线性代数总结-笔记

线性代数总结-笔记

● 注

● 结合两位李老师线代辅导讲义整理而成

● 一、行列式

● 1、概念及性质

● 行列式

● 定义：不同行不同列元素乘积的代数和（完全展开式）（共n！项）

● 逆序数：一个排列中逆序的总数

● 性质

● 行列式性质：

● ①提公因式；

● ②两行互换，行列式变号（两行相等、两行成比例，丨A丨=0）；

● ③拆分；

● ④倍加

● 方阵行列式性质（运算公式）：

● ※注意：①行列式性质≠矩阵初等变换；②行列式性质≠矩阵运算

● 余子式

● 定义：Mij

● 代数余子式

● 定义：

● 展开公式

● 丨A丨=按第i行展开=按第j列展开

● 某行（列）元素×其他行（列）元素的代数余子式=0

● Aij的值与aij的取值无关

● 2、主要公式

● 上（下）三角行列式

● 关于副对角线的行列式

● 拉普拉斯展开式

● 范德蒙行列式

● △特征多项式→求特征值

● 克拉默法则

计算方程组的解

● 系数行列式D≠0（即丨A丨≠0）

● 推论1：齐次线性方程组D≠0，则方程组只有零解

● 推论2：齐次线性方程组有非零解，则丨A丨=0

● 3、题型总结

● 行列式的计算

● 数字型行列式

● 步骤：①观察行列式特征；②利用展开公式或行列式性质

● 方法：行（列）加法、加边法、分块法、拆项法、递推法

● 特殊行列式归纳

● 爪形行列式：

● 一般思路：利用对角线元素把行或者列消去，变为上/下三角形；

● 考题中一般不会给明显爪形，需要先进行恒等变换

● 三对角线行列式

● 一般思路：把对角线两边的某一对角线化为0

● 低阶：①每一行加到第一行；②逐行相加

● 高阶：数学归纳法递推——①把A展开，看A与几个低阶有关②与一个低阶有关，选择第一数学归纳法；与两个或两个以上低阶有关，选择第二数学归纳法

● 抽象性行列式

● 丨A+B丨型的计算

● 给出A=α，β，γ； B=δ，ε，η→把A+B表示出来，用行列式性质

● 完全抽象：利用E把A+B恒等变形，根据矩阵行列式性质化为已知条件

● 丨A丨型计算

● 遇到A的伴随、转置或逆矩阵等，先利用矩阵性质化为A后，再计算

● 遇到α1，α2，α3是线性无关向量且给有Aα1，Aα2，Aα3：①行列式性质②利用相似“A~B，则丨A丨=丨B丨”

● 利用特征值

● 例题

● 三对角线行列式 @例题

● @💡

● 加边法求行列式 @例题

● @💡

● 抽象行列式 @例题

● @💡 行列式性质拆分、加加减减；相似；由已知条件观察A的伴随、A的转置、A的逆、A之间的关系。

● 证明丨A丨=0

● 常用方法

● Ax=0有非零解：将已知条件化为Ax=0形式，利用克拉默法则中“齐次方程有非零解，则丨A丨=0”

● 反证法：假设丨A丨≠0，则A可逆，用A^(-1)找矛盾

● 秩：利用秩相关公式找r(A)＜n

● 0是A的特征值：利用丨A丨=∏λi

● 丨A丨=—丨A丨

● 例题

● 一题多解 @例题

● @💡 还有可以用特征值；注意错解：A不等于E不能推出A的行列式不等于1

● 代数余子式求和

● 方法：构造新的行列式

● 行列式应用

● 丨A丨=0可互推出：①A不可逆；②r(A)＜n；③Ax=0有非零解；④A中的列向量组线性相关；⑤特征值中至少一个为0

● 丨A丨≠0可互推出：①A可逆；②r(A)=n；③Ax=0只有0解；④A中的列向量组线无关；⑤特征值都不为0

● 对称矩阵的顺序主子式全大于0可推出：矩阵正定

● A+kE不可逆→丨A+kE丨=0→可算出A的一个特征值

● 二、矩阵

● 1、概念，特殊矩阵及运算

● 矩阵的定义

●

● 特殊矩阵

● 单位矩阵

● 转置矩阵

行列互换

● 转置相关公式

● 对称矩阵

● 对称矩阵：A的转置=A

● 反对称矩阵：A的转置=-A

● 正交矩阵

● 定义

● 性质

● 正交矩阵任一列向量均为单位向量

● 任两列向量互相垂直

● 初等矩阵

三种初等矩阵都是可逆矩阵

● 定义：单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵

● 乘法：左行右列

● 初等矩阵逆矩阵

● 初等矩阵的行列式

● 初等矩阵的n次方

● 分块矩阵

● 公式

● 行阶梯型矩阵

● 行最简形矩阵

● 矩阵运算

● 加法

● 同型叠加

● 乘法

● 列向量α，β乘积的关系

● 列在前，行在后---nxn矩阵，秩为1，特征值：一个为迹，其余为0

● 行前列后，为一个数。若β=α，则为平方和大于等于0.

● α的转置•β为矩阵α•β的转置的迹

● 2、重要定理

● 必备定理

● 3、伴随矩阵

● 伴随矩阵定义（注意行列位置互换）

● 2阶矩阵伴随：主对调，副变号

● 公式

● 伴随矩阵的秩

● 伴随矩阵A*是由A的n-1阶行列式拼凑而成

● 4、可逆矩阵

● 公式

● 求逆矩阵方法

● 定义法

● 利用AB=BA=E

● 初等行变换

● 利用伴随矩阵

● 分块

● 分解求逆：利用因式分解及可逆定义求逆矩阵

● 5、矩阵的秩

● 公式

● 对秩的理解（两个条件）

● 6、题型总结

● （1）特殊矩阵的n次方

● @💡 r（A）=1的矩阵 @例题

● 矩阵n次方有规律 @例题

● @💡 对于这种有规律性的矩阵，可尝试先求出2次方，3次方，寻找规律。

● @💡 提出单位矩阵，化为有规律矩阵

● 利用相似矩阵 @例题

@💡

可分块矩阵的n次方 @例题

●●

● （2）伴随矩阵

● @例题

● @💡

● （3）可逆矩阵

● 利用E恒等变形化和为积 @例题

● 求矩阵的可逆矩阵，可设出逆矩阵

● （4）矩阵的秩

● @例题

● （5）初等矩阵

● （6）正交矩阵

● @例题 用E恒等变形

● @💡

● （7）矩阵方程

● 矩阵可逆

● 矩阵不可逆，化为解方程组

@例题

●

● 三、向量

● 1、向量及其运算

● 定义

● n维列向量（行向量）：n个数组成的有序数组

● 运算

● 向量加法

● 数乘向量

● 向量内积

● 性质

●

● 2、向量组的线性相关性与线性表示

● 线性相关

● 定义

● 等价说法

● 判别线性相关常用方法

● 线性无关

● 定义

● 等价说法

● 判别线性无关常用方法

● 定义法

● 说明

● 秩或行列式

● 反证法

● 线性表示

● 定义

● 等价说法

● 秩判别线性表示

● 说明

● 极大线性无关组与向量等价

● 极大线性无关组

● 说明

● 向量组等价

● 常用结论

● 线性无关向量组缩小仍无关，线性相关向量组扩大仍相关。（齐次方程组中未知数增加与减少）

● 线性无关组分量增加仍无关，线性相关组分量减少仍相关。（齐次方程组中方程个数增加与减少）

● 若向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示，则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)。

● 以多表少，则多的相关。

● 两向量组可相互线性表示即等价，则秩相等。

● 若向量组Ⅰ可由Ⅱ线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，则Ⅰ与Ⅱ等价。

●

● 3、向量空间

● 概念

● n维向量空间定义：向量集合对于加法乘法封闭

● 基

● 坐标

● 过渡矩阵

● 坐标公式

● 【】

● 标准正交基

● 【】

● 4、题型总结

● 线性相关

● @💡 方法

● @例题 定义法，同乘

● @例题 同乘，再加加减减

● 注（另解）

● 线性表出

● @💡 方法

● 四、线性方程组

● 1、表达形式

● 分类

● 齐次方程组Ax=0

● 非齐次方程组Ax=b

● 矩阵形式：Ax=b

● 向量形式

● 2、线性方程组的解

● 齐次线性方程组性质

● 基础解系

● 向量组为Ax=0的解

● 向量组为极大线性无关组

● Ax=0通解

● Ax=b通解：齐次通解+任意非齐次特解

● 线性方程组解的性质

● 3、基本理论（讨论三大问题）

● 是否有解？

● 若有解，是否唯一？

● 有解且不唯一，如何求解？

● 求Ax=0

● 若r(A)● 求基础解系

● 化阶梯形（行最简或单位阵，或直接求解）

● 确定n-r(A)个自由变量

● “写”基础解系

● 求Ax=b

● 求齐次通解，非齐次一个特解，写通解

● 4、主要定理

●

● 5、题型总结

● 基础解系 @例题

● 学习快速写出基础解系 @💡

● 解方程组Ax=b

● 给方程组⇨消元求解

● 无方程组⇨分析秩

● @例题

● @💡 分析解的结构，再利用解的性质加加减减找出基础解系及特解

● 方程组解的判别

● @例题

● 公共解、同解

● 公共解

● 给出两方程组⇨联立求解

● 未给出方程组

● 同解：代入法

● 五、特征值与特征向量

● 特征值与特征向量

● 定义

● 特征值、特征向量

● 特征多项式

● 求特征值、特征向量

● 性质

● 特征值性质

● 特征向量性质

● 常用结论

● 矩阵相似

● 定义

● 相似于对角形

● 定义

● 相似于对角矩阵的条件

● 相似对角化步骤

● 性质

● 实对称矩阵

● 定义

● 性质

● 必相似于对角矩阵

● 可用正交矩阵对角化

● 不同特征值的特征向量相互正交

● 特征值必为实数

● 实对称矩阵用正交矩阵对角化步骤

● 求参问题

● 确定参数

● 相似的必要条件

● 题型总结

● 特征值、特征向量

● @💡

● @例题

● @💡

● 相似

● 判断相似

● @例题

● @💡

● @例题

● @💡

● 利用r(A)=1

● @例题

● 抽象矩阵相似

● 实对称

● 【待补充】

● 求参问题

● @例题

● 六、二次型

● 概念及标准型

● 基本概念

● 二次型

● 标准形

● 二次型只含有平方项

● 规范形

● 在标准形中，平方项系数为-1，1或0。

● 坐标变换与标准化

● 惯性指数

● 标准形中，正平方项个数为正惯性指数p；负平方项个数为负惯性指数q。

● 惯性定理

● 二次型经可逆坐标变换后，正、负惯性指数保持不变，且p+q=r(f)=r(A)

● 矩阵合同

● 二次型化标准型的方法

● 配方法

● 通过配方法将二次型化为完全平方形式，再作坐标变换。“一次配一个字母”

● 正交变换

● 正定

● 概念

● 判别

●

● 矩阵等价、相似、合同补充

● 等价

● 相似

● 合同

● 题型总结

● 化标准形，求二次型

● @例题

● 证正定

● @💡 关于正定性证明思路

● 用特征值

● 用与E合同

● 用定义，坐标变换

● 用已知的正定矩阵合同

● @例题

● @💡

● @例题