《结构力学》课后习题答案__重庆大学出版社

第2章 平面体系的几何组成分析习题解答

习题2.1 是非判断题

(1) 若平面体系的实际自由度为零，则该体系一定为几何不变体系。( )

(2) 若平面体系的计算自由度W=0，则该体系一定为无多余约束的几何不变体系。( ) (3) 若平面体系的计算自由度W＜0，则该体系为有多余约束的几何不变体系。( ) (4) 由三个铰两两相连的三刚片组成几何不变体系且无多余约束。( )

(5) 习题2.1(5) 图所示体系去掉二元体CEF后，剩余部分为简支刚架，所以原体系为无多余约束的几何不变体系。( )

AC

EBDF 习题 2.1(5)图

(6) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体ABC后，成为习题2.1(6) (b)图，故原体系是几何可变体系。( )

(7) 习题2.1(6)(a)图所示体系去掉二元体EDF后，成为习题2.1(6) (c)图，故原体系是几何可变体系。( )

BEDA(a)FC(b)(c)

习题 2.1(6)图

【解】（1）正确。

（2）错误。W0是使体系成为几何不变的必要条件而非充分条件。

（3）错误。

（4）错误。只有当三个铰不共线时，该题的结论才是正确的。 （5）错误。CEF不是二元体。 （6）错误。ABC不是二元体。 （7）错误。EDF不是二元体。 习题2.2 填空

(1) 习题2.2(1)图所示体系为_________体系。

习题2.2(1)图

(2) 习题2.2(2)图所示体系为__________体系。

习题 2-2(2)图

(3) 习题2.2(3)图所示4个体系的多余约束数目分别为_______、________、__________、__________。

习题 2.2(3)图

(4) 习题2.2(4)图所示体系的多余约束个数为___________。

习题 2.2(4)图

(5) 习题2.2(5)图所示体系的多余约束个数为___________。

习题 2.2(5)图

(6) 习题2.2(6)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。

习题 2.2(6)图

(7) 习题2.2(7)图所示体系为_________体系，有_________个多余约束。

习题 2.2(7)图

【解】（1）几何不变且无多余约束。左右两边L形杆及地面分别作为三个刚片。

（2）几何常变。中间三铰刚架与地面构成一个刚片，其与左边倒L形刚片之间只有两根链杆相联，缺少一个约束。

（3）0、1、2、3。最后一个封闭的圆环（或框）内部有3个多余约束。 （4）4。上层可看作二元体去掉，下层多余两个铰。

（5）3。下层（包括地面）几何不变，为一个刚片；与上层刚片之间用三个铰相联，多余3个约束。

（6）内部几何不变、0。将左上角水平杆、右上角铰接三角形和下部铰接三角形分别作为刚片，根据三刚片规则分析。

（7）内部几何不变、3。外围封闭的正方形框为有3个多余约束的刚片；内部铰接四边形可选一对平行的对边看作两个刚片；根据三刚片规则即可分析。 习题2.3 对习题2.3图所示各体系进行几何组成分析。

(a)(b)

(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)(j)(k)(l)

习题2.3图

【解】（1）如习题解2.3(a)图所示，刚片AB与刚片I由铰A和支杆①相联组成几何不

变的部分；再与刚片BC由铰B和支杆②相联，故原体系几何不变且无多余约束。

A1ⅠBC2 习题解2.3(a)图

（2）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰A、B、（Ⅰ，Ⅲ）两两相联，组成几何不变的部分，如习题解2.3(b)图所示。在此部分上添加二元体C-D-E，故原体系几何不变且无多余约束。

AⅡBⅢ( , )ⅠⅢ∞CDEⅠ 习题解2.3(b)图

（3）如习题解2.3(c)图所示，将左、右两端的折形刚片看成两根链杆，则刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰（Ⅰ，Ⅱ）、（Ⅱ，Ⅲ）、（Ⅰ，Ⅲ）两两相联，故体系几何不变且无多余约束。

( , )ⅠⅢ( , )ⅡⅢ( , )ⅠⅡⅠⅡⅢ 习题解2.3(c)图

（4）如习题解2.3(d)图所示，刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线的三铰两两相联，形成大刚片；

该大刚片与地基之间由4根支杆相连，有一个多余约束。故原体系为有一个多余约束的几何不变体系。

( , )ⅠⅡⅠ( , )ⅠⅢⅢⅡ( , )ⅡⅢ123

习题解2.3(d)图

（5）如习题解2.3(e)图所示，刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ组成几何不变且无多余约束的体系，为

一个大刚片；该大刚片与地基之间由平行的三根杆①、②、③相联，故原体系几何瞬变。

Ⅰ( , )ⅠⅡⅡ3( , )ⅡⅢ( , )ⅠⅢ12Ⅲ 习题解2.3(e)图

（6）如习题解2.3(f)图所示，由三刚片规则可知，刚片Ⅰ、Ⅱ及地基组成几何不变且

无多余约束的体系，设为扩大的地基。刚片ABC与扩大的地基由杆①和铰C相联；刚片CD与扩大的地基由杆②和铰C相联。故原体系几何不变且无多余约束。

AC1ⅡⅠBD2 习题解2.3(f)图

（7）如习题解2.3(g)图所示，上部体系与地面之间只有3根支杆相联，可以仅分析上部体系。去掉二元体1，刚片Ⅰ、Ⅱ由铰A和不过铰A的链杆①相联，故原体系几何不变且无多余约束。

11ⅠAⅡ 习题解2.3(g)图

（8）只分析上部体系，如习题解2.3(h)图所示。去掉二元体1、2，刚片Ⅰ、Ⅱ由4根链杆①、②、③和④相联，多余一约束。故原体系几何不变且有一个多余约束。

12132Ⅰ4Ⅱ 习题解2.3(h)图

（9）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由不共线三铰A、B、C组成无多余约束的几何不变部分，该部分再与地基由共点三支杆①、②、③相联，故原体系为几何瞬变体系，如习题解2.3(i)图所示。

OB1ⅠCⅢ2Ⅱ3A 习题解2.3(i)图

（10）刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由共线三铰两两相连，故体系几何瞬变，如习题解2-3(j)图所示。

( , )ⅠⅢⅠⅡ( , )ⅠⅡ∞( , )ⅡⅢ习题解2.3(j)图

Ⅲ

（11）该铰接体系中，结点数j=8，链杆（含支杆）数b=15 ，则计算自由度

W2jb281510

故体系几何常变。

（12）本题中，可将地基视作一根连接刚片Ⅰ和Ⅱ的链杆。刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ由共线的三个铰两两相联，如习题解2.3(l)图所示。故原体系几何瞬变。

( , )ⅡⅢⅢ( , )ⅠⅢⅠⅡ( , )∞ⅠⅡ

习题解2.3(l)图

第3章 静定结构的内力分析习题解答

习题3.1 是非判断题

(1) 在使用内力图特征绘制某受弯杆段的弯矩图时，必须先求出该杆段两端的端弯矩。（ ）

(2) 区段叠加法仅适用于弯矩图的绘制，不适用于剪力图的绘制。（ ） (3) 多跨静定梁在附属部分受竖向荷载作用时，必会引起基本部分的内力。（ ） (4) 习题3.1(4)图所示多跨静定梁中，CDE和EF部分均为附属部分。（ ）

ABCDEF 习题3.1(4)图

(5) 三铰拱的水平推力不仅与三个铰的位置有关，还与拱轴线的形状有关。（ ） (6) 所谓合理拱轴线，是指在任意荷载作用下都能使拱处于无弯矩状态的轴线。 （ ） (7) 改变荷载值的大小，三铰拱的合理拱轴线形状也将发生改变。 （ ） (8) 利用结点法求解桁架结构时，可从任意结点开始。 （ ）

【解】（1）正确；

（2）错误； （3）正确；

（4）正确；EF为第二层次附属部分，CDE为第一层次附属部分；

0（5）错误。从公式FHMC/f可知，三铰拱的水平推力与拱轴线的形状无关；

（6）错误。荷载发生改变时，合理拱轴线将发生变化； （7）错误。合理拱轴线与荷载大小无关；

（8）错误。一般从仅包含两个未知轴力的结点开始。

习题3.2 填空

(1)习题3.2(1)图所示受荷的多跨静定梁，其定向联系C所传递的弯矩MC的大小为______；截面B的弯矩大小为______，____侧受拉。

FPABClllllFPFPDFPE

习题3.2(1)图

(2) 习题3.2(2)图所示风载作用下的悬臂刚架，其梁端弯矩MAB=______kN·m，____侧受拉；左柱B截面弯矩MB=______kN·m，____侧受拉。

C4kN/mB6kN/mDA6m习题3.2(2)图

4m4m

(3) 习题3.2(3)图所示三铰拱的水平推力FH等于 。

FPaa习题3.2(3)图

a

(4) 习题3.2(4)图所示桁架中有 根零杆。

FPFP

习题3.2(4)图

【解】（1）MC = 0；MC = FPl，上侧受拉。CDE部分在该荷载作用下自平衡；

（2）MAB=288kN·m，左侧受拉；MB=32kN·m，右侧受拉； （3）FP/2；

（4）11（仅竖向杆件中有轴力，其余均为零杆）。

习题3.3 作习题3.3图所示单跨静定梁的M图和FQ图。

AC2m4m20kN/mD2mBAaFPaCaFPaFP2B

FPBEa(a) (b)

qAFPFPDaaAlBl/2CaC

(c) (d)

qAaBaqaqa2C5kN/mC2mA20kN·mD2m2mB10kN·mE2m

(e) (f)

习题3.3图

解】

ACDB4080404080 M图 （单位：kN·m） FPaABFPaFPa22 M图 ql28ACB3qlql28ql8 M图 FPaACFPaFPaDBE2FP37FP3 M图 1.5qa2qa28CABqa2 M图 A40CBD40

FQ图（单位：kN）

(a)

5FP4FPA4B5FPFP

44 FQ图

(b)

3qlqlA82CB5ql

8

FQ图

(c)

2FP3FPACDFBEP34FP

3

FQ图

(d)

2qaqa

ABC FQ图

(e)

【

101010AAD10B10

10DB0 M图 （单位：kN·m） FQ图（单位：kN）

(f)

习题3.4 作习题3.4图所示单跨静定梁的内力图。

4kN8kN/mA2mD2mB2mC6kNE2mA2kN/mC4m2m8kND2m2kN/mB2mF

(a) (b)

4kN/mE2mA2m6kN12kN·mC3mD2mB8kN5kN·mD2m10kN·mA2mC2m5kN·mB2mE10kN·m

习题3.4图

(c) (d)

【解】

1616A8D4B1636C16A4DB20C

(a)

M图 （单位：kN·m） FQ图（单位：kN）

1294CA815kN811kNDB4A1C1D4B7 (b)

6 M图 （单位：kN·m） FQ图（单位：kN）

82A167.212126

8CDBAC8DB6 M图 （单位：kN·m） FQ图（单位：kN）

(c)

4558CACB510 B4A44

M图 （单位：kN·m） FQ图（单位：kN）

(d)

习题3.5 作习题3.5图所示斜梁的内力图。

5kN/mBCA4m2m3m

习题3.5图

【解】

B20A102.5C3B415CCB512A15A15 9

M图 （单位：kN·m） FQ图（单位：kN） FN图（单位：kN）

习题3.6 作习题3.6图所示多跨梁的内力图。

6kND2m2kN/mA3mE3m(a)

B3mC

2kN/m6kNDA2m3mE30kNB3m(b)

F3m4mC

5kNAB2m3m.9kN mC2m(c)

2kN/m3kNF2m

D3mEA30kN·mCB3m2m2m40kN·mD30kN·mEF12kN·m2m(d) 习题3.6图

2m3m2m

【解】

121DA13E32BC1D6

7AE1B1CM图 （单位：kN·m） FQ图（单位：kN）

(a)

2112DA445EB19.526.5F421CDA4516.513.5EBF410C

M图 （单位：kN·m） FQ图（单位：kN）

(b)

6A326BC326D2.25E9

F3M图（单位：kN·m）

3ACB2D6FQ图（单位：kN）

(c)

42303 EF

12AB10403050CD3966EF

M图（单位：kN·m）

A10BCDE336F

FQ图（单位：kN）

(d)

习题3.7 改正习题3.7图所示刚架的弯矩图中的错误部分。

FPBCA (a) MBCA (d) 【解】

(a) BFPCBCFPA

A (b) (c)

FPCAB

(e) (f)

习题3.7图

(b) (c)

(d) (e) (f)

习题3.8 作习题3.8图所示刚架的内力图。

6kNBCDm/Nmk421A4m4m(a) qAClDBll (d) 【解】

24D96BC722418kN48kNA12kNM图 （单位：kN·m） 18BCD72AM图 （单位：kN·m） 20kN4kN/mCDBCD/mNk04mm14AAB

3m3m 2m2m (b) (c)

4kN/m6kN·mD2CEFPFPEm3DClBm2AAB 3m3m ll(e) (f)

习题3.8图

186BDBCDC12A48A

FQ图（单位：kN） FN图（单位：kN）

(a)

12CBCDBD14.4122AA.91 FQ图（单位：kN） FN图（单位：kN）

(b)

C80 80 2020DC1030DCD103040 AB40ABAB1030

M图 （单位：kN·m） FQ图（单位：kN） FN图（单位：kN）

(c)

0Aql28C 3ql 4ACql4ACql4 3ql 4ql42Dql24BDql4ql4BDB

(d)

M图 FQ图 FN图

8.57.57.5D4.5B1.5A3.51.51.5ACE10..5D3.5BAED1.58.5B1.5CE3.58.5M图 （单位：kN·m） FQ图（单位：kN） FN图（单位：kN）

(e)

FPlDFPlCEFPlFPlDFPCFPEDFPABAFPCFPFPBEAFPlFPBFPFP

(f)

M图 FQ图 FN图

习题3.9 作习题3.9图所示刚架的弯矩图。

ADFFP5kN/m8kNlDCE4mDECBlElC4m8kNABFG2m4mA2m4mB2m

4m2m

(a) (b) (c)

FPFPBDCFPHID4kN/maCE4mFGaBA4m4mlAllADEBC

aaaa

(d) (e) (f)

F24kNE3mEFPCAFPaDaA3kN/mDEC6kNBF3m3mAC3m3mFD3m3mBB4m4ma

a

4m4m

(g) (h) (i)

习题3.9图

【解】

FPl2FPAFPlDFDC282FPE10D40 C40 E40 40 BG40 AF0A22BEFPlFPFPlCB1740

11 120

(a) (b) （单位：kN·m） (c)（单位：kN·m）

HFPlBDCFFPaI32GC16DC83232E32B0AFPBD2FPa2FPaEB0

00FP

A96 (d) (e) (f)（单位：kN·m）

FPaFPa2727945E9FFPaFPEFPa6A6D606ECF18C27ADB0F2718C276918DB9AFPBFP606060

(g) （单位：kN·m） (h) (i) （单位：kN·m）

习题3.10 试用结点法求习题3.10图所示桁架杆件的轴力。

30kN4m30kNFPl4mFP4mlll

(a) (b)

习题3.10图

【解】 (1)

230.1-671030kN6046030kN0.43-305

6提示：根据零杆判别法则有：FN13FN430；根据等力杆判别法则有：FN24FN46。然后分别对结点2、3、5列力平衡方程，即可求解全部杆件的内力。 (2)

4230108FP20FP3PFP04FP03.2F-3FP0-3FP706-3FP5FP 提示：根据零杆判别法则有：FN18FN17FN16FN27FN36FN450；根据等力杆判别法则有：FN12FN23FN34；FN78FN76FN65。然后取结点4、5列力平衡方程，即可求解全部杆件的内力。

习题3.11 判断习题3.11图所示桁架结构的零杆。

FPFPFP(a) (b)

2FP

FPFPFP lFPllFPlll

习题3.11图

(c)

【解】

FPFP0000

FP000FP0000FP 0000FP(a) (b)

000000FP0000002FP01Ⅰ002000000003ⅠFP0

(c)

提示：(c)题需先求出支座反力后，截取Ⅰ.Ⅰ截面以右为隔离体，由

M30，可得

FN120，然后再进行零杆判断。

习题3.12 用截面法求解习题3.12图所示桁架指定杆件的轴力。

FPFPbacFPcblallll

llllll

(a) (b)

4kN3ma4kN4kN4kN4kN4kN2m2m2m2m2m2m

2m2m2m2m2m2m2mcc2mb2ma4kNb

(c) (d)

习题3.12图

【解】 (1) FNa3132FP；FNbFP；FNcFP 222提示：截取Ⅰ.Ⅰ截面可得到FNb、FNc；根据零杆判断法则，杆26、杆36为零杆，则通过截取Ⅱ.Ⅱ截面可得到FNa。

FP12Ⅱ3cbⅠ456a7ⅡⅠ (2) FNa0；FNb2FP；FNc0

提示：截取Ⅰ.Ⅰ截面可得到FNb；由结点1可知FNa0；截取Ⅱ.Ⅱ截面，取圆圈以内为脱离体，对2点取矩，则FNc0。

FPFPcⅡⅠbⅠ21aⅡ

(3) FNa12kN；FNb1028kN；FNckN 33提示：先计算支座反力。取Ⅰ.Ⅰ截面以左为脱离体，由得FNc；再取结点A为脱离体，由

BⅠabA010kNcⅠ4kN4kN4kN4kN4kNMA0，得FNa；由MB0，

Fy0，得FNb。

FN=FNbFNc10kNA4kNFybFNbFxbFN=FNc

(4) FNa5.66kN；FNb1.41kN；FNc8kN

Ⅰ4kNⅡb2Ⅰ3Ⅲac041Ⅲ4kNⅡ1kN7kN

提示：先计算支座反力。取Ⅰ.Ⅰ截面以左为脱离体，将FNa移动到2点，再分解为x、y的分力，由

M10，得Fya4kN，则FNa5.66kN；

取Ⅱ.Ⅱ截面以左为脱离体，由

Fy0，得Fyb1kN，则FNb1.41kN；

取Ⅲ.Ⅲ截面以右为脱离体，注意由结点4可知FN340，再由

M1 0，得FNc8kN。

习题3.13 选择适当方法求解习题3.13图所示桁架指定杆件的轴力。

caFPbablc24kNll

3m6m3m3m3ml

(a) (b)

FPblaacllcbFPllFPlFP

lllll

(c) (d)

FPalFPFPcbba2lllll

lllll

(e) (f)

10kN8kN15kN3mabc15kNcab4m4m4m4m

(g) (h)

习题3.13图

4m4m3m4m4m3m 【解】

(1) FNaFP；FNb0；FNc0。 提示：由

M40，可得F6y0。则根据零杆判别原则，可知FNbFNc0。根据结点

5和结点2的构造可知，FN23FN350，再根据结点3的受力可知FNaFP。

2l045c6a3b2FP1 (2) FNa12.73kN；FNb18.97kN；FNc18kN。 提示：先计算支座反力。取Ⅰ.Ⅰ截面以左为脱离体，由取B结点为脱离体，由

M0，可得F12.73kN；

；由F0，可得F18kN；

ANaFy得FNBD127.3kN0，

xNc取Ⅱ.Ⅱ截面以右为脱离体，由

AMⅠaC0，可得FNb18.97kN。

ⅡCFNaDbFNcBⅡB6kNFNBD0Ⅰ18kN24kNc

(3) FNa0；FNb25FP；FNcFP。 33提示：先计算支座反力。取Ⅰ.Ⅰ截面以左为脱离体，由

Fy0，可得FNa0；由

M30，可得FN12FP/3；由Fx0，可得FN34FP/3；

xNb； Nc。注意

F0，可得F取结点A为脱离体，由F0，可得F取结点3为脱离体，由

x3bⅠ4FN1AFN12。

FNcac03FN340FNb1FPFP2ⅠFPFPFPBAFN1AA

(4) FNa122FP；FNbFP；FNc0。 33提示：先计算支座反力。取Ⅰ.Ⅰ截面以上为脱离体，由取Ⅱ.Ⅱ截面以右为脱离体，由

M10，可得FNa；

Fy0，可得FNb；

取Ⅲ.Ⅲ截面以右为脱离体，注意由结点B可知FNBC0，再由

FPⅢ3ⅡaⅠ2bACⅢFPFPⅡFPBM30，得FNc。

1Ⅰ0c

(5) FNaFP；FNb2FP。

提示：根据求得的支反力可知结构的受力具有对称性，且结点A为K形结点，故可判别零杆如下图所示。再取结点B为脱离体，由由

FFPBy0，可得FNbFNBC2FP；

FPa000Fx0，可得FNaFP。

000C0000AFPb00FP

(6) FNa0；FNbFP/2；FNac0。 提示：原结构可分为以下两种情况的叠加。

1对于状态1，由对称性可知，FRB0，则根据零杆判别法则可知FNa0。

取Ⅰ.Ⅰ截面以右为脱离体，由

MD10，可得FNb0；

1根据E、D结点的构造，根据零杆判别法则，可得FNc0。

对于状态2，根据零杆判别法则和等力杆判别法则，易得到： FNa0；FNbFP/2；FNc0。将状态1和状态2各杆的力相加，则可得到最终答案。

222FP2FP2ⅠDFP20FPC2EⅠFP2FP20DFP2AFP2caBbFP2A00000cb000CFP2aBFRB=0

00 状态1 状态2 (7) FNa0；FNb0；FNc40/3kN。 提示：先计算支座反力。

取Ⅰ.Ⅰ截面以右为脱离体，将FNa移动到B点，再分解为x、y的分力，由得Fya0，则FNa0；

根据结点B的构造和受力，可得FNb0； 取结点C为脱离体，可得FNc40/3kN。

10kN8kN8KN3AcⅠ2KN8KNabBC32KN3ⅠMA0，可

(8) FNa25kN；FNb0；FNc20kN。

提示：根据整体平衡条件，可得FHB0；则该结构可视为对称结构承受对称荷载作用，而结点D为K形结点，则可得FNb0；根据E、C结点进一步可判断零杆如下图所示。取结点F为脱离体，由

Fy0，可得FNa25kN；由Fx0，可得FNc20kN。

15kN15kNCDcAF00a0bBFHBE0

习题3.14求解习题3.14图所示组合结构链杆的轴力并绘制梁式杆的内力图。

qa10kN/mAF3m3m3mDEqFa1mBCDG3mEA

BaaC

(a) (b)

FPABCDElllll

(c)

习题3.14图

【解】

(1)提示：首先计算支反力。再沿铰C和FG杆将原结构切开，取某部分为脱离体，可计算得到FNFG，然后取结点F为脱离体，可计算得到FNFB和FNFA，最后取ABC为脱离体可求得FNAC和铰C传递的剪力。

45 M图 （单位：kN·m）

3030FQ图（单位：kN）

3030 -180-180-601801.7-601.7

FN图（单位：kN）

(2) 提示：取DEF为脱离体，由由

Fx由ME0，可得FNDAqa；0，可得FNDB0；

Fy0，可得FNEB2qa。

qa2DEFDEqaqaBAqa28CABqaFqaCAqa20B0CD00E0F-2qa2

M图 FQ图 FN图

(3) 提示：由整体平衡，可得FHF0，则原结构可化为以下状态1和状态2的叠加。

对于状态1，利用对称性可知铰结点传递的剪力为0，即FQC0，然后取ABC为隔离体，由

MA0，可得FNBF2FP/2；取F结点为隔离体，可得FyFFP，然后

考虑到对称性并对整体结构列方程

Fy0，可得FyAFyE0。

对于状态2，利用对称性并考虑结点F的构造和受力，可得FNBFFNDF0；然后取ABC为隔离体，由

MFP2C可得FyAFP/4()；则根据对称性，可知FyEFP/4()。 0，

最后将两种状态叠加即可得到最终结果。

0C0FFP0FP40F0FP4FP2DEABFP2CFP2DEAB

状态1 状态2

ABFFPl4FP4FPl4CDEABFP4CFDFP4EAB22FPFP2CFD22FPE M图 FQ图 FN图

习题3.15求习题3.15图所示三铰拱支反力和指定截面K的内力。已知轴线方程

y4fx(lx)。 2l4kN/myKCAxB5m3m8m4m

习题3.15图

【解】

FHAFHB16kN;FVA8kN();FVB24kN() MK15kNm;FQK1.9kN;FNK17.8kN

习题3.16求习题3.16(a)图所示三铰拱支反力和(b)图中拉杆内力。

q10kNDrC2mEB3mArrBA

习题3.16图

4m6m

(a) (b)

【解】

(1) FVAFVBqr；FHAFHB0

结构和荷载具有对称性，则FVA、FVB等于半个拱荷载的竖向分量：

FVA=FVB2qrdcosqr

0 再取左半拱为隔离体，由MC0，可得

2qrrFHr0qrdsin0，则FH0

(2) FVA5kN()；FVB5kN()；FNDE15kN(拉力)

习题3.17 求习题3.17图所示三铰拱的合理拱轴线方程，并绘出合理拱轴线图形。

q=3kN/mFP=12kNCAx4m4m习题3.17图

B4m4my

M0(x)【解】由公式y(x)可求得

FH5x0x4m41 yxmx8m4132x22x488mx12m82习题3.18 试求习题3.18图所示带拉杆的半圆三铰拱截面K的内力。

C2kN/mKA拉杆2m习题3.18图

R=10mB

【解】

MK44kNm；FQK4.7kN；FNK3.12kN

提示：取下图所示脱离体进行计算。

yMKFNKφ2kN/mA15KN5KNx6mKFQK

在图示坐标系下，拱轴线方程为(x10)2y2102。则截面K处切线斜率为：

tany'x24 3由AK段的平衡条件，即可求得截面K的内力。

第4章 静定结构的位移计算习题解答

习题4.1 是非判断题

(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。（ ）

(2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。（ ）

(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。（ ） (5) 对于静定结构，有变形就一定有内力。（ ） (6) 对于静定结构，有位移就一定有变形。（ ）

(7) 习题4.1(7)图所示体系中各杆EA相同，则两图中C点的水平位移相等。（ ） (8) MP图，M图如习题4.1(8)图所示，EI=常数。下列图乘结果是正确的：

12ql2l(l) EI384 （ ）

(9) MP图、M图如习题4.1(9)图所示，下列图乘结果是正确的：

11(A1y01A2y02)A3y03 EI1EI2 （ ）

(10) 习题4.1(10)图所示结构的两个平衡状态中，有一个为温度变化，此时功的互等

定理不成立。（ ）

FPCCFPll(a)

习题 4.1(7)图

qA2l(b)l

l1ql28A1EI1(a)MP图A3EI2(a)MP图1y02y01y031l/4

(b)M图

(b)M图

习题 4.1(8)图 习题 4.1(9)图

FPt1t2

(a)(b) 习题 4.1(10)图

【解】（1）错误。变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。

（2）错误。只有一个状态是虚设的。 （3）正确。

（4）错误。反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。 （5）错误。譬如静定结构在温度变化作用下，有变形但没有内力。 （6）错误。譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。 （7）正确。由桁架的位移计算公式可知。

（8）错误。由于取y0的M图为折线图，应分段图乘。 （9）正确。 （10）正确。 习题4.2 填空题

(1) 习题4.2(1)图所示刚架，由于支座B下沉所引起D点的水平位移DH=______。 (2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。其中，用于求位移的是_______原理。

(3) 用单位荷载法计算位移时，虚拟状态中所加的荷载应是与所求广义位移相应的________。

(4) 图乘法的应用条件是：__________且MP与M图中至少有一个为直线图形。 (5) 已知刚架在荷载作用下的MP图如习题4.2(5)图所示，曲线为二次抛物线，横梁的抗弯刚度为2EI，竖杆为EI，则横梁中点K的竖向位移为________。

(6) 习题4.2(6)图所示拱中拉杆AB比原设计长度短了1.5cm，由此引起C点的竖向位移为________；引起支座A的水平反力为________。

(7) 习题4.2(7)图所示结构，当C点有FP=1(↓)作用时，D点竖向位移等于(↑)，当E点有图示荷载作用时，C点的竖向位移为________。

(8) 习题4.2(8)图（a）所示连续梁支座B的反力为FRB11()，则该连续梁在支座B

16下沉B=1时（如图（b）所示），D点的竖向位移D=________。

K249246maABB1CDa

习题 4.2(1)图 习题 4.2(5)图

C3a2a3m3m

3mCA6m6mBAa

BaaDEM=1

a

习题 4.2(6)图 习题 4.2(7)图

FP=1ADFRBBCADDBCB=1l/2l/2l(b)(a)

习题 4.2(8)图

【解】（1）

()。根据公式ΔFRc计算。 3（2）虚位移、虚力；虚力 。 （3）广义单位力。

（4）EI为常数的直线杆。 （5）

48.875()。先在K点加单位力并绘M图，然后利用图乘法公式计算。 EI（6）1.5cm；0。C点的竖向位移用公式ΔFNl计算；制造误差不会引起静定结构产生反力和内力。

（7）

a()。由位移互等定理可知，C点作用单位力时，E点沿M方向的位移为

21a。则E点作用单位力M=1时，C点产生的位移为12a。

（8）

11()。对（a）、（b）两个图示状态，应用功的互等定理可得结果。 16习题4.3 分别用积分法和图乘法求习题4.3图所示各指定位移CV。EI为常数。 【解】1）求CV

FPAEICl/2l/2（a）ABxC1F l4PM（b） P图习题4.3(1)图

BAxFP=1C1l4（c） 图MB

（1） 积分法

绘MP图，如习题4.3（1）(b)图所示。在C点加竖向单位力FP=1，并绘M图如习题4.3（1）(c)图所示。由于该两个弯矩图对称，可计算一半，再将结果乘以2。

AC段弯矩为

M则

11x，MPFPx 22CV2（2） 图乘法

l/20FPl3111xFPxdx() EI2248EICV2)求CV

FPl311FPll2l2()

EI2423448EI16020kN/mA2mCEI2m（a）BA10240xCBAx1CB

（1） 积分法

M（b） m）P图（kN·（c） 图M

习题4.3(2)图

绘MP图，如习题4.3（2）(b)图所示。在C点加竖向单位力并绘M图，如习题4.3（2）(c)图所示。以C点为坐标原点，x轴向左为正，求得AC段（0≤x≤2）弯矩为

Mx，MP10(x2)2

则

CV（2） 图乘法

201680x10(x2)2dx() EI3EI由计算位移的图乘法公式，得

CV1EI211216801602240221021() 232333EI 3)求CV

qAEIl（a）l2AB12x（c） 图Mx1CBEIl/2FP=ql/2Cql4AxM（b） P图1ql28B1ql24xC

习题4.3(3)图

（1） 积分法

绘MP图，如习题4.3（3）(b)图所示。在C点加竖向单位力并绘M图，如习题4.3（3）(c)图所示。根据图中的坐标系，两杆的弯矩（按下侧受拉求）分别为 AB杆

1ql1Mx，MPxqx2

242CB杆

Mx，MP 则

qlx 2CV1EI1ql121xxqxdx022EI4ll/20qlql4xxdx()

224EI（2）图乘法

CV11ql22l2ql21l1ql2l2lql4ll() EI243238222423224EIqA2EI2lEIBlql/2M（b） P图2 4)求A

1ql2/811/3ql2

（a）（c） 图M

习题4.3（4）图

（1）积分法

绘MP图，如习题4.3（4）(b)图所示。在A点加单位力偶并绘M图，如习题4.3（4）

(c)图所示。以A为坐标原点，x轴向右为正，弯矩表达式（以下侧受拉为正）为

M1则

131x，MPqlxqx2 3l223lMMMMPPCVdxdx02l2EIEI2l13l1131211xqlxqxdx12lEI02EI23l23l2l13xqlxqx2dx22

5ql3（ ） 8EI（2） 图乘法

由计算位移的图乘法公式，得

A1121121122ql2l12lql123333232 1121212112 qlllqlEI23338325ql3（ ） 8EI12EI 习题4.4 分别用积分法和图乘法求习题4.4(a)图所示刚架C点的水平位移CH。已知EI=常数。

ql2习题4.4图 2Cql22【解】1）积分法 DqDCllx1CDMP、M图分别如习题 4.4（b）、（c）图所示，建立坐标系如（c）图所示。各杆的弯矩用x表示，分别为 CD杆

AlBA1ql28llx1BMx，MPqlx l2(b)MP图ABAB杆

(a)(c)M图1Mx，MPqlxqx2

2代入公式计算，得

CH2）图乘法

l13111ql4() xqlxdxx(qlxqx2)dx0EI0EI8EI22lCH11ql222ql2l3ll2lql4() EI2233828EI习题4.5 习题4.5(a)图所示桁架各杆截面均为A=2×103m2，E=2.1×108kN/m2，FP=30kN，d=2m。试求C点的竖向位移FPCV。

FPDAC2FP2×d(a)2×dFPFPE2√2DDDFP3FPFPA√2E2√2dBFP3FPFPB2FP√2CA2×d(a)2×d2FPC2FPEA2√2F2FPPBE2√22FPFP√2FFPPCB√2(b) FNP图(b) FNP图DDA√11√2d1√2d00d√211√2/222/E√A√20.522//20.5B/2√2/211dB√2d√21C10.5√2dE√21√2d01√2d1d001√2d0000.5C1FN（c） 图1d

1√2dFN（d） 图FN（d） 图 （ c ） 图 F N 习题 4.5图

【解】绘FNP图，如习题4.5(b)图所示。

在C点加竖向单位力，并绘FN图，如习题4.5(c)图所示。 由桁架的位移计算公式ΔFNFNPl，求得 EACV1062FPd2.mm() EA习题4.6 分别用图乘法计算习题4.3和习题4.4中各位移。（见以上各题） 习题4.7 用图乘法求习题4.7（1）、（2）、（3）、（4）图所示各结构的指定位移。EI为常数。

【解】

1）求CV

qBEIEIA3ml=4m（a）C1ql216q41l=4m34q7

M（b） P图（c） 图M

习题 4.7（1）图

绘MP图，如习题4.7（1）(b)图所示；在C点加竖向单位力，并绘M图，如习题4.7（1）(c)图所示。

由计算位移的图乘法公式，得

CV11122134q57416q5742323AB33111221123 qll4qll4EI223324BC 23q()3EI1EI2）求D

2ql2BEICEI2EIAl（a）13ql/8M（b） P图（c） 图M2217ql/8ql2/811Dl/2l/2qql2/811

习题 4.7（2）图

绘MP和M图，分别如习题4.7（2）(b)、(c)图所示。 由计算位移的图乘法公式，得

D111321721qlql12EI288EI13ql3（ ） 12EI112l12qll1ql1 38283）求A、B两截面的相对转角AB

qA2EIB2ql2ql2/82ql2111EICl（a）M（b） P图lC（c） 图M

习题 4.7（3）图

绘MP和M图，分别如习题4.7（3）(b)、(c)图所示。 由计算位移的图乘法公式，得

AB11212ql2lql2l1 2EI23811ql3（ ） 24EI4）求C、D两点间的相对线位移CD及铰C左右两侧截面C1、C2之间的相对转角C1C2

C1C2FPDCEIBl（a）1√211DA（c） 图MBCDllM（b） P图111C11lCFPFPlFPl/2AFPl/2FPlFPl/2BFPl/2lAlAB（c） 图M

习题 4.7（4）图

绘MP图，如习题4.7（4）(b)图所示。分别加一对单位力和单位力偶，并绘M图，如习题4.7（4）(c)、(d)图所示。

由计算位移的图乘法公式，得

CD1111l FPllEI22232FPl3() 24EICC1211111lFPl2 EI2321FPl2（ ） 6EI习题4.8 求习题4.8(a)图所示刚架A、B两点间水平相对位移，并勾绘变形曲线。已知EI=常数。

l/2Aqql(a)qBl/2A2ql2/24ql/8Bql2/24(b)MP图A1l/2l/2(c)M图1BABl/2(d)变形曲线

习题 4.8图

【解】绘MP和M图，分别如习题4.8(b)、(c)图所示。则

AB12l212l112l4lql2qllqll252242382424

4ql ()60EI1EI变形曲线如习题4.8(d)图所示，需注意图中A、B两点以上为直线。 习题4.9 习题4.9(a)图所示梁的EI=常数，在荷载FP作用下，已测得截面B的角位移为0.001rad（顺时针），试求C点的竖向位移。

FPAC3m3m6m(a)1B(c)M图13m3m(b)MP图BCAFP3FPB

习题 4.9图

【解】绘MP图，在B点加单位力偶并绘M图，分别如习题4.9(b)、(c)图所示。图乘得

B令B0.001，得FP3FP EI0.001EI。 3 下面求CV（在MP图中令FP1即为对应之M图）：

CV1EI21227FP13F333F639mm() PP2323EI习题4.10 习题4.10(a)图所示结构中，EA=4×105kN，EI=2.4×104kN·m2。为使D点竖

向位移不超过1cm，所受荷载q最大能为多少？

AEAEI4m（a）3mEAqC2m7.5q1.5q2qD2q-0.52.521BF M（b） P图、NP图（c） 图、 FMN图

习题 4.10图

【解】绘梁杆的MP图、桁杆的FNP图，如习题4.10(b) 图所示。

在D点加竖向单位力，绘梁杆的M图、桁杆的FN图，如习题4.10(c)图所示。 由组合结构的位移计算公式，求得DV为

DV221312q4242q122q2233341  1.5q(0.5)37.5q2.55EA2q183 qEI2EA1EI令DV0.01，解得

q32.04kN/m

即q不超过32.04kN/m时，D点竖向位移不超过1cm。

习题4.11 试计算由于习题4.11(a)图所示支座移动所引起C点的竖向位移CV及铰B两侧截面间的相对转角B1B2。

BB1B22aA0.02rad2a（a）B11FR2=3aCa0.01aAFR1=1（b）C1FR2=0FR1=0（c）

习题 4.11图

【解】在C点加一竖向单位力，求出支座移动处的反力，如习题4.11(b) 图所示。则

CVFRc(10.01a3a0.02)0.07a()

在铰B两侧截面加一对单位力偶，求出支座移动处的反力，如习题4.11(c) 图所示。则

BB0

12习题4.12 习题4.12(a)、(b)图所示刚架各杆为等截面，截面高度h=0.5m，=105，刚架内侧温度升高了40℃，外侧升高了10℃。试求：

图（a）中A、B间的水平相对线位移AB。 图（b）中的B点的水平位移BH。

+10℃4m+10℃B+10℃+40℃4m+40℃A+10℃4m(a)4FN=1CDFN=1414144FN=144m4m(b)FN=11ABFN= 14（c） 图、 FMN图4（d） 图、 FMN图4mAB+10℃+10℃

习题 4.12图

【解】1）求图（a）中AB

在A、B两点加一对单位力，绘M图和FN图，如习题4.12(c) 图所示。按如下公式计算AB

AB互抵消，故AB0。

2）求图（b）中的BH

thMdxtFl

0N因AC，BD杆两侧温度均升高了40℃，对上式无影响。其他四边代入上式计算结果相

在B点加一水平单位力，绘M图和FN图，如习题4.12(d) 图所示。

BH(4010)1h442210401420.0116m() 2习题4.13 由于制造误差，习题4.13(a)图所示桁架中HI杆长了0.8cm，CG杆短了0.6cm，试求装配后中间结点G的水平偏离值GH。

CGD6m1FN= 0.5GFN=1EA4×6m(a)B6mHIF(b)

习题 4.13图

【解】在G点加一水平单位力，解出HI，CG杆的轴力FN，如习题4.13(b)图所示。则

GHFNl(0.810.50.6)1.1cm()

习题4.14 求习题4.14(a)图所示结构中B点的水平位移BH。已知弹性支座的刚度系数

k1=EI/l，k2=2EI/l3。

qqlCEIAk1l（a）EIk2Bql2/8FR2=ql/2B1FR2=0lql2lFR1=ql2M（b） P图FR1=l（c） 图M

习题 4.14图

【解】（1）绘MP图，并求支反力FR，如习题4.14(b)图所示。

（2）在B点加一水平单位力，绘M图，并求支反力FR，如习题4.14(c)图所示。

（3）由公式ΔMMPFRFRdsEIk，得

BH

1122l4ql42qllllql() EI23EI3EI第5章 力法习题解答

习题5.1 是非判断题

（1）习题5.1(1)图所示结构，当支座A发生转动时，各杆均产生内力。（ ）

+t1℃+t1℃+t1℃ABC

+t1℃ 习题5.1(1)图 习题5.1(2)图

（2）习题5.1(2)图所示结构，当内外侧均升高t1℃时，两杆均只产生轴力。（ ） （3）习题5.1(3)图(a)和(b)所示两结构的内力相同。（ ）

qEIl(a)EIl2EIl(b)q2EIl

习题5.1(3)图

（4）习题5.1(3)图(a)和(b)所示两结构的变形相同。（ ）

【解】（1）错误。BC部分是静定的附属部分，发生刚体位移，而无内力。 （2）错误。刚结点会沿左上方发生线位移，进而引起所连梁柱的弯曲。 （3）正确。两结构中梁两跨的抗弯刚度比值均为1:1，因此两结构内力相同。 （4）错误。两结构内力相同，但图(b)结构的刚度是图(a)的一倍，所以变形只有图(a)的一半。

习题5.2 填空题

（1）习题5.2(1) 图(a)所示超静定梁的支座A发生转角，若选图(b)所示力法基本结构，则力法方程为_____________，代表的位移条件是______________，其中1c =_________；若选图(c)所示力法基本结构时，力法方程为____________，代表的位移条件是______________，其中1c=_________。

A2l(a)AX1(b)AX1(c)

习题5.2(1)图

（2）习题5.2(2)图(a)所示超静定结构，当基本体系为图(b)时，力法方程为____________________，1P=________；当基本体系为图(c)时，力法方程为____________________，1P=________。

qEIEIkX1qX1X1qkll(a)(b)(c)

习题5.2(2)图

（3）习题5.2(3)图(a)所示结构各杆刚度相同且为常数，AB杆中点弯矩为________，____侧受拉；图(b)所示结构MBC =________，____侧受拉。

qABl/2MAEIBEIl(b)Cl/2lqa(a)

习题5.2(3)图

（4）连续梁受荷载作用时，其弯矩图如习题5.2(4)图所示，则D点的挠度为________，位移方向为____。

24EI3m2m2m4mEID24EI

习题5.2(4)图

【解】（1）11X11c0，沿X1的竖向位移等于零，－2l；11X11c，沿X1的转角等于，0。

X1ql3q5ql4（2）11X11P，；11X11P0，。 k24EI2k8EIMql2（3），下侧；，下侧。可利用对称性简化计算。

2852（4），向下。选三跨简支梁作为基本结构，在其上D点加竖向单位力并绘M图，

EI图乘即可。

习题5.3 试确定习题5.3图所示结构的超静定次数。

(a)(b)(c)(d)

(e)(f)

习题5.3图

【分析】结构的超静定次数等于其计算自由度的绝对值，或者使用“解除多余约束法”直接分析。

【解】（a）1；（b）2；（c）5；（d）3；（e）4；（f）1。

习题5.4 用力法计算习题5.4图所示各超静定梁，并作出弯矩图和剪力图。

4kN/mAEI6m(1)3mBEI3m8kNCA2EIl(2)FPCEIlBAEIl(3)l/2BCFP

习题5.4图

【解】（1）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.4(1)图(a)所示，基本方程为11X11P0。系数和自由项分别为

114，1P

EIEI解得X113.5kNm。弯矩图和剪力图分别如习题解5.4(1)图(d)和(e)所示。

4kN/mAEIX18kNBX1EICX1=11X1=1(a) 基本体系1812(c)MP图(b)M1图13.51218(d)M图(kN·m)9.756.251.7514.25(e)FQ图(kN)

习题解5.4(1)图

（2）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.4(2)图(a)所示，基本方程为

11X11P0。系数和自由项分别为

5FPl33l3，1P 1112EI2EI解得X15FP。弯矩图和剪力图分别如习题解5.4(2)图(d)和(e)所示。 18FPA2EICEIX1(a) 基本体系Bl(b)M1图4Fl9PX1=12lFPlFP5Fl18P(c)MP图13F18P5F18P(e)FQ图(d)M图

习题解5.4(2)图

（3）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.4(3)图(a)所示，基本方程为

11X11P0。系数和自由项分别为

FPl2l，1P 1112EI3EI1解得X1FPl。弯矩图和剪力图分别如习题解5.4(3)图(d)和(e)所示。

4FPAX1EI(a) 基本体系1Fl2PFPBC1X1=1(b)M1图1Fl2P1Fl4P(c)MP图FP(d)M图3F4P(e)FQ图

习题解5.4(3)图

习题5.5 用力法计算习题5.5图所示各超静定刚架，并作出内力图。

q2EIEIEIlABBCEI=常数A4m4mEDqDClll(1)(2)(3)5m

EI=常数习题5.5图

【解】（1）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.5(1)图(a)所示，基本方程为11X11P0。系数和自由项分别为

5l3，1P0 116EI解得X10。内力图分别如习题解5.5(1)图(d)~(f)所示。

8kN/mllX1X1=1q2EIEIEIlllqlql28(a) 基本体系(b)M1图(c)MP图ql2ql82ql2ql2ql2(d)M图(e)FQ图(f)FN图

习题解5.5(1)图

（2）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.5(2)图(a)所示，基本方程为

11X11P0。系数和自由项分别为

ql34l， 111P3EI12EIql2解得X1。内力图分别如习题解5.5(2)图(d)~(f)所示。

161AX1qDC(a) 基本体系(b)M1图ql22(c)MP图ql28BX1=11ql216ql2169ql169ql16ql22ql22(d)M图ql28(e)FQ图ql(f)FN图9ql16

习题解5.5(2)图

（3）原结构为2次超静定结构。选取基本体系如习题解5.5(3)图(a)所示，基本方程为

11X112X21P0 21X122X22P0系数和自由项分别为

11250，12210，22608，1P625，2P2000

EI3EI3EI3EI解得X17.5kN，X23.29kN。内力图分别如习题解5.5(3)图(e)~(g)所示。

CB4X1X2E(a) 基本体系13.1613.1625100m)(d)MP图(kN·49.3424.34(e)M图(kN·m)32.5(f)FQ图(kN)DX1=145(b)M1图13.167.53.297.55(c)M2图X2=144X1X28kN/mA7.53.293.29(g)FN图(kN)

习题解5.5(3)图

习题5.6 用力法计算习题5.6图所示各结构，并作出弯矩图。

10kN/mB8kN/mAEI4m2m(1)FPlBEI4m2EICEID4m10kNBEI2mC8kN/mEI4mDA4m(2)2mCEA→∞EID4m(3)2mEFBEIG2m10kN/mFPEICEIDl(4)EIAEIAl

习题5.6图

【解】（1）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.6(1)图(a)所示，基本方

程为11X11P0。系数和自由项分别为

1148，1P0 3EI解得X10。弯矩图如习题解5.6(1)图(d)所示。

5kN5kN8kN/mABX1X1C8kN/mD(a) 基本体系2(b)M1图2X1=1101610m)(c)MP图(kN·16101610(d)M图(kN·m)16

习题解5.6(1)图

（2）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.6(2)图(a)所示，基本方程为

11X11P0。系数和自由项分别为

1114，1P20

3EI3EI解得X110。弯矩图如习题解5.6(2)图(d)所示。 710kN/mBEIAX1(a) 基本体系1X1=1(b)M1图2EICD112010720107(c)MP图(kN·m)(d)M图(kN·m)

习题解5.6(2)图

（3）原结构的静定部分经计算简化后，剩余部分为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.6(3)图(a)所示，基本方程为11X11P0。显然，自由项

1P0

从而X10。弯矩图如习题解5.6(3)图(d)所示。

1BEIEIAEID(a)404040404040404020C20kNEIGEFBEICX1X1EIEID(c)M1图20kN1X1=11110kN/mEIA(b) 基本体系(d)MP图(kN·m)(e)M图(kN·m)

习题解5.6(3)图

（4）原结构为2次超静定结构。选取基本体系如习题解5.6(4)图(a)所示，基本方程为

11X112X21P0 XX02222P211系数和自由项分别为

FPl27FPl2l5l4l，1221，22，1P，2P 11EI6EIEI6EI3EI解得X11312FPl0.57FPl，X2FPl0.52FPl。弯矩图如习题解5.6(4)图(e)所示。 2323FPlFPBEIAX2EICEIDX11(b)M1图(c)M2图X1=1X2=1111(a) 基本体系FPlFPl2FPlFP0.09FPl0.91FPl0.52FPl(d)MP图0.57FPl(e)M图

习题解5.6(4)图

习题5.7 用力法计算习题5.7图所示两桁架各杆的轴力，已知各杆EA相同且为常数。

20kNC4m10kNBDEF4mCA6m(a)6mA3m3m(b)习题5.7图

D3m4mB

【解】（1）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.7(1)图(a)所示，基本方程为11X11P0。系数和自由项分别为

11824，1P5

8EAEA解得X15kN=8.69kN。各杆轴力如习题解5.7(1)图(d)所示。 10320kNC0BAFX1(a) 基本体系20kNDE385834058585838X1=1(b)FN1图-12.50-12.507.5-12.5-12.56.52-12.507.5-12.5-7.07-5.434.24-5.434.24-7.07(c)FNP图(kN)(d)FN图(kN)

习题解5.7(1)图

（2）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.7(2)图(a)所示，基本方程为

11X11P0。系数和自由项分别为

1115.34，1P61.73

EAEA解得X14.02kN。各杆轴力如习题解5.7(2)图(d)所示。

10kN345AX1BX1C62√13X1=14D0.556-0.801-0.8010.556(a) 基本体系(b)FN1图10kN5.560-8.0103.333.22-4.02-2.23-4.79(c)FNP图(kN)(d)FN图(kN)

习题解5.7(2)图

习题5.8 用力法计算习题5.8图所示两超静定组合结构，绘出弯矩图，并求链杆轴力。

16kNBEACEIEA4mEAD(1)EIEA设I=24A4mBD设A=√2IEEIC12kN/mA3mEIA2m(2)2m2m2m

习题5.8图

【解】（1）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.8(1)图(a)所示，基本方程为11X11P0。系数和自由项分别为

1115511235832748 [113()()52][2422]EA66EI2336EA3EI3EI1P1122320 [484222441]EI233EI解得X11.28kN。弯矩图和各杆轴力分别如习题解5.8(1)图(d)、(e)所示。

12kN/mACX1D(a) 基本体系B23232X1=15612kN/m56024480(b)M1、FN1图(c)MP(kN·m)、FNP(kN)图-0.862445.441.07-0.86-1.281.07(d)M图(kN·m)(e)FN图(kN)

习题解5.8(1)图

（2）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.8(2)图(a)所示，基本方程为

11X11P0。系数和自由项分别为

11352214，1P 3EI3EI解得X1176235.56kN。弯矩图和各杆轴力分别如习题解5.8(2)图(d)、(e)所示。 716kN√2√2X1=1X1=116kNECX1BDX1A(a) 基本体系(b)M1、FN1图(c)MP(kN·m)、FNP(kN)图

3213.729.14-16(d)M图(kN·m)(e)FN图(kN)25.140-35.56

习题解5.8(2)图

习题5.9 用力法计算习题5.9图所示两排架，并绘出弯矩图。

30kNCEIEA→∞EID16kN3m12kNEA→∞EIBEICEIA6m5EIA12m(1)5EIB(2)6m3mEA→∞

习题5.9图

【解】（1）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.9(1)图(a)所示，基本方程为11X11P0。系数和自由项分别为

112122121121558 [333][36(39)96(93)]EI235EI2332335EI1P1121111674 [9033][906527067]EI235EI22EI解得X115kN。弯矩图如习题解5.9(1)图(d)所示。

30kNCX1X1D3X1=1X1=13A(a) 基本体系30kN90B9(b)M1图945270(c)MP图(kN·m)135135(d)M图(kN·m)

习题解5.9(1)图

（2）原结构为2次超静定结构。选取基本体系如习题解5.9(2)图(a)所示，基本方程为

11X112X21P0 XX02222P211系数和自由项分别为

11144，1221126，22486，1P1152，2P3888

EIEIEIEIEI解得X17.66kN，X21.29kN。弯矩图如习题解5.9(2)图(e)所示。

16kN12kNX1X1X2X2X1=1X1=13X2=1X2=1AB(a) 基本体系C66(b)M1图9(c)M2图916kN12kN4825.0172144(d)MP图(kN·m)79.7467.3268.94(e)M图(kN·m)

习题解5.9(2)图

习题5.10 用力法计算习题5.10图所示各结构由于支座移动引起的内力，并绘弯矩图。

AEIBB1l(1)EIl(2)Al(3)EIBB1EICC1ablAB

习题5.10图

【解】（1）原结构为3次超静定结构。选取基本体系如习题解5.10(1)图(a)所示，基本方程为

11X112X213.X31c021X122X223X32c 31X132X233X33c0系数和自由项分别为

l11EIl2l3，1221，13310，22，23320，33l

EA2EI3EI1c2c3c0

解得X16EI12EI，X，X30。弯矩图如习题解5.10(1)图(e)所示。 2l2l31ABX3X1X2(a) 基本体系(b)M1图1X1=1lX2=1(c)M2图6EI/l21EAM3=0(e)M图X3=16EI/l2(d)M3、FN3图

习题解5.10(1)图

（2）原结构为3次超静定结构。选取基本体系如习题解5.10(2)图(a)所示，基本方程为

11X112X213.X31c21X122X223X32c0 31X132X233X33c0系数和自由项分别为

11l3EI，1221l，13310，22l，23320，33l

6EI3EIEA1c2c3c0

解得X14EI2EI，X2，X30。弯矩图如习题解5.10(2)图(e)所示。 llX21BX3X1=11(a) 基本体系(b)M1图(c)M2图2EI/lX2=1AX1-1EAM3=0(d)M3、FN3图X3=14EI/l(e)M图

习题解5.10(2)图

（3）原结构为2次超静定结构。选取基本体系如习题解5.10(3)图(a)所示，基本方程为

11X112X21ca XXb2222c211系数和自由项分别为

l3l34l3，1221，22，1cl，2cl 113EI2EI3EI6EI6EI解得X1(5l8a3b)3，X2(l3a2b)3。若a=0.1l，b=0.2l，=1，则弯矩

7l7l图如习题解5.10(3)图(d)所示。

BCX2X1X1=1A(a) 基本体系ll(b)M1图llX2=10.94EI/l20.94EI/l2ll(c)M2图3.17EI/l2(d)M图

习题解5.10(3)图

习题5.11 用力法计算习题5.11图所示两结构由于温度变化引起的内力，并绘弯矩图。（设杆件为矩形截面，截面高为h，线膨胀系数为。）

B-9℃EIEI+18℃(h=1m)A4m(1)(2)lCC-9℃4mA(h=0.2l)lBl

+10℃+6℃+10℃习题5.11图

【解】（1）原结构为1次超静定结构。选取基本体系如习题解5.11(1)图(a)所示，基本方程为11X11t0。系数和自由项分别为

11189256；t18(9)27C，t04.5C

23EI1tt271AM1t0AFN1(4444)4.514666 h12解得X17.8EI。弯矩图如习题解5.11(1)图(d)所示。

B-9℃CX144X1=1-9℃+18℃A(a) 基本体系31.2EIX1=1131.2EI4(b)M1图(c)FN1图(d)M图

习题解5.11(1)图

（2）原结构为2次超静定结构。选取基本体系如习题解5.11(2)图(a)所示，基本方程为

11X112X21t0 21X122X22t0系数和自由项分别为

11222ll0.473EIEI，12210；t1064C，t01068C 21tt411AM1t0AFN1(12l)8(2l)22.14 h0.2l22l2t1t22.14

解得X1X247.11C+10℃AX1(a) 基本体系+6℃+10℃BX21X1=1(b)M1图X1=1(c)FN1图EI。弯矩图如习题解5.11(2)图(f)所示。 l1√2l1√2l1X2=1(d)M2图(e)FN2图X2=141.77EI/l(f)M图41.77EI/l

习题解5.11(2)图

习题5.12 利用对称性，计算习题5.12图所示各结构的内力，并绘弯矩图。

FPDqEEI=常数FqlBEIA2EICEIDlAlBl(1)10kN/m3mCl(2)

CBEI=常数A4m(3)12kNCBAD4mED4FPBEIAEICEI2EIDEI2EIEI2EIEIh4mll(4)llE20kNEA→∞3m3mC3mDEI=常数B4m(6)4m4mEI=常数4m(5)4mA

习题5.12图

【解】（1）取半结构如习题解5.12(1)图(a)所示，为1次超静定结构。再取半结构的基本体系如习题解5.12(1)图(b)所示，基本方程为11X11P0。系数和自由项分别为

3ql42l3， 1P118EI3EI解得X19ql。半结构和原结构弯矩图分别如习题解5.12(1)图(e)和(f)所示。 16EDDEX1llX1=1qAl(a) 半结构ql22ql22ql82qA(b) 基本体系(c)M1图ql216ql28lql216ql28ql28ql216(d)MP图(e)M图(半结构)(f)M图

习题解5.12(1)图

（2）将原结构所受一般荷载分解为对称和反对称两组荷载，如习题解5.12(2)图(b)和(c)所示。其中，对称荷载作用时，不引起弯矩。

取反对称半结构如习题解5.12(2)图(d)所示，为1次超静定结构。再取该半结构的基本体系如习题解5.12(2)图(e)所示，基本方程为11X11P0。系数和自由项分别为

FPl313l3， 1P118EI48EI解得X1FP6FP0.46FP。弯矩图如习题解5.12(2)图(h)所示。 13FP/2BCBM对=0A(a) 原结构DADADCFP/2FP/2BCFP/2(b) 对称荷载作用FP/2l/2X1l/2X1=1FP/2(c) 反对称荷载作用3Fl13P3Fl13PFP/2B3Fl13P3Fl13PAl/2(e) 基本体系(d) 反对称半结构ll/2(f)M1图FPl/2(g)MP图7Fl26P7Fl26P(h)M图

习题解5.12(2)图

（3）取半结构如习题解5.12(3)图(a)所示，为2次超静定结构。再取半结构的基本体系如习题解5.12(3)图(b)所示，基本方程为

11X112X21P0 XX02222P211系数和自由项分别为

119，122155，22361，1P1360，2P1900

3EIEIEI2EI3EI解得X17.04kN，X214.18kN。原结构弯矩图如习题解5.12(3)图(f)所示。

10kN/mCB4m3m10kN/mX2CX1B1A1X1=1A4m(b) 基本体系(a) 半结构10kN/mX2=1338030.4230.42(c)M1图7.04202030.4230.42807(d)M2图(e)MP图(kN·m)26.326.3(f)M图(kN·m)

习题解5.12(3)图

（4）将原结构所受一般荷载分解为对称荷载和反对称荷载两组，分别作用于原结构上。其中，对称荷载作用时不引起弯矩。

反复利用这一方法，反对称荷载作用下的半结构，又可简化为1/4结构承受反对称荷载作用，并进一步简化为承受1/8原荷载的1/8结构，如习题解5.12(4)图(a)所示。

该结构静定，弯矩图如习题解5.12(4)图(a)所示。原结构弯矩图如习题解5.12(4)图(b)所示。

1/2FP/2BFPh/2FPh/2Al/2(a) 1/8结构FPh(b)M图(× )1/21/21/211/211/211/21/21/21/2h

习题解5.12(4)图

（5）分解为对称和反对称两组荷载考虑，对称荷载不引起弯矩。反对称荷载作用时，取半结构如习题解5.12(5)图(a)所示，为1次超静定结构。再取半结构的基本体系如习题解5.12(5)图(b)所示，基本方程为11X11P0。系数和自由项分别为

11272，1P516

EI3EI解得X15.69kN。原结构弯矩图如习题解5.12(5)图(e)所示。

3m6kNCBA4mD6kNC4BDX143m4AX1=1(b) 基本体系(a) 半结构6kN36184.7622.76184.763613.2413.2413.2422.7618(c)M1图m)(d)MP图(kN·(e)M图(kN·m)

习题解5.12(5)图

（6）取半结构如习题解5.12(6)图(a)所示，为2次超静定结构。再取半结构的基本体系如习题解5.12(6)图(b)所示，基本方程为

11X112X21P0 XX02222P211系数和自由项分别为

11272，1221，22256，1P1000，1P800

EIEI3EIEI3EI解得X19.375kN，X22.344kN。原结构弯矩图如习题解5.12(6)图(f)所示。

E10kNE10kN3mX1CX2AC44X1=1A4m4m(b) 基本体系(a) 半结构10kN303044X2=170(d)M2图(e)MP图(kN·m)23.1259.375(c)M1图7.516.8759.3757.516.87523.125(f)M图(kN·m)

习题解5.12(6)图

习题5.13 计算习题5.13图所示的对称半圆无铰拱K截面的内力。

q2EIEIEIKf=R45°l(1)lR(2)R

习题5.13图

【解】取坐标系如习题解5.13图(a)所示，则弹性中心

dsEIySdsEIyπ0(RRsin)π01RdEI1RdEIR

取基本体系，如习题解5.13图(b)所示。显然，X30。 力法方程为

11X11P0 X02P222计算系数和自由项。因为

M11M2yyS(RRcos)RRcos 11MPqRsinRsinqR2sin222所以

π2M121Rπ11ds22Rd

0EIEIEI22π2M2(Rcos)2R3π2ds2Rd

0EIEI2EI1PM1MPds2EIπ2011(qR2sin2)πR3q2Rd

EI4EI1(Rcos)(qR2sin2)R4q2Rd

EI3EI2P解得

M2MPds2EIπ202qRqR2，X2 X13π4K截面的内力

qR22qRqR2MKX1X2(yyS)MP()(Rcos45)sin24543π22qR0.15qR23π2qRX2cosFQPcos45qRcos45sin453π

21()qR0.35qR322qRcos45qRsin45sin453π2

FQKFNKX2cosFNP21()qR0.65qR3π2qxKf=R45°Ry(a) 坐标系的选取RX2X1X3X3X2X1q

(b) 基本体系及弹性中心位置yS=R

习题解5.13图

习题5.14 计算习题5.6图(4)所示结构结点B的水平位移。

【解】虚设力状态及单位荷载弯矩图如习题解5.14图(a)所示，原结构在荷载作用下的最终弯矩图如习题解5.14图(b)所示。根据单位荷载法可知结点B的水平位移

BHFP=1B0.18833FPl() EI0.09FPlB0.91FPl虚设力状态l(a)M图0.52FPl0.57FPl(b)M图

习题解5.14图

习题5.15 计算习题5.9图(1)所示结构D截面的水平位移。

【解】虚设力状态及单位荷载弯矩图如习题解5.15图(a)所示，原结构在荷载作用下的最终弯矩图如习题解5.15图(b)所示。根据单位荷载法可知D截面的水平位移

DH837() EIDFP=13虚设力状态45D9(a)M图135135(b)M图(kN·m)

习题解5.15图

习题5.16 略。

习题5.17 画出习题5.17图所示各结构弯矩图的大致形状。已知各杆EI=常数。

(a)(b)(c)+t℃(d)(e)(f)

习题5.17图

【解】

(a)(b)(c)+t℃M=0(d)(e)(f)

习题解5.17图

第6章 位移法习题解答

习题6.1 确定用位移法计算习题6.1图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。（除注明者外，其余杆的EI为常数。）

EA≠∞EA=∞ 2EI2EIEA≠∞(a) (b) (c) (d)

习题6.1图

【解】

各题基本未知量（取未知结点位移为基本未知量）如下： （a）n=4 （b）n=2 （c）n=6 （d）n=8 习题6.2 是非判断

(1) 位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。（ ） (2) 位移法可用于求解静定结构的内力。（ ）

(3) 用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本

结构。（ ）

(4) 位移法只能用于求解连续梁和刚架，不能用于求解桁架。（ ） 【解】

（1）正确。位移法求解时基本未知量是结构的未知结点位移，与结构是否超静定无关。

（2）正确。无任何结点位移发生的静定结构内力图可利用载常数直接确定；有结点位移发生的静定结构则可利用位移法的一般步骤计算。

（3）正确。用位移法计算支座位移引起的内力时，可采用与荷载作用相同的基本结构，自由项可根据形常数和支移值确定。

（4）错误。只要能够取得杆端力与杆端位移之间的函数关系，位移法就可用于求解任何杆系结构。

习题6.3 已知习题6.3图所示刚架的结点B产生转角B =/180，试用位移法概念求解所作用外力偶M。

M2iB2ii 习题 6.3图

【解】

i 。发生转角B时，可直接求得结点B所连的各杆端弯矩，再由结点B的平30衡条件即可得M。

习题6.4 若习题6.4图所示结构结点B向右产生单位位移，试用位移法中剪力分配法的概念求解应施加的力FP。

EIBFPEIEIlEI1=∞l 习题 6.4图

【解】

15EI。结点B向右产生单位位移时，横梁所连各柱端剪力之和即为FP。 3l习题6.5 已知刚架的弯矩图如习题6.5图所示，各杆EI=常数，杆长l=4m，试用位移法概念直接计算结点B的转角B。

30kN·mAql2)8CB30kN·m(

习题 6.5图

【解】由M图可知，BC杆上无外荷载，其杆端弯矩为MBC3iBCB30，由此求得B40 。 EI12kN/mA4mB6mC2m15kNDA4m8kN·mB4mC2m2m32kND习题6.6 用位移法计算习题6.6图所示连续梁，作弯矩图和剪力图，EI=常数。

(1) (2)

习题 6.6图

【习题6.6(1)解答】（1）确定基本未知量数目

杆段CD为静定的悬臂梁，可将其简化至C结点位置。本题在结点B上具有一个角位移Z1。

（2）确定基本体系

基本体系如习题解6.6(1) (a)图所示，令EI＝6。

15kNZ1Ai=1.5B12kN/mi=1m 30kN·C(a)基本体系 习题解6. 6(1)图

（3）建立典型方程

K11Z1F1P0（4）计算系数项和自由项

对基本结构，作M1、M2图和MP图，分别如习题解6.6（1）(b)、(c)图所示。

k11=4.5Z1=1B3(b) M1图 (c) MP图(kN.m)

习题解6.6(1)图

F1P= 3939Z1=0CAB30()C1.5A

（5）解方程

39Z18.674.5（6）根据公式MM1Z1Mp绘弯矩图，根据弯矩图可绘出剪力图。结果如下：

13A13B()30CA33.17B15C38.83(d) 弯矩图(kN.m) (e) 剪力图(kN)

习题6.6(1)图

(1) 确定基本未知量数目此刚架的基本未知量为结点B和C的角位【习题6.6 (2)解答】

移Z1和Z2，即n=2。

(2) 确定基本体系，如习题解6.6(2) (a)图所示。

Z1Ai=1Bi=1Z2Ci=1D

(a) 基本体系 习题解6.6(2)图

(3) 建立典型方程。根据基本体系每个附加约束处的反力为零的条件，可列出位移法方程如下：

k11Z1k12Z2F1P0k21Z1k22Z2F2P0

(4) 求系数和自由项。Z2 =1及荷载单独作用下的M1图、分别作出基本结构在Z1=1、M2图和MP图，如习题解6.6(2) (b)、(c)、(d)图所示。

k11=84Z1=12k21=2Z2=0k12=2Z1=0243(b) M1图 (c) M2图 (d) MP图(kN.m)

习题解6.6(2) 图

k22=74Z2=18F1P=8Z1=024F2P= 24Z2=0 2 (5) 解方程，求基本未知量。将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得

Z1 =－2，Z2 =4 (6) 作最后弯矩图。按MM1Z1M2Z2MP作出原结构的弯矩图，根据弯矩图可作出剪力图。结果如下：

124AB8C(32)DA3B3CD 1913(e) 弯矩图(kN.m) (f) 剪力图(kN)

习题解6.6(2) 图

习题6.7 用位移法计算习题6.7图所示结构，作弯矩图，EI=常数。

D6kN/mBA3EIEI16kNCEI4mFPCAEEI=常数Bll 4m2m2mll(1) (2)

习题 6.7图

【习题6.7(1)解答】(1) 确定基本未知量数目。此刚架的基本未知量为结点B的角位移Z1，即n=1。

(2) 确定基本体系，如习题解6.7（1）(a)图所示。

BAi=3i=1D(a) 基本体系 习题解6.7(1) 图

Z1i=1C (3) 建立典型方程。根据基本体系每个附加约束处的反力为零的条件，可列出位移法方程如下：

k11Z1F1P0

(4) 求系数和自由项。分别作出基本结构在Z1=1及荷载单独作用下的M1图和MP图，如习题解6.7(1) (b)、(c)图所示。

k11=1034316Z1=132F1P=2012Z1=0(16) 2(b) M1图 (c) MP图(kN.m)

习题解6.7(1)图

(5) 解方程，求基本未知量。将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得

Z1 =－2 (6) 作最后弯矩图。按MM1Z1MP作出原结构的弯矩图，根据弯矩图作剪力图，

根据剪力图作轴力图。结果如下：

2618AB2282434DDD(16)CAB3.512.5CA336.5BC (d) 弯矩图(kN.m) (e) 剪力图(kN) (f) 轴力图(kN)

习题解6.7(1)图

【习题6.7（2）解答】(1) 确定基本未知量数目。此刚架的基本未知量为结点A的角位移Z1，即n=1。

(2) 确定基本体系，如习题解6.7(2) (a)图所示。

Di=1Ci=1AZ1i=1E i=1B(a) 基本体系 习题解6.7(2)图

(3) 建立典型方程。根据基本体系每个附加约束处的反力为零的条件，可列出位移法方

程如下：

k11Z1F1P0

(4) 求系数和自由项。分别作出基本结构在Z1=1及荷载单独作用下的M1图和MP图，如习题解6.7(2) (b)、(c)图所示。

4k11=10Z1=13F1P=FPlZ1=0FPl32 (b) M1图 (c) MP图(kN.m)

习题6.7(2)图

(5) 解方程，求基本未知量。将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得

Fl

Z1P10(6) 作最后弯矩图。按MM1Z1MP作出原结构的弯矩图，然后作剪力和轴力图。结果如下：

DFPl0.4FPlC0.2FPl0.3FPlA0.3FPlE0.6FP0.3FPBBCAE1.6FPD0.3FPFPCAED B(d) 弯矩图 (e) 剪力图 (f) 轴力图

习题解6.7(2)图

习题6.8 用位移法计算习题6.8图所示各结构，并作弯矩图。EI=常数。

40kN·mAB15kN/m24kN/mB40kNCBDF4m15kN/m3mACE5mD8mA6mC8mE2m 4mD5m5m(1) (2) (3)

习题 6.8图

【习题6.8(1)解答】

(1) 确定基本未知量数目。 此刚架的基本未知量为结点A和C的角位移Z1和Z2，即n=2。

3m (2) 确定基本体系，如习题解6.8(1) (a)图所示。

Z1ACi=0.8i=1Z2i=1Ei=0.8B D(a) 基本体系 习题解6.8(1)图

(3) 建立典型方程。根据基本体系每个附加约束处的反力为零的条件，可列出位移法方程如下：

k11Z1k12Z2F1P0k21Z1k22Z2F2P0

(4) 求系数和自由项。Z2 =1及荷载单独作用下的M1图、分别作出基本结构在Z1=1、M2图和MP图，如习题解6.8(1) (b)、(c)、(d)图所示。

k11=4.8Z1=14k21=2220.8Z2=0k22=10.44Z2=142.4220k12=2Z1=04020F1P= 20Z1=0F2P=0Z2=0 20(b) M1图 (c) M2图 (d) MP图(kN.m)

习题解6.8(1)图

(5) 解方程，求基本未知量。将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得

Z1 =4.530，Z2 =－0.871 (6) 作最后弯矩图。按MM1Z1MP作出原结构的弯矩图，如习题解6.8(1) (e)图所示。

36.4A3.614.416.521.72.1CE(e) M图(kN.m) 习题6.8(1)图

B D【习题6.8 (2)解答】(1) 确定基本未知量数目。此刚架的基本未知量为结点B的角位移Z1和沿BD方向的线位移Z2，即n=2。

(2) 确定基本体系，如习题解6.8(2) (a)图所示。

Z1Ai=1.2Bi=1.2i=1DZ2(a) 基本体系 习题解6.8(2)图

C (3) 建立典型方程。根据基本体系每个附加约束处的反力为零的条件，可列出位移法方程如下：

k11Z1k12Z2F1P0k21Z1k22Z2F2P0

(4) 求系数和自由项。Z2 =1及荷载单独作用下的M1图、分别作出基本结构在Z1=1、M2图和MP图，如习题解6.8(2) (b)、(c)、(d)图所示。

k11=11.44.8A32.41.44Z1=1B3.6CAk12= 0.72Z1=0B1.440.72CF1P=76.2531.25A45B31.25Z1=0C DZ2=0k21= 0.72DZ2=1k22= 0.72DZ2=0F2P= 37.5(b) M1图 (c) M2图 (d) MP图(kN.m)

习题解6.8(2)图

(5) 解方程，求基本未知量。将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得

Z1 = —3.63，Z2 =48.46 (6) 作最后弯矩图。按MM1Z1M2Z2MP作出原结构的弯矩图，如习题解6.8(2) (e)图所示。

109.7A34.1B5621.8C D(e) M(kN.m) 习题解6.8(2)图

【习题6.8 (3)解答】(1) 确定基本未知量数目。此刚架的基本未知量为结点B和D的角位移Z1和Z2，即n=2。

(2) 确定基本体系，如习题解6.8(3) (a)图所示。

Z1Bi=0.8i=1AC(a) 基本体系 习题解6.8(3)图

Z2i=1DFi=1E

(3) 建立典型方程。根据基本体系每个附加约束处的反力为零的条件，可列出位移法方程如下：

kZkZF01111221PkZkZF02112222P

(4) 求系数和自由项。Z2 =1及荷载单独作用下的M1图、分别作出基本结构在Z1=1、M图和MP图，如习题解6.8(3) (b)、(c)、(d)图所示。

k11=11.23.2442Z1=12k21=2Z2=0k12=2Z1=044k22=8Z2=1F1P= 128128Z1=0F2P=80128Z2=048F2

1.622(b) M1图 (c) M2图 (d) MP图(kN.m)

习题解6.8(3)图

(5) 解方程，求基本未知量。将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得

Z1 =13.83，Z2 =－13.46 (6) 作最后弯矩图。按M作出原结构的弯矩图，如习题解6.8(3) MZMZM1122P(e)图所示。

99.4.355.3B(192)D101.848F53.8

A22.1C27.726.9E(e) M图(kN.m) 习题解6.8(3)图

习题6.9 利用对称性计算习题6.9图所示结构，作弯矩图。EI=常数。

12kN/mFPBCDFFPHBCEDF4m 4mAl/2lElGl/2lA3m3mG(1) (2)

习题 6.9图

【习题6.9(1)解答】 (1) 确定基本未知量数目。选择半结构。此刚架的基本未知量为结点B和C的角位移Z1和Z2，即n=2。

(2) 确定基本体系，如习题解6.9(1) (a)图所示。

FPZ1i=1i=1 (a) 基本体系 习题解6.9(1)图

(3) 建立典型方程。根据基本体系每个附加约束处的反力为零的条件，可列出位移法方程如下：

k11Z1F1P0

(4) 求系数和自由项。分别作出基本结构在Z1=1及荷载单独作用下的M1图和MP图，如习题解6.9(1) (b)、(c)图所示。

k11=7Z1=134F1P=2FP2FP2Z1=0 (b) M1图 (c) MP图

习题解6.9(1)图

(5) 解方程，求基本未知量。将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得

Fl

Z1P14(6) 作最后弯矩图。按MM1Z1MP作出原结构的弯矩图，如习题解6.9(1) (d)图所

示。

FPl22FPl73FPl14BCDFPl7FH

AEG(d) M图 习题解6.9(1)图

【习题6.9(2)解答】(1) 选择半结构如习题解6.9(2) (a)图所示，此刚架的基本未知量为结点C和B的角位移Z1和Z2，即n=2。

(2) 确定基本体系，如习题解6.9(2) (a)图所示。

Z1Ci=4i=3Z2DBi=4i=3A(a) 基本体系 习题解6.9(2)图

(3) 建立典型方程。根据基本体系每个附加约束处的反力为零的条件，可列出位移法方程如下：

k11Z1k12Z2F1P0k21Z1k22Z2F2P0

(4) 求系数和自由项。Z2 =1及荷载单独作用下的M1图、分别作出基本结构在Z1=1、M2图和MP图，如习题解6.9(2) (b)、(c)、(d)图所示。

k11=16Z1=112k21=6C4Z2=06BD12Bk12=66Z2=1F1P= 36Z1=036F2P=0CZ2=0DB18Z1=0Ck22=2412D AA6A(b) M1图 (c) M2图 (d) MP图(kN.m)

习题解6.9(2)图

(5) 解方程，求基本未知量。将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得

Z1 = 2.483，Z2 =－0.621

(6) 作最后弯矩图。按MM1Z1M2Z2MP作出原结构的弯矩图，如习题解6.9(2) (e)图所示。

26.07C27.93BD7.45FE 3.73AG(e) M图(kN.m) 习题解6.9(2)图

EI=1.2×105kN·m2，习题6.10 习题6.10(a)图所示等截面连续梁，已知支座C下沉1.6cm，

用位移法求作弯矩图。

ABC1.6cmDZ1Z2CD

AB4m4m4m(a) (b) 基本体系

习题 6.10图

【解】(1) 确定基本未知量数目。此刚架的基本未知量为结点B和C的角位移Z1和Z2，即n=2。

(2) 确定基本体系，如习题6.10 (b)图所示。

(3) 建立典型方程。根据基本体系每个附加约束处的反力为零的条件，可列出位移法方程如下：

k11Z1k12Z2F1c0k21Z1k22Z2F2c0

(4) 求系数和自由项。分别作出基本结构在Z1=1、Z2 =1及支移作用下的M1图、M2图和Mc图，如习题6.10 (c)、(d)、(e)图所示。

k11=2EIZ1=1EI0.5EIEIk21=0.5EIZ2=00.5EI0.5EI0.75EI720(c) M1图 (d) M2图 (e) Mc图(kN.m)

习题6.10图

k12=0.5EIZ1=0k22=1.75EIZ2=1EIF1P= 720720Z1=0F2P= 360Z2=0 360 (5) 解方程，求基本未知量。将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得

Z1276.92105，Z292.31105

(6) 作最后弯矩图。按MM1Z1M2Z2Mc作出原结构的弯矩图，如习题6.10 (f)

图所示。

332.3 166.2443.1(f)

M图(kN.m)

习题6.10图

习题6.11 习题6.11(a)图所示刚架支座A下沉1cm，支座B下沉3cm，求结点D的转角。

5210kN·m。 已知各杆EI=1.8×

CDEZ15mZ2DE1cm3cmCAB

6m 6mAB(a) (b) 基本体系

习题 6.11图

(1) 确定基本未知量数目。【解】此刚架的基本未知量为结点C和D的角位移Z1和Z2，

即n=2。

(2) 确定基本体系，如习题6.11图(b)所示。

(3) 建立典型方程。根据基本体系每个附加约束处的反力为零的条件，可列出位移法方程如下：

k11Z1k12Z2F1c0k21Z1k22Z2F2c0

(4) 求系数和自由项。分别作出基本结构在Z1=1、Z2 =1及支移作用下的M1图、M2图和Mc图，如习题6.11 (c)、(d)、(e)图所示。

k11=0.8EI22EI15EI3k21=EI3k12=EI3k22=49302EI3EIF1c= 600Z1=0EC600F2c= 6002EI3Z1=1C2EI3Z2=0DEEI3Z1=0C0.8EIZ2=1EI6Z2=0600EDD A0.4EIBAB0.4EIAB(c) M1图 (d) M2图 (e) Mc图(kN.m)

习题6.11图

(5) 解方程，求基本未知量。将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得

Z1 = 0.00190rad，Z2 =0.00165rad

DZ20.00165rad

第7章 渐近法和近似法习题解答

习题7.1 是非判断题

(1) 力矩分配法可以计算任何超静定刚架的内力。（ ）

(2) 习题7.1(2)图所示连续梁的弯曲刚度为EI，杆长为l，杆端弯矩MBC<0.5M。（ ）

MAABMCABC 7.1(3)图

习题 7.1(2)图 习题

(3) 习题7.1(3)图所示连续梁的线刚度为i，欲使A端发生顺时针单位转角，需施加的力矩MA>3i。（ ） 【解】（1）错误。力矩分配法只能计算无结点线位移的梁和刚架。

F （2）正确。固端弯矩MBC0.5M，经过一次分配后，便有MBC<0.5M。

（3）正确。由于结点B为介于固定端约束与铰支端约束之间的刚结点，因此A端发生单位转角需施加的力矩MA，应介于4i 和3i之间。

习题7.2 填空题

(1) 习题7.2(1)图所示刚架EI=常数，各杆长为l，杆端弯矩MAB =________。 (2) 习题7.2(2)图所示刚架EI=常数，各杆长为l，杆端弯矩MAB =________。 (3) 习题7.2(3)图所示刚架各杆的线刚度为i，欲使结点B产生顺时针的单位转角，应在结点B施加的力矩MB =______。 14kN·m14kN·14kmN·mBBC20kN·m20kN·20kmN·mBBBCCCMBMBBBCCCCCAAA AA 习题 7.2(1)图 习题 AA7.2(2)图 习题 7.2(3)图 A (4) 用力矩分配法计算习题7.2(4)图所示结构（EI=常数）时，传递系数CBA =________，此二图照此修改此二图照此修改CBC =________。 DEABBCDAC

习题 7.2(4)图

【解】

（1）4kNm。由力矩分配法计算可得结果。 （2）8kNm。由力矩分配法计算可得结果。

（3）4i。MB为结点B所连两根杆的转动刚度之和，即为：3i +i =4i。

（4）0.5；0.5。

习题7.3 用力矩分配法计算习题7.3图所示连续梁，作弯矩图和剪力图，并求支座B的反力。

20kNmB40kNC2EI3m3mAA60kN40kN·60kNm10kN/mEIEIB2m4m10kN12kN/mEI4mC2EI4mDB2EIEI6m6mCCD2mA2mB4m2m

（1） （2）

习题7.3图

【解】（1）分配系数为

BA

BC3iAB30.429

3iBA3iBC3EI3EI786EI33iBC460.571 3iBA3iBC3EI3EI7463EI8验算：BABC1。

固端弯矩为：

MBAF360890kNm 16F结点B的约束力矩MB如习题解7.3（1）（a）图所示，由平衡条件

MB0求得为

FF MB40MBA130kNm

力矩分配计算过程、弯矩图和剪力图分别如习题解7.3（1）（b）、（c）和（d）图所示。

A40FMBAFMB60kN40kN·mBEIEI0.4290.57190-55.77-74.2334.23-74.23(b)计算过程25.72CμBMF分传M(a)A12074.2334.23BCAB34.2834.2812.37CB12.37FRB=46.65kN(c)M图（单位： ）kN·m(d)FQ图（单位： ）kN

习题解7.3（1）图

（2）AB段为静定悬臂梁，将其截开并暴露出截面B的弯矩，用力矩分配法计算如习

题解7.3（2）（a）图所示。弯矩图和剪力图如习题解7.3（2）（b）、（c）图所示。

20kN12kN/m20kN/mBEIC0.60.414-4015.610.429.6-29.6(a)计算过程A10FRB=31.6kNkN(c)FQ图（单位： ）B21.6C26.420D-40-10.4-50.42EIDμMF-20分传M-2020AB29.624CD50.4(b)M图（单位： ）kN·m

习题解7.3（2）图

习题7.4 用力矩分配法计算习题7.4图所示连续梁，作弯矩图。

36kNA4m2EIB2m1.5EI6mC12kN/mA40kN24kN/m2EIB2mEIC2mEI4m50kN·mDEI4mEEI6mD

习题7.4图

4m

（1） （2）

【解】（1）分别在结点B、C处计算分配系数，并计算AB、CD两杆的固端弯矩，填入

表格。计算过程及弯矩图分别如习题解7.4（1）(a)、(b)图所示。

AB杆的固端弯矩，可由光盘中“附表单跨超静定梁的载常数”查出，为

FMBA3624(64)40kNm 22636kN12kN/mC2EIB0.50.018-29-294.4-2.2-2.28.8-8.8(a)计算过程1.5EI0.60.4-603624-14.58.75.8-1.10.70.429.8-29.860122.9EIDAμMF分配 与传递M74.974.98.8A48B29.0CD(b)M图（单位： ）kN·m习题解7.4（1）图

（2）本题为三个结点的连续梁，若每次只在一个结点上进行分配与传递，则计算过程

较慢。为了加快进度，可每次在一批结点上进行分配与传递，但需保证该批结点为单结点结构。

计算过程如习题解7.4（2）(a) 图所示。首先，固定住结点C，并在结点B和结点D上进行分配与传递。然后，固定住结点B和结点D，在结点C上进行分配与传递。以后重复这一计算过程，直至残留约束力矩足够小为止。

根据计算结果绘制的弯矩图如习题解7.4（2）(b) 图所示。

40kNA2EI24kN/mB1/32/3128-52-25.3-50.7-10.33.46.9-1.60.51.1M85.9106.6-106.6(a)计算过程106.66.4-6.5EIC1/252-25.3-20.53.4-3.21/214.3-20.52.9-3.2EI50kN·mD4/73/728.621.4-10.35.94.4-1.60.90.723.526.5EIEμMF分配25.3 与传递-3.423.56.885.931.4(b)M图（单位： ）kN·m习题解7.4（2）图

26.5

习题7.5 用力矩分配法计算习题7.5图所示刚架，作弯矩图。

60kNAEIBEID2m2m3m8kN/m2EIAC15kN/m50kN20kNBEI2EIDC30kN/m10kN20kN/m200kN·mDBBEI=常数604mCE3m3m3m3mF2m4m2mEI=常数4mAEIB20kN2mEDA50kN·mEE5m5mG2m

4m4m

2m（1） （2）

习题7.5图

【解】（1）计算过程及弯矩图分别如习题解7.5（1）(a)、(b)图所示。

38.529.5AC-125.8-6.24.4D608.76.2CABABDBC0.3100.4140.276B45-24-6.5-8.7-5.838.5-8.7-29.8D-4.4(a)计算过程(b)M图（单位： ）kN·m习题解7.5（1）图

（2）该题的力矩分配计算过程及结果如习题解7.5（2）图所示，BE杆的弯矩图可按E

端固支B端铰支的超静定杆直接绘制。

A11.3-0.610.7BABC0.60.4B-37.522.515.02.1-1.3-0.821.2-21.2ECBCFCD0.2760.4140.310C37.5-607..16.24.7-0.40.10.20.148.86.4-55.23.10.13.2(a)计算过程48.855.2FD21.2A10.7B20756.4C60D15EF3.2

kN·m(b)M图（单位： ）习题解7.5（2）图

习题7.6 利用对称性计算习题7.6图所示结构，并作弯矩图。各杆EI相同，常数。

27kN/mBCA4m4m4m习题7.6图

4m4m3mD

【解】根据对称结构承受对称荷载取半结构如习题解7.6（a）图所示，由于结点D处

的定向支承无竖向位移，等效为一个固定端。用力矩分配法的计算过程如习题解7.6（b）图所示。习题解7.6（c）图所示为原结构的一半弯矩图，读者可根据对称性绘出另一半。

27kN/m3mDBiA4m4mCi0.8iBCBCACD0.2940.3920.314C-36-5.3-7.1-5.748.7-7.1-41.7A-3.5(b)计算过程DD-36-2.833.2(a)半结构41.7BC3.8.74m33.27.1A(c)M图（单位： ）kN·m习题解7.6图

习题7.7 习题7.7(a)图所示刚架各杆EI=4.8×104kN·m2，支座A下沉了2cm，支座B顺

时针转动0.005rad。用力矩分配法求作刚架的弯矩图。

CD0.02mE4mA4m0.005radB5m(a)CDCDE0.4840.516D-180230.4-77.813.314.1-1.60.80.8-165.9165.9AEDEB0.4440.556E230.4120-155.6-194.87.1-3.2-3.978.7-78.7B240-97.4-2.0140.6(b)计算过程CDE78.7165.9AB140.6

(c)M图（单位： ）kN·m

习题7.7图

【解】该题的固端弯矩由支座位移引起，计算如下：

MFDCEI4.81043230.02180kNm

l42FED MFDEMEI4.8104626(0.02)230.4kNm 2l5 MFBE4.81044iB40.005240kNm

4F MEB2iB120kNm

力矩分配计算过程及弯矩图分别如习题7.7（b）和（c）图所示。

习题7.8 用简捷方法作出习题7.8图所示各结构的弯矩图。除注明者外，各杆的EI、l均相同。

FPFPFPFP（1） （2） （3） qq

EA=∞FPFPqqqqq （4） （5） （6） 习题7.8图

【解】

（1）原结构的M图如习题解7.8（1）图所示。定向支承端的弯矩，可根据力矩分配法的概念，由传递系数（－1）得。

FPlFPFPFPl

0.F5Pl

习题解7.8（1）图 习题解7.8（2）图

（2）原结构的M图如习题解7.8（2）图所示。固定端的弯矩，可根据力矩分配法的概

念，由传递系数（1/2）得。

（3）根据力矩分配法计算并绘制的M图如习题解7.8（3）图所示。

FPl2FPl4FPl2FPlFP 习题解7.8（3）图

FPl4

（4）取半结构分析，由力矩分配法的概念可直接绘出原结构的M图，如习题解7.8（4）图所示。

qql22ql22ql24(a)半结构 习题解7.8（4）图

ql24(b)原结构的 图M

（5）取半结构分析，如习题解7.8（5）（a）图所示。水平杆无弯矩，竖杆的弯矩可按

一端固定另一端铰支杆绘出。原结构的M图如习题解7.8（5）（b）图所示。

qql28(a)半结构 习题解7.8（5）图

ql28(b)原结构的 图M

（6）在排架柱顶附加水平支杆，绘M图并求出该支杆的支反力，如习题解7.8（6）（b）

图所示。将求出的支反力反向施加在柱顶上，用剪力分配法计算并绘制M图，如习题解7.8（6）（c）图所示。原结构的M图为前述两种情况M图的叠加，如习题解7.8（6）（a）图所示。

3ql8qqql28(b)附加支杆ql28ql28ql83ql8ql24ql28(a)原结构的 图Mql82ql28(c)剪力分配法计算

习题解7.8（6）图

习题7.9 部分答案为 MGH = －33.8kN·m，MAD = 27.9kN·m。 习题7.10 部分答案为 MAB = MBA = －30kN·m，MEF = MFE = 60kN·m。

第8章 影响线习题解答

习题8.1 是非判断题

(1) 习题8.1(1)图示结构BC杆轴力的影响线应画在BC杆上。（ ）

CFP=1ABMC影响线( )(a)FQC影响线( )C (b)

习题8.1(1)图 习题8.1(2)图

(2) 习题8.1(2)图示梁的MC影响线、FQC影响线的形状如图（a）、（b）所示。

(3) 习题8.1(3)图示结构，利用MC影响线求固定荷载FP1、FP2、FP3作用下MC的值，可用它们的合力FR来代替，即MC= FP1y1+ FP2y2+ FP3y3=FRy。( )

FP1FRFP2FP3y3y1yy2 习题8.1(3)图

(4) 习题8.1(4)图中的（a）所示主梁FQC左的影响线如图（b）所示。( )

FP=10.5Aa(a)习题8.1(4)图

CaBAC(b)B

(5) 习题8.1(5)图示梁FRA的影响线与FQA右的影响线相同。( )

FP=1CAB 习题8.1(5)图

(6) 简支梁的弯矩包络图为活载作用下各截面最大弯矩的连线。( ) 【解】（1）错误。影响线应画在单位荷载的移动范围内。 （2）MC影响线正确；FQC影响线错误。

（3）错误。只有当所有的荷载作用在同一直线段上时，才能用它们的合力来代替。 （4）正确。由间接荷载作用下影响线的绘制方法可知，该影响线正确。 （5）错误。FRA的影响线为直线，FQA右的影响线为两条平行线。

（6）错误。弯矩包络图为恒载与活载共同作用下各截面最大弯矩的连线。 习题8.2 填空题

(1) 用静力法作影响线时，其影响线方程是 。用机动法作静定结构的影响线，其形状为机构的 。

(2) 弯矩影响线竖标的量纲是 。

(3) 习题8.2(3)图所示结构，FP=1沿AB移动，MD的影响线在B点的竖标为 ，FQD的影响线在B点的竖标为 。

FP=1ABDC2m2m习题8.2(3)图

2m (4) 习题8.2(4)图所示结构，FP =1沿ABC移动，则MD影响线在B点的竖标为 。

DBCAFP=14m2m3m

习题8.2(4)图

(5) 习题8.2(5)图所示结构，FP=1沿AC移动，截面B的轴力FNB的影响线在C点的竖标为 。

FP=1ABCaaa2a

习题8.2(5)图

(6) 习题8.2(6)图所示结构中，竖向荷载FP=1沿ACD移动，MB影响线在D点的竖标为 ，FQC右影响线在B点的竖标为 。

CFP=1BAD2m2m习题8.2(6)图

2m3m

【解】（1）平衡方程；位移图。 （2）长度。

（3）3m；－1.5。可将FP=1放于B点，分别列平衡方程求MD和FQD。 （4）－4m。将FP=1放于B点，再列平衡方程求MD。

（5）－0.5。将FP=1放于C点，再列平衡方程求FNB。

（6）－1m；0。将FP=1放于D点求MB；将FP=1放于B点求FQC右。 习题8.3 单项选择题

(1) 习题8.3(1)图所示结构中支座A右侧截面剪力影响线的形状为( )。

FP=1A(a)(b)(c)(d) 习题8.3(1)图

(2) 习题8.3(2)图所示梁在行列荷载作用下，反力FRA的最大值为( )。

(a) 55kN (b) 50kN (c) 75kN (d) 90kN

15kN4m30kN4m15kN4m30kNAB12mFRA

习题8.3(2)图

(3) 习题8.3(3)图所示结构FQC影响线(FP=1在BE上移动)BC、CD段竖标为( )(a) BC,CD均不为零； (b) BC,CD均为零；

(c) BC为零,CD不为零； (d) BC不为零,CD为零。

FP=1BDECA 习题8.3(3)图

(4) 习题8.3(4)图所示结构中，支座B左侧截面剪力影响线形状为( )。

FP=1ABC(a)(b)(c)(d)

习题8.3(4)图

。

(5) 习题8.3(5)图所示梁在行列荷载作用下，截面K的最大弯矩为( )。

(a) 15kN·m (b) 35 kN·m (c) 30 kN·m (d) 42.5 kN·m

5kN5kN5kN4m4mK12m习题8.3(5)图

4m

【解】（1）b。根据间接荷载影响线的作法，可知应选（b）图。

（2）b。先作FRA的影响线，左边30 kN位于A点时为最不利荷载位置。

（3）c。FP=1在C点左侧时FQC为零，在C点右侧时FQC不为零，因此选C。 （4）c。将截面B左侧改为定向联系，根据机动法容易判断。

（5）c。先作MK的影响线，右边5 kN位于K点时为最不利荷载位置。 习题8.4 作习题8.4(a)图所示悬臂梁FRA、MC、FQC的影响线。

A1m4m(a)FRA1(b)FRA影响线CB(c)MC影响线31(d)FQC影响线

习题8.4图

【解】FRA、MC、FQC的影响线分别如习题8.4(b)、(c)、(d)图所示。

习题8.5 作习题8.5(a)图所示结构中FNBC、MD的影响线，FP =1在AE上移动。

CADBE2m2m(a)2m325(b)FNBC影响线1(c)MD影响线12mFP=1

习题8.5图

【解】FNBC、MD的影响线分别如习题8.5(b)、(c)图所示。

习题8.6 作习题8.6(a)图所示伸臂梁的MA、MC、FQA左、FQA右的影响线。

FP=1DACB2m2m(a)4m(b)MA影响线24/3(c)MC影响线4/3(d)FQA左影响线11/3习题8.6图 1(e)FQA右影响线

【解】MA、MC、FQA左、FQA右的影响线分别如习题8.6(b)、(c)、(d)、(e)图所示。 习题8.7 作习题8.7(a)图所示结构中截面C的MC、FQC的影响线。

FP=1ACBDEaa(a)0.5aaa(b)MC影响线0.5a0.5(c)FQC影响线0.50.5习题8.7图

【解】MC、FQC的影响线分别如习题8.7(b)、(c)图所示。

习题8.8 作习题8.8(a)图所示梁MA、FRB的影响线。

FP=1AB3m(a)32m(b)MA影响线21习题8.8图

(c)FRB影响线

【解】MA、FRB的影响线分别如习题8.8(b)、(c)图所示。

习题8.9 作习题8.9(a)图所示主梁在间接荷载作用下的MK、FQK的影响线。

FP=1A4m1.62mK2m2m(a)1.2(b)MK影响线1.20.2(c)FQK影响线0.2习题8.9图

2m4m0.4【解】MK、FQK的影响线分别如习题8.9(b)、(c)图中实线所示。

习题8.10 作习题8.10(a)图所示斜梁FRA、FRB、MC、FQC的影响线。

xCAFP=1Bal1(a)b(b)FRA影响线1(c)FRB影响线ab/l(d)MC影响线bcosl(e)FQC影响线

acosl习题8.10图

【解】单位力沿水平方向移动，则影响线沿水平方向绘制。FRA、FRB、MC、FQC

的影响

线分别如习题8.10(b)、(c)、(d)、(e)图所示。

习题8.11 作习题8.11(a)图所示刚架MC（设下侧受拉为正）、FQC的影响线。FP =1沿柱高AD移动。

DFP=1Al/2h/2D(a)Dl/2h/lBChA(b)MC影响线习题8.11图

A(c)FQC影响线

【解】MC、FQC的影响线分别如习题8.11(b)、(c)图所示。

习题8.12 习题8.12(a)图所示结构，FP =1在AB上移动，作FQC、MD、FQD的影响线。

FP=1AECBDF2m2m(a)2m2m0.5(b)FQC影响线1(c)MD影响线(d)FQD影响线0.5习题8.12图

【解】FQC、MD、FQD的影响线分别如习题8.12(b)、(c)、(d)图所示。

习题8.13 用机动法作习题8.13(a)图所示静定多跨梁的FRB、ME、FQB左、FQB右、FQC的影响线。

AEBCD3m2m6m(a)13m3m11/82m(b)FRB影响线3/81.511/121/2(c)ME影响线3/49/43/811(e)FQB右影响线12/3(f)FQC影响线2/33/81/4(d)FQB左影响线

习题9.15图

【解】FRB、ME、FQB左、FQB

右

、FQC的影响线分别如习题8.13(b)、(c)、(d)、(e)、(f)图

所示。

习题8.14 利用影响线，求习题8.14(a)图所示固定荷载作用下截面K的内力MK和FQK左。

150kN150kNAK2m2m2m2m(a)4/31/3(b)MK影响线4/31/32/31/31/12(c)FQK左影响线4m30kN/mBC1m

习题8.14图

【解】（1）作MK的影响线，如习题8.14(b)图所示。

MKFPiyiqiAii1i1nm411241 1503061

323332 185kNm（2）作FQK左的影响线，如习题8.14(c)图所示。此时，截面K处集中荷载的竖标应为其

1右侧的。则有

3111111FQK左15030613212 332 28.75kN 习题8.15 试求习题8.15(a)图所示梁在两台吊车荷载（轮压均为FP=82kN）作用下，支座B的最大反力和截面D的最大弯矩。

82kNADB3m6m0.611FP21.51FP(a)9m0.833FPFP0.444(b)FRB影响线82kN82kN1.5m3.5m3.5m82kNC10.8330.333FPFPFPFPFPFP(c)MD影响线ⅠⅡ

习题8.15图

【解】（1）FRB的影响线及FRBmax的最不利荷载位置，如习题8.15(b)图所示。则

FRBmax82(0.61110.8330.444)236.9kN

（2）作MD的影响线，如习题8.15(c)图所示。可能的最不利荷载位置见图中Ⅰ、Ⅱ两种情况。 情况Ⅰ

MI82(21.50.333)314.3kNm

情况Ⅱ

MII82(120.833)314.3kNm

故Ⅰ、Ⅱ两种位置均为最不利荷载位置，MDmax为

MDmax314.3kNm

习题8.16 用机动法作习题8.16(a)图所示连续梁MK、MB、FQB左、FQB右影响线的形状。若梁上有随意布置的均布活荷载，请画出使截面K产生最大弯矩的荷载布置。

ABCKDE(a)(b)MK影响线(c)MKmax载荷布置(d)MB影响线(e)FQB左影响线(f)FQB右影响线习题8.16图

【解】习题8.16(b)、(c)图所示分别为MK的影响线及MKmax的荷载布置。习题8.16(d)、(e)、(f)图所示分别为MB、FQB左、FQB右影响线的形状。

第9章 矩阵位移法习题解答

习题9.1 是非判断题

（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。（ ）

（2）矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。（ ） （3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。（ ）

（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。（ ） （5）结构刚度矩阵与单元的编号方式有关。（ ）

（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。（ ） 【解】（1）正确。

（2）错误。位移法中某些不的杆端位移不计入基本未知量。

（3）错误。不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。 （4）正确。

（5）错误。结点位移分量统一编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。 （6）错误。二者只产生相同的结点位移。 习题9.2 填空题

（1）矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的________，其二是________分析，其三是________分析。

e（2）已知某单元○e的定位向量为[3 5 6 7 8 9]T，则单元刚度系数k35应叠加到

结构刚度矩阵的元素____中去。

（3）将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是________________。

（4）矩阵位移法中，在求解结点位移之前，主要工作是形成________________矩阵和________________列阵。

（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为Δ2[u2v22]T=[0.8 0.3 0.5]T，单元①的始、末端结点码为3、2，单元定位向量为λ(1)[000345]T，设单元与x轴之间的夹角为π，则δ(1)________________。 2（6）用矩阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为

Fe[7.54870.97.8121.09]T，则该单元的轴力FN=______kN。

【解】（1）离散化，单元，整体； （2）k68；

（3）结点位移相等；

（4）结构刚度，综合结点荷载； （5）[0 0 0 0.3 -0.8 0.5]T； （6）-7.5。

习题9.3 根据单元刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.3图所示刚架的K(1)中元

(1)(1)(1)(1)(1)(1)素k11、k23、k35的值以及K(1)中元素k11、k23、k35的值。

x1l,E,A,Iy

习题9.3图

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.3图所示。因此，各刚度系数的值为

(1)(1)(1)k11EA/l，k236EI/l2，k356EI/l2； (1)(1)(1)k1112EI/l3，k230，k350。

k11(1)k231(1)k3511(1)111(a)k11的物理意义1(1)(b)k23的物理意义k23(1)(1)(c)k35的物理意义k35(1)(1)(1)k111111(d)k11的物理意义(1)(e)k23的物理意义(1)(f)k35的物理意义(1)1

习题解9.3图

习题9.4 根据结构刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.4图所示刚架结构刚度矩阵中的元素k11、k21、k32的值。各杆E、A、I相同。

1(1,2,3)213(0,0,0)2ly2(0,0,4)xl 习题9.4图

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.4图所示。因此，各刚度系数的值为

k11k2111=112EIEA3EIk0，，。 k2132l32l4l22=1221k321k11(a)k11和k21的物理意义1(b)k32的物理意义

习题解9.4图

(1)习题9.5 用简图表示习题9.5图所示刚架的单元刚度矩阵K(1)中元素k23，K(2)中元素(2)k44的物理意义。

1x122y3 习题9.5图

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.5图所示。

k441112k23=FQ2(a)k23的物理意义(1)(1)(1)(2)1223(2)(b)k44的物理意义

习题解9.5图

习题9.6 习题9.6图所示刚架各单元杆长为l，EA、EI为常数。根据单元刚度矩阵元素的物理意义，写出单元刚度矩阵K(1)、K(2)的第3列和第5列元素。

1y2x 习题9.6图

【解】各列刚度系数的物理意义如习题解9.6图所示。因而

6EIK中第3列元素：0l2(1)4EIl6EI02l2EI l6EI2 lTTT12EIK(1)中第5列元素：03l(2)6EI2l4EIl12EI0l3K6EI中第3列元素：2l06EI2l02EI lK(2)EA00中第5列元素：0lEA0 lT(1)k13k33(1)11(1)k43(1)(1)k63k53(1)k15k35(1)1(1)(1)k65(1)(1)k45(1)(1)k23k25(b)Kk55(a)K(1)第3列元素的物理意义k53(2)(2)第5列元素的物理意义k55(2)k63k43(2)k65k45(2)(2)2k13(2)21k15(2)k33(c)K(2)(2)(2)k23k35(d)K(2)(2)k25(2)第3列元素的物理意义第5列元素的物理意义11

习题解9.6图

习题9.7 用先处理法，对习题9.7图所示结构进行单元编号、结点编号和结点位移分量编码，并写出各单元的定位向量。

习题9.7图

【解】离散化结果如习题解9.7图所示。因而，各单元定位向量为

λ(1)100234，λ(3)567009 λ(2)234567，λ(4)568000。

1(1,0,0)1y3(5,6,7)35(0,0,9)2(2,3,4)2x46(0,0,0)TTTT4(5,6,8)

习题解9.7图

本题可有多种离散化方法，因此上述答案不是唯一的正确答案。 习题9.8 用先处理法形成习题9.8图所示结构的综合结点荷载列阵。

4kN5kN·m12346kN/mm4m3m 习题9.8图

【解】离散化如习题解9.8图所示。

1(1,0,2)1y2(3,4,5)245(0,0,0)3(6,7,8)34(0,9,0)x 习题解9.8图

非结点荷载引起的单元固端力为

FP(2)01280128，FP(3)094.5094.5

各单元的等效结点荷载列阵为

TT(2)3P(2)E45678TTFT(2)PF(2)P012801288090

(3)67P(3)ETFT(3)PF(3)P094.5094.5T

集成为结构的等效结点荷载列阵

PE0001280213.59

直接结点荷载列阵为

TPJ050400000

综合结点荷载列阵为

TPPJPE0501680213.59

习题9.9 用先处理法求习题9.9图所示连续梁的结构刚度矩阵和结构的综合结点荷载列阵。已知：EI=2.4104kNm2。

8kN8kN15kN·mEI4m6kN/m2EI3EI5m4T2m2m2m

习题9.9图

【解】离散化如习题解9.9图所示。本题无需坐标转换。

1(1)12(2)23(3)34(4)

习题解9.9图

先求结构刚度矩阵。各单元的单刚为

1K(1)2233411/212/31/324/52/53 (2)(3)EIKEIKEI1/212，1/32/33，2//54集成即可得到结构刚度矩阵

002.41.20.011/25/31/304.00.84KEI10对对22/152/53.52称4/5称0.00.0 0.961.92再求综合结点荷载列阵。非结点荷载作用单元的等效结点荷载列阵为

23T34TPE(2)10.6710.67，PE(3)12.512.5

集成为结构的等效结点荷载列阵

PE010.671.8312.5

综合结点荷载列阵为

习题9.10 用先处理法求习题9.10图所示结构刚度矩阵。忽略杆件的轴向变形。各杆EI=5105kNm2。

123T45m5mm

习题9.10图

【解】离散化如习题解9.10图所示。因为不计各杆轴向变形，所以本题只涉及转角位移未知量，无需坐标转换。

各单元的单刚为

122320304/52/514/52/5211/2211/23 (2)(3)(4)K(1)EIKEIKEIKEI2//531/2101/2102//52，，，集成即可得到结构刚度矩阵

04/52/5420 5KEI2/513/52/51021322/59/500291(1)13y4(0)2(2)245(0)3(3)x 习题解9.10图

习题9.11 用先处理法建立习题9.11图所示结构的矩阵位移法方程。已知：各杆EA=4105kN，EI=5104kNm2。

8kN129kN/m343m4m4m

习题9.11图

【解】1）离散化如习题解9.11(a)图所示。

FP38kN1(0,1,0)1y34(0,0,0)(a) 离散化习题解9.11图

9kN/m2(2,3,4)23(5,0,6)xFP2FP4FP6FP5FP1(b) 附加约束上的反力

2）计算结构刚度矩阵 各单元单刚分别为：单元①

010234010 2340013.330013.3302.2223.33302.2223.33303.3336.66703.3333.3331040013.330013.3302.2223.33302.2223.33303.3333.33303.3336.667K(1)K(1)单元②

234506234 5060010.000010.0000.93751.87500.93751.87501.8755.00001.8752.5001040010.000010.0000.93751.87500.93751.8751.8752.50001.8755.0000K(2)K(2)单元③

234000234 000K(3)01.8750.937501.8750.9375010.000010.0001.87505.0001.87502.500TTK(3)T10401.8750.937501.8750.9375010.000010.0001.87502.5001.87505.000集成为总刚

02.2223.333002.222024.2701.87510.0002.222013.161.45801.875 K10402.5003.3331.8751.45816.67010.000010.000001.8752.50005.0002）计算综合结点荷载列阵

除可以按照习题9.8的方法计算外，还可以直接根据其物理意义形成综合结点荷载列阵。具体做法如下：

将原结构上各结点位移未知量利用附加约束住后，施以原结构所受荷载。这一过程可理解成在矩阵位移法（先处理法）的基本结构上，作用外荷载，形成如习题解9.11(b)图所示的矩阵位移法基本体系。由此，可得各附加约束上的反力为

FPFP1FP2FP3FP4FP5FP6801812012

TT因此，综合结点荷载列阵为

PFP801812012

3）列出结构刚度方程K=P

2.222104024.272.2223.333001.87510.0013.161.458016.670称10.000180u201.875218 2.5002120u30125.0003T对习题9.12 用先处理法计算习题9.12图所示刚架的结构刚度矩阵。已知：EA=3.2105kN，EI=4.8104kNm2。

2135m4m

习题9.12图

【解】离散化如习题解9.12图所示。各单元单刚分别为

2(2,3,4)123(0,0,0)y1(0,1,0)x 习题解9.12图

单元①

234010234 010006.400006.40000.46081.15200.46081.15201.1523.84001.1521.9201046.400006.4000000.46081.15200.46081.15201.1521.92001.1523.84K(1)K(1)单元②

234000234 00001.8000.900001.8000.900008.000008.00001.80004.8001.80002.400TTK(2)T10401.8000.900001.8000.900008.000008.00001.80002.4001.80004.800K(2)集成为总刚

0.46084K10对07.300称0.460808.4611.1521.800 1.1528.0习题9.13 用先处理法计算习题9.13图所示组合结构的刚度矩阵K。已知：梁杆单元的EA=3.2105kN，EI=4.8104kNm2，链杆单元的EA=2.4105kN。

43m14m24m3 习题9.13图

【解】离散化如习题解9.13图所示。这里利用一般单元来计算链杆单元③，令其EI为零，则该单元的杆端转角为无意义的杆端位移，可为任意值。单元③的杆端位移编码如习题解9.13图所示，其杆端转角在结点4处为“0”，表示无杆端转角；在结点2处为“3”，表示与单元①和②在该端的转角相同。

点位移分量统一编码应给为“0”，再令该单元EI为零。

4(0,0,0)xy3EI(3)=02(1,2,3)2习题解9.13图

1(0,0,0)13(0,4,0)

各单元单刚分别为 单元①和②

(1)0(2)10203102430123040(1)(2)000123

K(1)K(2)K(1)008.000008.00000.9001.80000.9001.80001.8004.80001.8002.4001048.000008.0000000.9001.80000.9001.80001.8002.40001.8004.800000123000000000 123单元③

2.3043.0722.3041.72800TTK(3)T1043.0722.3042.3041.7280003.0722.30402.3041.72800003.0722.30402.3041.728000K(3)集成为总刚

19.074K10对2.3043.528称009.60000.900 1.8000.900习题9.14 若用先处理法计算习题9.14图所示结构，则在结构刚度矩阵K中零元素的个数至少有多少个？

5234617习题9.14图

【解】离散化如习题解9.14图所示，则各单元定位向量为

5(8,9,10)2(1,2,3)11(0,0,0)y236(0,0,11)x3(4,5,6)4(4,5,7)7(0,0,0) 习题解9.14图

(1)[123000]T，(2)[123456]T，(3)[10457]T (4)[457000]T，(5)[100011]T

根据单元定位向量，判定各结点位移分量间的相关性。这里参考【例10.2】的方法，具体为：位移分量1~3、6均与位移分量7~11无关，得到无关分量20对；位移分量4、5、7与位移分量11无关，得到无关分量3对；合计无关分量共23对。说明K上半三角中，至少有23个元素为零，因此整个K中至少应有46个零元素。

习题9.15 试用矩阵位移法计算习题9.15图所示连续梁，并画出弯矩图。各杆EI=常数。

6kN/mA4mB4m习题9.15图

20kNC2mD2m

【解】1）离散化如习题解9.15(a)图所示。连续梁无需坐标转换。

10.81(0)12(1)23(2)34(0)122013.22.43.6(a) 离散化习题解9.15图

(b)M图(kN·m)

2）计算总刚 各单元刚度矩阵为

01122011/2011/2111/22 (2)(3)K(1)EIKEIKEI1/2121/2101/211，，集成为总刚

21/2 KEI1/223）计算综合结点荷载列阵

按照习题9.11中综合结点荷载列阵的解法，在2、3两结点上附加刚臂，易求得

FPFP1因此，综合结点荷载列阵为

FP2810

TTPFP810

4）解结构刚度方程K=P，得

T5）求单元杆端力 根据FeKeeFPe，得

1T5.66.4 EI(1)11/2100810.8

F(1)K(1)(1)FP(1)K(1)(1)FP(1)EIEI5.6182.41/21(2)F(2)K(2)(2)F(2)P11/215.6102.4 EIEI6.4203.61/21(3)11/216.42103.6

F(3)K(3)(3)FP(3)EIEI001013.21/216）绘弯矩图，如习题解9.15(b)图所示。

习题9.16 用先处理法计算习题9.16图所示刚架的内力，并绘内力图。已知：各杆E=3107kN/m2，A0.16m2，I0.002m4。

5kN8kN/mABC4m3m

习题9.16图

【解】1）离散化如习题解9.16(a)图所示。

14.561(0,0,0)1y22(0,0,0)(a) 离散化2.793(1,2,3)x1.5.56(b)M图(kN·m)18.5022.2213.501.47.8287(c)FQ图(kN)(d)FN图(kN)

习题解9.16图

2）计算总刚

单元①无需坐标转换，其单元刚度矩阵为

01200010412000001.1252.2501.1252.25002.25602.25311200012000201.1252.2501.1252.25302.25302.256000 123K(1)K(1)单元②的坐标转换矩阵为

0.80.600000.60.800000010000000.80.600000.60.80000001 T(2)则其刚度矩阵为

0001230.8061.6545.80.861.65.845.834.931.15245.834.931.15200.81.1524.80.81.1522.40 T(2)4TKT1061.65.80.861.6545.80.8145.834.931.15245.834.931.15220.81.1522.40.81.1524.83K(2)集成为总刚

45.80.8181.6 K1045.836.053.4020.83.40210.843）计算综合结点荷载列阵 各单元的等效结点荷载列阵为

(1)0P(1)E00123TF(1)P01610.6701610.67

集成得结构的等效结点荷载列阵

PE01610.67

综合结点荷载列阵为

TPPEPJPE05002110.67

4）解结构刚度方程K=P，得

TT1051.85137.48107.3719

5）求单元杆端力

根据FeTe(Kee)FPe，得

0012001.1252.2502.256K(1)(1)FP(1)1040012001.1252.25单元①定位向量 2.253000022.22001618.500010.6714.561051.85131022.227.481021613.507.3719310.674.56120001200001.1252.2501.1252.2502.25302.256TF(1)

F(2)T(2)(K(2)(2))0.80.600000.60.800000010000000.80.600000.60.80000001单元②定位向量 0.861.6545.80.861.65.80045.834.931.1520045.834.931.15240.81.152004.80.81.1522.451010

61.65.80.861.6545.80.81.8513145.834.931.15245.834.931.1527.481020.81.1522.40.81.1524.87.3719328.871.472.7928.871.474.56T6）绘内力图，如习题解9.16(b)~(d)图所示。

E=3107kN/m2，习题9.17 用矩阵位移法计算习题9.17图所示平面桁架的内力。已知：

各杆A0.1m2。

AB8kN3mC4m习题9.17图

D20kN 【解】1）离散化如习题解9.17(a)图所示。

1(0,0)1453(0,0)y2(a) 离散化4(3,4)-15.49(b)FN图(kN)32(1,2)x19.1819.368.385.98-13

习题解9.17图

2）计算总刚

单元①和②无需坐标转换，其结构坐标系中的单刚分别为

07.550107.500000017.507.502000000，K(2)K(2)1207.550107.500000037.507.504000000

34K(1)K(1)单元③的πrad，结构坐标系中的单刚为 210T(3)60TKT100020101300004010112

34K(3)单元④的0.35rad，结构坐标系中的单刚为

003400 342.883.842.883.842.162.882.16T(4)52.88TKT103.842.883.842.882.882.162.882.16K(4)单元⑤的0.35rad，结构坐标系中的单刚为

001200

123.842.883.842.882.162.882.16T(5)52.88TKT103.842.883.842.882.882.162.882.16K(5)集成总刚为

0011.342.882.8812.160105 K100011.342.88102.8812.1603）计算综合结点荷载列阵

PPJ80020

4）解结构刚度方程K=P，得

T1052.55747.29192.098.1304

5）求单元杆端力

根据FeTe(Kee)，可求得各单元的杆端轴力。这里以单元⑤为例，其杆端轴力为

0.8F(5)T(5)(K(5)(5))03.842.882.1652.88103.842.882.882.160.6000.800.6单元⑤定位向量 T3.842.8800 002.882.1613.981052.557413.842.8813.982.882.167.291926）各杆轴力如习题解9.17(b)图所示。

第10章 结构的动力计算习题解答

习题10.1 是非判断题

(1) 引起单自由度体系自由振动的初速度值越大，则体系的自振频率越大。（ ） (2) 如果单自由度体系的阻尼增大，将会使体系的自振周期变短。（ ） (3) 在土木工程结构中，阻尼对自振周期的影响很小。（ ）

(4) 由于各个质点之间存在几何约束，质点体系的动力自由度数总是小于其质点个数。（ ）

(5) 多自由度的自振频率与引起自由振动的初始条件无关。（ ） (6) n个自由度体系有n个自振周期，其中第一周期是最长的。（ ）

(7) 如果考虑阻尼，多自由度体系在简谐荷载作用下的质点振幅就不能用列幅值方程的方法求解。（ ）

【解】(1) 错误。体系的自振频率与初速度无关，由结构本身的特性所决定。 (2) 错误。由阻尼结构的自振频率r12可知，阻尼增大使自振频率减小，自振周期变长。

(3) 正确。

(4) 错误。由动力自由度的概念知，动力自由度数与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。

(5) 正确。 (6) 正确。 (7) 正确。

习题10.2 填空题

2y2yFP(t)/m，其中未考虑重力，这是因为(1) 单自由度体系运动方程为y__________。

(2) 单自由度体系自由振动的振幅取决于__________。

(3) 若要改变单自由度体系的自振周期，应从改变体系的__________或__________着手。

1(4) 若由式求得的动力系数为负值，则表示__________。 21(5) 习题10.2(5)图所示体系发生共振时，干扰力与__________平衡。

ckW FP sint12-2(5)习题 图习题10.2(5)图

(6) 求习题10.2(6)图所示质点系的自振频率时(EI＝常数)，其质量矩阵[M]=

__________。

FP sint2mmmm(7) 习题10.2(7)图所示体系不考虑阻尼，EI＝常数。已知=0.6 (为自振频率)，其动

力系数＝__________。

m =2m2y (t)2

习题10.2(6)图 习题10.2(7)图

12-2(7)习题 图12-2(6)习题 图 m =m1y (t)1

习题 图习题12-2(8)10.2(8)图

1(8) 已知习题10.2(8)图所示体系的第一主振型为Y(1)，利用主振型的正交性可求

2得第二主振型Y(2)=__________。

(9) 习题10.2(9)图所示对称体系的第一主振型Y(1)=__________，第二主振型

Y=__________。

(2)mEImaaaa

12-2(9)习题 图习题10.2(9)图

【解】(1) 以重力mg作用时的静平衡位置为y坐标的起点。

(2) 初位移、初速度及体系的自振频率。 (3) 质量，刚度。

(4) 质点动位移的方向与简谐荷载方向相反。 (5) 阻尼力。 m00(6) 0m0。

003m(7) 1.5625。根据公式=1(8) 。

-0.2511-22计算。

11(9) ，。利用对称性。

-11习题10.3 确定习题10.3图所示质点体系的动力自由度。除注明者外，各受弯杆EI＝常数，各链杆EA＝常数。

EI0=∞EI(a)(b)(c)(d)(a) (b) (c) (d)

习题 图12-3习题10.3图

【解】(a) 2；(b) 3；(c) 2；(d) 4，在两个质量上分别附加2个支杆。

习题10.4 不考虑阻尼，列出习题10.4图所示体系的运动方程。

k1 FP costEI0=∞mEI0=∞llmlmlmEI0=∞EIEIEIlM(t)l

(2)

习题10.4图

(1) (3)

【解】(1)用刚度法。设自由振动的任一时刻t，刚性杆绕B点的转角为，此时体系受力情况如习题解10.4(1)图所示。

k1lk1l-mlBl2l习题解10.4(1)图

-2mlmm

由MB0列动平衡方程得

lm2l2lk1ll0 -ml化简得

k1l20 5ml2(2) 用刚度法。设质点m的位移y向右为正。先求体系的刚度系数k11，如习题解10.4(2).(a)

图所示。

k11= 12EI/l3 12EI/l3 6EI/l21 cost FP k11y-my 6EI/l2(a) M1图及刚度系数

(b) 受力图

习题解10.4(2)图

然后取质点连同横梁为隔离体，其受力图如习题解10.4(2).(b)图所示。由Fx0，得

FPcost0 k11ymy即 my12EIyFPcost l3(3) 用柔度法。绘M1图和MP图，分别如习题解10.4(3).(a)、(b)图所示。 由图乘法公式，得

2122l3111lll，1PEI3EI23EI1PM(t)，整理得：列位移方程y11myyll212ll36EI 3EI1yM(t) 2ml34ml11ll(a) M1图

习题解10.4(3)图

1

(b) MP图

习题10.5 求习题10.5图所示单自由度体系的自振频率。除注明者外，EI＝常数。k1为

弹性支座的刚度系数。

mmk1=3EI/4ll/2l/2

2m2m

(1) (2)

mk1=EI/l3l/2(3)

mEI0=∞EIlk1=EI/l3EIl/2 (4)

mmmll(5)

l

(6)

ll习题10.5图

5l3【解】(1) 绘M1图，如习题解10.5(1)图所示。则由图乘法公式，得11

48EI则=148EI。 m115ml3l/21l/412-5(a)习题解 图习题解10.5(1)图

(2) 在质点处施加竖向单位力，体系的位移图和M1图分别如习题解10.5(2).(a)、(b)图所

示。

1m1210.5/k11m0.5

(b) M1图

(a) 位移图

习题解10.5(2)图

10.51由习题解10.5(2).(a)图得1=

2k13EI由M1图得2=故1112M12EIds4 3EI13EI5，则 m115m3EI(3) 使质点沿运动方向发生单位位移，求刚度系数，如习题解10.5(3).(a)、(b)图所示。

k1113EI/ (l /2)3k13EI/ (l /2)21k2(a) 刚度系数

习题解10.5(3)图

(b) M1图

k13EI48EIEIk2， 23l3l3l/2k1149EI49EI， 33mmll则 k11k1k2(4) 求刚度系数，画M1图，如习题解10.5(4)图所示。

k117EI3EI7EI， k1333mmlllk1k1113EI/l3k1k1123EI/l23EI/l2习题解10.5(4)图 M1图

(5) 求柔度系数，绘M1图，如习题解10.5(5)图所示。

1ll 习题解10.5(5)图 M1图

2122l3111lll，=EI3m1123EI3EI 4ml3(6) 求柔度系数，绘单位力作用下的MP图和基本体系M1图，如习题解10.5(6).(a)、(b)图所示。

11l/5l4l/52l/5 (a) MP图

习题解10.5(6)图

(b) M1图

ll115EI8l3由两图图乘公式，可知11，则 m118ml315EI习题10.6 求习题10.6(a)图所示体系的自振频率。除杆件AB外，其余杆件为刚性杆。

2AmEI0=∞B2m2AmC6EIA/l32ABEI0=∞EI0=∞EIlmAAmEDA6EIA/l2l/2lm2A

(b)

(a)

习题10.6图

【解】绘体系的位移幅值图及相应的受力图如习题解10.6(b)图所示。体系为两个质点的单自由度体系，可通过列幅值方程求。

沿柱AB的顶部切取BCDE为隔离体，由MD0得

l6EIAm2A2m2Al3l0

2l得12EI 5ml3mEI0=∞EIEIm习题10.7 求习题10.7图所示体系的自振周期。

EIEIlll

(a)(1)

EIEIEAEA4m4m4m4m(c)mmEAEAEIEIEAEA4m4m6m3m(b)(2)

4m4m

(3) 12-7习题 图习题10.7图

【解】(1) 求刚度系数，绘体系发生单位水平位移时的M1图，如习题解10.7(1)图所示。则

2mml312EI3EI15EI 22k11333，Tk1115EIlll12EI/l33EI/l31k11=15EI/l36EI/l23EI/l2习题解10.7(1)图 M1图

(2) 求柔度系数，绘单位力作用下的MP图和基本体系M1图，如习题解10.7(2)图所示。

11ll/2l(a) MP图

习题解10.7(2)图

l (b) M1图

l 由图乘法公式，可知

111EI2117l312ll3lll(2l4l)12EI 7ml32m112则T 12EI2(3) 绘体系在竖向单位力作用下的M1图及FN1图，如习题解10.7(3)图所示。

1-220.55/35/320.5 则 11M1N3581138ds1l EIEA3EI9EA3EI习题解10.7(3)图 M1图和FN1图

习题解 图2212-7(c)T2m1121138m 3EI习题10.8 某单质点单自由度体系由初位移y0=2cm产生自由振动，经过八个周期后测得振幅为0.2cm，试求阻尼比及在质点上作用简谐荷载发生共振时的动力系数。

【解】阻尼比 12nlny012ln0.046 yn280.21110.9 220.046共振时 习题10.9 求习题10.9(a)图所示梁纯强迫振动时的最大动力弯矩图和质点的振幅。已知：

质点的重量W24.5kN，FP10kN，52.3s1，EI3.2107Nm2。不计梁的重量和阻尼。

FP sintEIW4m2m

(a)

2m128.2kN.m FP

(b) M1图

习题10.9图

(c) Md.max图

【解】在质点处施加竖向单位力，绘M1图，如习题10.9(b)图所示。由M1图求得

111EI21281422222 2323EIg9.83.2107则 40s1 3W1124.5108212梁纯强迫振动时的最大动力弯矩图如习题10.9(c)图所示。质点最大动位移为

8ymax11FP1.41101033.525103m 73.210习题10.10 求习题10.10(a)图所示刚架稳态振动时的最大动力弯矩图和质点的振幅。已

知：FP2.5kN，4，EI2.8104kNm2。不考虑阻尼。 337.5kN.m FP costEI15m5m7.5kN37.5kN.m111.41 52.321402EI3m(a)

(b) M1图

习题10.10图

(c) Md.max图

5m

【解】在质点处施加水平单位力，绘M1图，如习题10.10(b)图所示。由M1图求得

111EI2122001555355 23233EI112214133

AFP1132.52000.0179m

32.8104则刚架稳态振动时动力幅值为FP=7.5kN，其最大动力弯矩图如习题10.10(c)图所示。 习题10.11 习题10.2(5)图中，一个重量W = 500N的重物悬挂在刚度k = 4103N/m的弹簧上，假定它在简谐力FPsin（FP=50N）作用下作竖向振动，已知阻尼系数c = 50N·s/m。试求：(1) 发生共振时的频率；(2) 共振时的振幅；(3) 共振时的相位差。

k11kg41039.88.85s1 【解】(1) 共振时mW500(2) ystFP5012.5103m 3k410ccg509.80.05 2m2W25008.85119.025

220.05振幅 Ayst9.02512.5103112.8103m (3) tan2 故  222习题10.12 在习题10.9(a)图所示梁的质点上受到竖直向下的突加荷载FP(t)20kN作用，求质点的最大动位移值。

【解】对于突加常量荷载有2，所以质点的最大动位移值为

80.01m

3.2107习题10.13 求习题10.13(a)图所示单自由度体系作无阻尼强迫振动时质点的振幅。已知

ymaxystFP1122010324EIml3。

qq( sintt)=1EIl/2ml/2l/4

(b) M1图

q (a)

1l2/8 Am2A (c) MP图

习题10.13图

(d) 幅值法

【解】绘M1图和MP图，分别如习题10.13(b)、(c)图所示。计算柔度系数

21ll2ll322ll25l5l4，1P 11EIEI32884384EI2243448EI将荷载幅值q和惯性力幅值m2A加在体系上，如习题10.13(d)图所示，列位移幅值方程

A11m2A1Pq

1Pq5ql4则A

111m2192EI习题10.14 求习题10.14图所示体系的自振频率和主振型，绘出主振型图。

mmEIEIlmEIEIEIll/2(1)l/2l(2)lEIm =12mk =3EI/l3EA=∞l(3)mEI3mm =m2EI0=∞EIm =12mEI0=∞l

m =m2EIEI(5)4m4mEA=常数(4)习题10.14图

【解】(1) 绘M1图和M2图，分别如习题解10.14(1).(a)、(b)图所示。

l11l/4ll (1) 图M1(a) M1图

12-14(a)习题解 图习题解10.14(1)图

(2) 图M2(b) M2图

计算柔度系数

21ll2ll311EI2243448EI2122l322lllEI33EI211221EI1lll32l4216EI

11代入公式1,2(11m122m2)(11m122m2)24(11221221)m1m2得

22ml3ml3，20.0148 10.6727EIEI自振频率 1111.2192EI1EI， 8.21992ml3ml32 1 1(2)Y=主振型 Y(1)=，

10.4290.096(2) 绘体系在水平单位力作用下的M1图和竖向单位力作用下的M2图，分别如习题解10.14(2).(a)、(b)图所示。

ll1l1 (a) 图 (1)MM 图11M(b) (2) 图M22图

计算柔度系数

习题解10.14(2)图

12-14(b)习题解 图112l32l32l3lll，22，1221 11EI233EI3EI3EI又有 m12m m2m

11代入公式1,2(11m122m2)(11m122m2)24(11221221)m1m2得

223ml3ml33ml3ml31(1)1.577)0.423，2(1

3EIEI3EIEI自振频率 1110.796EI1EI， 1.538233mlml2 1 1(2)主振型 Y(1)=，Y=

-0.7312.731(3) 绘体系发生单位位移时的M1图和M2图，分别如习题解10.14(3).(a)、(b)图所示。

k = k11213EI/l2m 13EI/l3kkm m 2m 1k =-k12m m 2k =-k211k =k22

(a) M1图

习题解10.14(3)图

(b) M2图

计算刚度系数

k112将所求的刚度系数代入公式1,26EI2k，k22k，k12k21k l3k1k11222m1m21k11k22k11k22k12k21得 2mmmm212121(632)EIEI(632)EIEI0.93742.2630， 22ml3ml32ml3ml3 1 1(2)Y=主振型 Y(1)=，

1.4142-1.4142(4) 绘体系在水平单位力作用下的FN1图和竖向单位力作用下的FN2图，分别如习题解10.14(4).(a)、(b)图所示。

111001000 -2/3-12.5/3-2/32.5/3(1) 图N1FN1图 (a)

习题解10.14(4)图 12-14(d)习题解 图N2 图F(b) (2)N2图

计算柔度系数

FN12411lEAEA1221FN1FN2128l14EAEA3EA32213.5FN221222.522l521342EAEA33EA

11代入公式1,2(11m122m2)(11m122m2)24(11221221)m1m2得

221自振频率 110.2614.1974m3.3027m，2 EAEAEA`1EA` 2 0.5503mm21 1 1(2)Y=主振型 Y(1)=，

3.82400.2615(5) 绘体系发生单位位移时的M1图和M2图，分别如习题解10.14(5).(a)、(b)图所示。

6EI/l26EI/l2k216EI/l26EI/l21k226EI/l26EI/l21k116EI/l26EI/l2k126EI/l26EI/l2 (a) (1)M1M1图 图习题解10.14(5)图

12-14(e)习题解 图M2图 (b) (2) 图M2计算刚度系数

k11令k12EI48EI12EI24EI12EI24EI， 4k2kk2221221l3l3l3l3l3l324EI，则有k112k，k22k，k12k21k，将所求的刚度系数代入公式l3221,21kkkkkkk1k1122112211221221得 2m1m2m1m22m1m21,22(1即 12.65132k224EI)(1) 2m2ml3EIEI6.4008， 2ml3ml3 1 1(2)主振型 Y(1)=，Y=

1.4142-1.4142习题10.15 习题10.15图所示两层刚架的楼面质量分别为m1120t、m2100t，柱的质量已集中于楼面；柱的线刚度分别为i120MNm，i214MNm，横梁的刚度为无限大。在二层楼面处沿水平方向作用简谐干扰力FPsint，已知Fp5kN,15.71s1。试求第一、第二层楼面处的振幅值和柱端弯矩的幅值。

FP sintm 2m 1i 1i 14m4m i 2i 2 习题10.15图

【解】本题采用刚度法，先求振幅。

刚度系数 k1151MN/m，k2221MN/m，k12k2121MN/m

FP10，FP25kN

代入求振幅的方程式

2(k11m1)A1k12A2FP1 2k21A1(k22m2)A2FP2解得

A10.202103m，A20.206103m

再求柱端弯矩幅值

6i1620106一层：M110.2021036.06103Nm

l46i2614106二层：M22(0.2060.202)1030.084103Nm

l4习题10.16 已知习题10.15图所示刚架的自振频率19.9s1，223.2s1，主振型

Y1.00(1)1.87、Y(2)1.000.。用振型分解法重做习题10.15。

TT120103 0 1 1【解】主振型矩阵Y，质量矩阵 M3 0 100101.87 0.广义质量

M1Y(1)T120103 015MY11.874.697103100101.87 0(1)(2)M2Y(2)T120103 015MY10.1.61010 3100100. 0广义荷载

F1(t)Y(1)TFP(t)101.879350sint(N)

FsintP00.3200sint(N)

FsintPF2(t)Y(2)TFP(t)1F1(t) M11(t)121(t)广义坐标 由式itMii22Fit得(也可用杜哈梅积分)

1(t)同理

F1(t)9350sint13.3784105sint 22522M1(1)4.69710(9.915.71)F2(t)3200sint6.8199105sint 22522M2(2)1.61010(23.215.71)2(t)则质点动位移为

113.3784y1 10.20253 10sintY(t)10sint 0.2061.870.6.8199y2振幅 A10.202103m，A20.206103m

习题10.17 用能量法求习题10.17图所示简支梁的第一频率。已知m2ml，m为梁单

位长度的质量。

(1) 设Y(x)asin(2) 设Y(x)xl（无集中质量时简支梁的第一振型曲线）。

FP(3l2x4x3)(0xl2)(跨中作用集中力FP时的弹性曲线)。 48EImmEIl/2习题 图12-18习题10.17图

l/2

【解】(1) 设Y(x)asinxl 则Y'(x)ax coslla2x Y''(x)2sin Y(x)lllx2asin2a

代入公式2l0l0EI[Y(x)]2dx22im(x)[Y(x)]dxmiYil得

a2x2EI(sin)dx0l24EI2l 1l4x25ml20m(asinl)dx2mla故14.4138EI l2m(2) 设Y(x)FPF(3l2x4x3) 则Y(x)P3l212x2 48EI48EIl2FY(x)P24x Y(x)48EI代入公式得

22l/20l/20xFPl3 48EI21FEIP24xdx48EI2FP22FPl3232m()(3lx4x)dx2ml()48EI48EI48EIl3177ml2ml73519.3103EI ml4故14.3944EI l2mq =mgmEIl(a)

习题10.18 用能量法求习题10.18(a)图所示具有均布质量m的两跨连续梁的第一频率。

mEIxll

(b) 半结构

习题10.18图

(c) 自重作用下的振幅曲线

EIy(x)【解】此体系为对称体系，第一频率对应反对称振动，取半结构如习题10.18(b)图所示。设以梁在自重qmg作用下的弹性曲线作为振幅曲线，即

Y(x)q(3l2x25lx32x4) 48EI代入2l0l0q(x)Y(x)dx22im(x)[Y(x)]dxmiYi公式得

q2l552(1)45238.73EI 1248EI29ml45mql1.30910(EI)2故1

15.45EI l2m第11章 结构的稳定计算习题解答

习题11.1 是非判断题 （1）要提高用能量法计算临界荷载的精确度，不在于提高假设的失稳曲线的近似程度，而在于改进计算工具。（ ）

（2）对称结构承受对称荷载时总是按对称形式失稳。（ ）

（3）刚架的稳定问题总是可以简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。（ ） （4）结构稳定计算时，叠加原理已不再适用。（ ）

（5）有限自由度体系用能量法求出的临界荷载是精确解。（ ）

（6）当结构处于不稳定平衡状态时，可以在原结构位置维持平衡，也可以在新的形式下维持平衡。（ ）

【解】（1）错误。能量法计算临界荷载的精确度，直接取决于所假设的失稳曲线的近似程度。

（2）错误。既可按对称形式失稳也可按反对称形式失稳。

（3）错误。在能求出刚度系数的情况下，才可简化为具有弹性支座的单根压杆进行计算。

（4）正确。一般情况下，结构的稳定计算中，既要考虑几何非线性也要考虑材料非线性，因此，不能采用适用于线性弹性理论的叠加原理。

（5）正确。 （6）错误。

习题 12.2 填空题

（1）结构由稳定平衡到不稳定平衡，其临界状态的静力特征是平衡形式的 。 （2）临界荷载与压杆的支承情况有关，支承的刚度越大，则临界荷载越 。

（3）用能量法求无限自由度体系的临界荷载时，所假设的失稳曲线y(x)必须满足 条件，并尽量满足 条件。

（4）利用对称性，求习题11.2（4）图所示结构的临界荷载FPcr＝ 。

AEIEIFPll

习题11.2（4）图

（5）习题11.2（5）图（a）所示结构可简化为习题11.2（5）图（b）所示单根压杆计算，则弹簧抗转动刚度系数k＝ 。

FPAEIBEI0=∞CEI3lBAFPEIlk1=kl (a) (b)

习题11.2（5）图

（6）习题11.2（6）图（a）所示结构可简化为习题11.2（6）图（b）计算，则抗移动弹簧刚度系数k1＝ ，抗转动弹簧刚度系数k2＝ 。

FPAEI0=∞EIEIEIAFPk1lBBk2l

(a) (b)

习题11.2（6）图

【解】（1）二重性。 （2）大。

（3）位移边界；力的边界。 （4）

2EIl2。该对称结构的临界荷载，可按反对称失稳形式（即两端简支压杆）确定。

EI。 l3EI3EI（6）3；。

ll（5）

习题11.3 用静力法计算习题11.3图所示体系的临界荷载。

FPFPkFPlkEI0=∞EI0=∞EI0=∞lklk

(a) (b) (c)

习题11.3图

ll2llll

【解】（1）给出失稳形式，如习题解11.3（a）图所示。 由

MA0得

(3FPkl)y0 ∴FPcr

FPFPyFPkFRkyFPAAyyky3ky2y1ky21kl 3F y/lPF y/lPAFP(a)FP(b)(c)

习题解11.3图

（2） 给出失稳形式，如习题解11.3（b）图所示。 由

MA0得

(kl2FP)y0 ∴FPcr1kl 2（3）给出失稳形式，如习题解11.3（c）图所示。

先求得支反力：FR 由

FP1ky 2l4MA0得

5klFPy0 65kl 6 ∴FPcr习题11.4 用静力法计算习题11.4图所示体系的临界荷载。k为弹性铰的抗转动刚度系数（发生单位相对转角所需的力矩）。

FPEI0=∞kll

习题11.4图

【解】给出失稳形式，如习题解11.4图所示。 分析AC，由

MC0得

yk2FPy0 l2kFPy0 l2k lFPAykBCFR=0  ∴FPcr

习题解11.4图

习题11.5 用静力法计算习题11.5图所示体系的临界荷载。

FPBEI0=∞lFPCEIhEI0=∞EA=∞EIAll

(a) (b)

习题11.5图

【解】（1）原体系可简化为习题解11.5（a）图所示。弹性支承刚度系数为

FPBFPkEI0=∞EI0=∞kA(a)(b)

h习题解11.5图

k可求得

3EI6EI2 l3l313EIkl2 2l4EI l FPcr（2）原体系可简化为习题解11.3（b）图所示。弹性支承刚度系数为

k可求得

FPcrk4EI hlh习题11.6 用能量法重做习题11.3（c）。 【解】 变形能 U111122252kyykyyky 22223372荷载势能UPFP，其中

3l()22l()2 总势能EPUUP

由

12y3l12y2l52y 12l255dEPFP0 0及y0得k7212ldy ∴FPcr5kl 6FPEI0=∞习题11.7 用静力法求习题11.7图所示各结构的稳定方程。

FPk=4EI/l(抗转动刚度)l/2EIEI

l

l

(1) (2)

FPEI0=∞BFPBEIEIEIlAlAEI

(3) (4)

FPBEIAEIClll

EIDl(5) 习题11.7图

l

【解】（1）失稳曲线如习题解11.7（1）图所示。微分方程为 EIyM(FPy21FPx) 2或 yyx 其中 该微分方程的通解为

yAcosxBsinx2122FP EI1x 2代入边界条件：x0, y0; xl, y0; xl, y 所得齐次方程中，由A,B,不全为零的条件（即系数行列式等于零）整理后得

tanll0

FPyxyFP1F2P

习题解11.7（1）图

（2）失稳曲线如习题解11.7（2）图所示。微分方程为

EIyM(FPyk)

或 yy 通解为yAcosxBsinx2Fk, 2P EIEIk。 FP 代入边界条件：x0, y0; x0, y; xl, y0 由A,B,不全为零的条件，整理后得

1tanll0

4kFPyx0yx

习题解11.7（2）图

（3）原结构可等效为习题解11.7（3）（a）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习题解11.7（3）（b）图所示。微分方程为

EIFPk=123lByFPkByEIEIA(a)习题解11.7（3）图

A(b)xx

EIyM(FPykx)

或 yy2Fkx, 2P EIEI 通解为 yAcosxBsinxkx FP 由边界条件 x0, y0; xl, y; xl, y0 得稳定方程为

(l)31tanll3EIl(l)3

kl12 （4）原结构可等效为习题解11.7（4）（a）图所示具有弹性支承的压杆，失稳曲线如习

题解11.7（4）（b）图所示。微分方程为

FPByFPxyAxk=4EIlk（b） 习题解11.7（4）图

（a）

EIyMFPy

y2y0, 2FP EI 该方程的通解为 yAcosxBsinx 由边界条件 xl, y; xl, y 得稳定方程为

ltanl4

（5）原结构可等效为习题解11.7（5）（a）图所示具有弹性支承的压杆，弹性支承的刚度系数可由子结构ACD求出。

FPBM=1A1A1C113EIk= =4l（a）(b) M图 习题解11.7（5）图

D

分析ACD，如习题解11.7（5）（b）图所示。在A点加单位力偶并作M图，图乘得柔度系数为

则弹性支承的刚度系数为

k该题的稳定方程为

ltanl4l 3EI3EI 4lkl3 EI41习题11.8 用能量法计算习题11.8图所示结构的临界荷载，已知弹簧刚度系数

k3EIxy(1cos)。 ，设失稳曲线为

2ll3FPkyy习题11.8图

xl 【解】根据所假设的失稳曲线，可求得应变能及荷载势能如下 y2lsinlx2l，y24lcos2x2l

1213EI24EI22 UkEI(y)dx3 32202ll2FP212 UPFPFP(y)dx

2016l由

ld(UUP)0及0得

dFPcrFP4.9EI l2FP 习题11.9 求习题11.9图所示结构的临界荷载。已知各杆长为l，EI＝常数。

习题11.9图

【解】（1）对称失稳

FPcr对称（2）反对称失稳

FPEIFPFPkk1lEIEI22EIl2

EIEI2EI,lA(a)(b) 习题解11.9图

(c) M图

取半结构分析，如习题解11.9（a）图所示，可等效为习题解11.9（b）图进行分析。其

中，弹性支承的刚度系数k，可先由习题解11.9（c）图所示弯矩图自乘求得柔度系数后，取倒数而得，为

11222122l3llll

EI23EI23EI故

k在习题解11.9（b）图中，由

1EI l3MA0得

(FPkl)0 由此，反对称失稳时的临界荷载为

FPcr反对称kl=经比较，原结构的临界荷载为

EI l2FPcrFPcr反对称FPEA=∞EI l2FP 习题11.10 试分别按对称失稳和反对称失稳求习题11.10图所示结构的稳定方程。

EIEIEI2ll

习题11.10图

【解】（1）对称失稳

FPFPFPFPEI，lEI，lEI，lEI，lEI，lEI，lk=EIl(b)k=3EIl(d)

(a)(c)

习题解11.10图

对称失稳时，可取半结构如习题解11.10（a）图所示。将其等效为习题解11.10（b）图分析，求得稳定方程为

tanl1l(l)2klEIl

1(l)2（2）反对称失稳

反对称失稳时，可取半结构如习题解11.10（c）图所示。将其等效为习题解11.10（d）图分析，求得稳定方程为

ltanlkl3 EI习题11.11 试导出习题11.11图所示桥墩的稳定方程。设失稳时基础绕D点转动，地基的抗转刚度系数为k。

FPEIDal 习题11.11图

【解】计算简图如习题解11.11（a）图所示，失稳形式如习题解11.11（b）图所示。

FPyEIFPyalDkEI1=∞Dk（b）习题解11.11图

x（a）

由

MD0即

FP(a)k

求得(ka)。 FP微分方程为

EIyMFPy

y2y0, 2FP EI 通解为 yAcosxBsinx

 代入边界条件： x0, y 求得稳定方程为

0;x  l y, x; l   y

tanlakl (l)2lEIl