(x，y)|A．AB C．A＝B

y1}，则A、B关系为( ) xB．AB D．AB

3．已知集合M{x|xm，mZ}，N{x|x则M、N、P满足关系( )

A．MNP

16p1n1，nZ}，P{x|x，pZ}，2326B．MNP

C．MNP D．NPM

3} 3， 5， 7， 9}的集合A的个数是( ) 4．满足{1，A{1，A．3

C．7

B．6 D．8

5．已知全集U(U≠)和子集M、N、P，且MCUN，NCUP，则M与P的关系是( ) A．MCUP C．MP

二、填空题

1．已知集合A＝{x|－13．设U＝R，A＝{x||x|>1}，B{x|xB．M＝P D．MP

10}，则CUA_________，CUB_________． 2----完整版学习资料分享----

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5， 7}，CUA{2}，则U＝__________________________． 4．如果A{3，5．已知集合A＝{x∈R|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x∈R|x＝4n±1，n∈Z}，则A、B关系是

____________________．

三、解答题

设集合A{x|x24x0，xR}，B{x|x22(a1)xa210，aR，xR}，若BA，求实数a的取值范围．

参考答案

一、 1．B 2．B

提示：A＝{直线y＝x上所有点}，B＝{直线y＝x上除(0，0)外的点} 3．B

提示：因M{x|x111(6m1)，mZ}，N{x|x(3n2)[3(n1)1]，nZ}，6661P{x|x(3p1)，pZ}

64．C 5．B

提示：注意PCU(CUP)CUNM 二、

1．a≥3，借助数轴

2．注意到a＋(6－a)＝6，因而考虑1与5，2与4，3与3

集合S可能是：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，5，3}，{2，4，3}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}．共7个

3．CUA{x|1x1}，CUB{x|x}

12 3， 5， 7} 4．U{2，5．A＝B 因为2n1三、

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(当n2k)4k1

(当n2k1)4k1 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

解：∵A＝{0，－4}，BA，于是有以下几种情况 (1)当A＝B时，此时B＝{0，－4}

∴0，－4是方程x22(a1)xa210的根

2(a1)4∴2

a10解得a＝1

(2)当BA时，又可分为

①B≠时，即B＝{0}或B＝{－4} ∴⊿4(a1)24(a21)0， ∴a＝－1，B＝{0}满足条件

②B≠时，即⊿4(a1)24(a21)0，

∴a<－1

综合(1)、(2)，可知实数a的取值范围是a≤―1或a＝1．

8．．【学习目标】

1．了解全集的意义和它的记法．

2．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及子集的补集． 3．会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．

【学习障碍】

1．对于全集的理解模糊不清． 2．对于补集的理解不到位．

3．数形结合是一种常用方法，但部分同学只注意逻辑思维，忽视了数与形的结合，走了弯路并常出错．

【学习策略】 Ⅰ．学习导引

1．预习课本P9～10．

2．本课时的重点是补集的概念，难点是概念的应用． 关于补集与全集的概念．

①补集：设S是一个集合，A是S的一个子集，即AS，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)．记作 图示法表示如图1—2：

S

A＝｛x｜x∈S且xA｝

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②全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可看作一个全集．全集通常用U表示．

Ⅱ．知识拓宽

与补集相关的概念是差集．什么是差集呢？集合A与集合B之差或集合A减集合B记作A/B；即：A/B＝｛x｜x∈A且xB｝．要注意该式等号右边与补集定义中的式子类似，但意义不同，在是A的子集；在A/B中，B可以不是A的子集，当B是A的子集时的时候有

A

A

B中，要求B

B＝A/B．

Ⅲ．障碍分析

1．如何理解全集的概念？

全集具有相对性，并不惟一．我们在自然数范围内讨论问题时，可以把N看作U，在实数范围内讨论问题，可以把实数集R看作全集U．

2．对补集的理解应注意什么?

(1)紧紧抓住补集的概念，不能死记硬背，而应深刻理解

U

AU，且AU．

(2)补集是相对于全集而言的，同一集合在不同的全集中，补集不同，如A＝｛1，2，3｝，若U＝｛1，2，3，4，5｝，则

U

A＝｛4，5｝；若U＝｛1，2，3，4，5，6｝，则

U

A＝｛4，5，6｝．

(3)对于补集有以下结论： ①若AB，则②若A＝B，则③若④

U

U

U

B

U

U

A，

U

A＝B，

A＝

U

B，则A＝B，

U

U＝，＝U，U(UA)＝A．

2

U

［例1］设全集U＝｛2，3，a＋2a－3｝，A＝｛｜2a－1｜，2｝，且思路：解本题的关键是理解题意，

2

U

A＝｛5｝，求实数a的值．

A＝｛5｝，说明了5∈U，但5A，所以

a＋2a－3＝5，｜2a－1｜≠5且｜2a－1｜∈U． 解：∵

2

U

A＝｛5｝，∴5∈U且5A．

∴a＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4． 当a＝2时，｜2a－1｜＝3≠5，

a＝－4时，｜2a－1｜＝9≠5但9U

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∴a＝－4(舍去) ∴a＝2．

误区点评：在解本题时求出a＝2或－4时，忘记检验，忽略了隐含条件AU，即

｜2a－1｜∈U，误把a＝－4当作本题的答案．

3．如何利用文氏图来表示补集？

文氏图法或数轴法也是研究补集关系的常用方法．但一般来说都比较直观、简捷，要注意数形结合思想的应用．

［例2］设全集为U，A、B为其子集，且AB，则

A．B．C．D．

U

A A A A

UU

U

B

U

B

U

U

B

U

B

U

解：画出如图1—3所示文氏图，由图可知

A

U

B．

答案：C

点评：文氏图是研究集合关系的常用方法，也是数形结合思想的重要应用． Ⅳ．思维拓展

［例3］已知全集S＝{1，3，x＋3x＋2x}，A＝{1，|2x－1|}，如果否存在？若存在，求出x；若不存在，请说明理由．

思路：由

U

3

2

S

A＝{0}，则这样的实数x是

A＝｛0｝，知0∈S，但0A.由0∈S，可求出x，然后结合0A，来验证其是否符合题目

的隐含条件AS，从而确定最后的x是否存在．

解：∵

S

A＝｛0｝，∴0∈S且0A，于是有x＋3x＋2x＝0，x(x＋1)(x＋2)＝0，即x1＝0，x2＝－1，

3

2

x3＝－2．当x＝0时，｜2x－1｜＝1不合题意；

当x＝－1时，｜2x－1｜＝3，3∈S； 当x＝－2时，｜2x－1｜＝5，但5S． 因此，实数x的值存在，x＝－1．

点评：①解此类问题的关键是理解补集的概念及

S

A＝｛x｜x∈S且xA｝的含义．

②求出的x要注意检验． Ⅴ．探究学习

对于非空集合M和N，把所有属于M但不属于N的元素组成的集合称为M和N的差集，记作M－N，

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那么M－(M－N)等于

A．N B．M C．M∩N D．M∪N 答案：C

【同步达纲练习】 一、选择题

1．全集U＝｛a，b，c，d，e｝，A＝｛a，b｝，BA．5 B．6 C．7 D．8

U

A，则集合B的个数是

2．设A＝｛x｜A．｛x｜

1＞0｝，S＝R，则SA等于 x1＜0｝ xB．｛x｜x＜0｝ C．｛x｜x≤0｝ D．｛x｜x≥0｝

3．设S＝Z，A＝｛x｜x＝2k，k∈Z｝，B＝｛x｜x＝2k＋1，k∈Z｝，则下列关系式中错误的是 A．B．C．D．

S

A＝B B＝A (

S

S

S

A)＝B

S

＝Z

U

4．已知全集U，集合M，N是U的非空子集，若A．MB．MC．

U

U

MN，则必有

N N

U

U

M＝N

D．M＝N 二、填空题

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5．已知全集I＝｛2，0，3－a｝，子集P＝｛2，a－a－2｝，

22

I

P＝｛－1｝，则a的值为_________．

S

6．设S＝｛x｜x是至少有一组对边平行的四边形｝，A＝｛x｜x是平行四边形｝，则7．设A、B、C都是R的子集，若A＝三、解答题

8．设U＝｛2，3，a＋2a－3｝，A＝｛b，2｝，

2

2

U

R

A＝_________．

B，B＝

R

C，则A与C的关系是_________．

A＝｛5｝，求实数a和b的值．

P

9．设全集P＝｛1，2，3，4｝，A＝｛x｜x－5x＋p＝0｝， A＝｛x｜x－qx＋6＝0｝，求实数p、q的值．

2

参考答案

【同步达纲练习】

一、1．C 提示：

U

A＝｛c，d，e｝，∵B

3

U

A＝｛c，d，e｝

∴｛c，d，e｝的真子集有2－1＝7个． 2．C 提示：因A＝｛x｜3．C 提示：

A＝B，

1＞0｝＝｛x｜x＞0｝，∴SA＝｛x｜x≤0｝ xSS

B＝A．

4．A 提示：该题可由文氏图来解．

22

二、5．－2 提示：由题意得a－a－2＝0，3－a＝－1，∴a＝－2．

6．｛x｜x是梯形｝ 提示：至少有一边平行包含“只有一组对边平行”和“两组对边都平行”，∴是只有一组对边平行即梯形．

7．A＝C 提示：由文氏图可以得出．

S

A

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三、8．解：∵

2

U

A＝｛5｝

∴a＋2a－3＝5，∴a＝2或a＝－4． 又∵AU，5A

9．解：∵x－5x＋p＝0，∴x1＋x2＝5

2

又∵x－qx＋6＝0，x3x4＝6 ∴2、3∈

P2

A，1，4∈A．

∴p＝4，q＝5．

10．子集、全集、补集·典型例题

能力素质

例1 判定以下关系是否正确 (1){a}{a}

(2){1，2，3}＝{3，2，1}

{0} (3)≠(4)0∈{0}

(5)∈{0}(6)＝{0}

分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正确的，后两个都是错误的． 说明：含元素0的集合非空．

例2 列举集合{1，2，3}的所有子集．

分析 子集中分别含1，2，3三个元素中的0个，1个，2个或者3个．

解 含有0个元素的子集有：；

含有1个元素的子集有{1}，{2}，{3}；

含有2个元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}； 含有3个元素的子集有{1，2，3}．共有子集8个．

说明：对于集合A，我们把和A叫做它的平凡子集．

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例3 已知{a，b}A≠{a，b，c，d}，则满足条件集合A的个数为

________．

分析 A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}真子集，所以满足条件的A有：{a，b}，{a，b，c}{a，b，d}．

答 共3个．

说明：必须考虑A中元素受到的所有约束．

U，且NM，则

例4 设U为全集，集合M、N≠[ ]

分析 作出4图形． 答 选C．

说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便．

点击思维

例5 设集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系式中正确的是

[ ]

A．A＝B C．A≠B B．ABBD．A≠

分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上

x＝5－4a＋a2＝(2－a)2＋1≥1，

y＝4b2＋4b＋2＝(2b＋1)2＋1≥1，所以它们的值域是相同的，因此A＝B． 答 选A．

说明：要注意集合中谁是元素．

M与P的关系是

[ ]

A．M＝

UP

B．M＝P

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C．M≠P D．MP

分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M＝

UN＝

U(

UP)＝P；三是利用画图的方法．

答 选B．

说明：一题多解可以锻炼发散思维． 例7 下列命题中正确的是

[ ]

A．

U(

UA)＝{A}

B．若A∩B＝B，则ABC．若A＝{1，，{2}}，则{2}≠A

D．若A＝{1，2，3}，B＝{x|xA}，则A∈B

分析 D选择项中A∈B似乎不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支．

∵D选择支中，B中的元素，xA，即x是集合A的子集，而A的子

集有，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，而B

是由这所有子集组成的集合，集合A是其中的一个元素． ∴A∈B． 答 选D．

说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意．

例8 已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集；若各元素都减2后，则变为B的一个子集，求集合C．

分析 逆向操作：A中元素减2得0，2，4，6，7，则C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10，则C中元素必在其中；所以C中元素只能是4或7．

答 C＝{4}或{7}或{4，7}．

说明：逆向思维能力在解题中起重要作用．

学科渗透

例9 设S＝{1，2，3，4}，且M＝{x∈S|x2－5x＋p＝0}，若分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于

4}，则SM＝{1，

p＝________．

SM＝{1，4}，

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S， 且M≠∴M＝{2，3}则由韦达定理可解． 答 p＝2×3＝6．

说明：集合问题常常与方程问题相结合．

例10 已知集合S＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|a＋1|，2}，

SA＝{a＋3}，求

a的值．

S这个集合是集合A与集合

SA

的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问

题，需要注意元素的互异性及分类讨论思想方法的应用．

解 由补集概念及集合中元素互异性知a应满足

a＋3＝3 2|a＋1|＝a＋2a－3 (1)2a＋2a－3≠2 a2＋2a－3≠3 a＋3＝a2＋2a－3 |a＋1|＝3 或(2)2a＋2a－3≠2 a2＋2a－3≠3 ①②③④① ②③④

在(1)中，由①得a＝0依次代入②③④检验，不合②，故舍去．

在(2)中，由①得a＝－3，a＝2，分别代入②③④检验，a＝－3不合②，故舍去，a＝2能满足②③④．故a＝2符合题意．

说明：分类要做到不重不漏．

高考巡礼

例11 (1993年北京高考题)集合M＝{x|x＝kππ＋，k∈Z}则 42kππ＋，k∈Z}，N＝{ 24x|x＝[ ]

A．M＝N

NB．M≠C．M≠N

D．M与N没有相同元素

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分析 分别令k＝…，－1，0，1，2，3，…得

ππ3π5π7π，，，，，…}，44444ππ3π5π N＝{…，，，，π，，…}4244易见，MN．M＝{…，－≠答 选C．

说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性

三、运用子集的性质

例3：设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B= {x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}，若BA， 求实数a的取值范围．

分析：首先要弄清集合A中含有哪些元素， 在由BA，可知，集合B按元素的

多少分类讨论即可． 【解】

A={x|x2+4x =0，x∈R}={0，-4} ∵ BA

∴ B=或{0}，{-4}，{0，-4}

①当B=时，⊿=[2(a+1)]2-4•(a2-1)<0 ∴ a< -1

02(a1)②当B={0}时， 20a1 ∴ a=-1

442(a1)③当B={-4}时， 216a1 ∴ a=

402(a1)④当B={0，-4}时， 20a1 ∴ a=1

∴ a的取值范围为：a<-1，或a=-1，或a=1． 点评:

B=易被忽视，要提防这一点． 四、补集的求法

2x10例4：①方程组的解集为A，

3x60U=R，试求A及CuA．

②设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，

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B是CRA的真子集，求实数a的取值范围．

【解】

1x2}， 21 CuA={x|x≤或x>2}

2① A={x| ② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ， CRA={x|x≤1}

∵ B是CRA的真子集 如图所示：

-a1x∴ -a ≤ 1即a≥-1

点评:

求集合的补集时通常借助于数轴，比较形象，直观．

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