无网格方法在流动和传热问题中的应用_陶文铨

第30卷 第8期 2010年3月15日 中 国 电 机 工 程 学 报

Proceedings of the CSEE Vol.30 No.8 Mar.15, 2010 ©2010 Chin.Soc.for Elec.Eng.

1

(2010) 08-0001-08 中图分类号：TK 124 文献标志码：A 学科分类号：470⋅10 文章编号：0258-8013

无网格方法在流动和传热问题中的应用

陶文铨1，吴学红2，戴艳俊1

(1．动力工程多相流国家重点实验室(西安交通大学)，陕西省 西安市 710049；

2．郑州轻工业学院机电工程学院，河南省 郑州市 450002)

Applications of Meshless Methods in Fluid Flow and Heat Transfer Problems

TAO Wen-quan1, WU Xue-hong2, DAI Yan-jun1

(1. State Key Laboratory of Multiphase Flow in Power Engineering (Xi’an Jiaotong University), Xi’an 710049,

Shaanxi Province, China; 2. School of Electromechanical Science and Engineering, Zhengzhou University of

Light Industry, Zhengzhou 450002, Henan Province, China)

ABSTRACT: A review of meshless methods applied in computational fluid dynamics and heat transfer fields in recent years was presented. This paper described the applications of numerical simulation of meshless methods in heat conduction, radiation and fluid flow problems. In addition, a special attention was paid on the treatment of the convective term of the incompressible fluid flow. In this paper, our results in heat conduction and fluid flow problems were also briefly introduced. Our investigation results show that meshless methods have better computational precision in computing heat conduction problems of irregular domain than the finite volume method, but they need more computational time. At the same time, meshless methods need to be further developed for solving incompressible fluid flow problems. Meshless methods should construct better discr- etization scheme to improve computational precision in dealing with convection-dominated problems, and the pressure term needs special treatment to overcome oscillating pressure field. KEY WORDS: meshless method; heat conduction; radiation; convection-diffusion; incompressible fluid flow; upwind scheme

摘要：综述了无网格方法在导热、辐射、对流扩散及不可压缩流动问题数值计算中的应用。给出不可压缩流动问题对流项的处理方法。简要介绍笔者对传热与流动问题的计算结果，研究结果表明：与有限容积法相比，无网格方法在计算不规则区域导热问题时有更高的计算精度，但它需要更多的计算时间；同时，无网格方法在计算不可压缩流动问题时还不成熟和完善，特别在计算对流项占优流动问题时，需要构建更好的对流项格式去提高计算的精度，同时压力项也需要

基金项目：国家自然科学基金项目(50636050)。

Project Supported by National Natural Science Foundation of China (50636050)．

特别处理以克服振荡压力场的产生。

关键词：无网格方法；导热；辐射；对流-扩散；不可压缩流动；迎风格式

0 引言

无网格方法在发展的初期，主要应用于计算力学。最近一些研究者将其应用于计算传热学与计算流体动力学之中。国外对其研究得比较早，我国在无网格方法的研究和应用方面近几年进展迅速，尤其在材料和力学的领域[1-4]，但在传热与流动的领域，还未见类似的论文发表，在综述论文[4]中虽然提到该方法在求解导热问题中的应用，但介绍过于简单。鉴于此，在文献[5]中简要介绍了无网格法的理论基础和求解方法，本文主要介绍其在传热和流动问题中的应用进展。无网格方法在导热与辐射问题中的大量计算实例表明，这种方法在处理不规则边界问题时具有特殊优越性，除了无网格方法的计算工作量较大这一缺点外，不存在特殊的数值处理问题，但是将无网格方法应用于流动问题时，与在有限差分、有限容积法中一样，对流项的离散方式影响到计算的稳定性，因此本文将做较深入讨论，特别对于流动问题数值求解的关键问题之一——对流项的离散处理方法做专门介绍。

1 无网格方法在导热和辐射问题中的应用

Zerroukat等[6]用径向基函数(radial basis func-

tions，RBF)作为插值函数，用配点法求解热传导问题。他们的研究结果显示：这种无网格方法能很好地计算一维及二维非稳态热传导问题，对不规则区

2 中 国 电 机 工 程 学 报 第30卷

域的计算也有较好的计算精度；同时如用全局径向函数(global radial functions)，形成的刚度矩阵是非稀疏的，随着配点数的增加易产生病态矩阵。Belytschko等[7]用无单元Galerkin方法(element- free Galerkin method，EFG)计算在边界处具有大梯度的热传导问题。他们的研究结果显示：在计算边界处具有大梯度的问题时，EFG方法的计算结果比有限元法的计算结果更好；具其计算的收敛率比有限元法要快。Cleary 和 Monaghan[8]应用光滑粒子流体动力学(smoothed particle hydrodynamics，SPH)方法计算非稳态热传导问题。Chen等[9]用修正的SPH方法计算非稳态导热问题。Yagawa和Furukawa[10]用自由网格方法(free mesh method，FMM)计算二维热传导问题，其研究结果显示：相比有限元方法，FMM方法能给出很好的计算精度。Singh和他的合作者用EFG方法分别计算了一系列的热传导问题，包括二维翅片导热问题[11]、三维稳态导热问题[12]、

并行计算非稳态热传导问题[13]和复合导热问题[14]，

热传导问题[15]、非线性导热问题[16]，相关计算结果显示，EFG方法的计算精度要高于有限元方法的计算精度[16]。Sladek及其合作者用局部边界积分方法(local boundary integral equation，LBIE)，并用Heaviside函数作为检验函数，分别计算了梯度材料

二维非齐次各向异性材料的非稳中的导热问题[17]、

态导热问题[18]、导热的反问题[19]、三维非稳态导热

刘岩和杨海天[21]用有限元/无单元Galerkin 问题[20]。

(EFG/FE-EFG)方法求解热传导问题。刘岩等[22]用加权最小二乘无网格方法计算二维稳态与非稳态导热问题。Divo和Kassab[23]用配点型无网格方法计算已知速度场的对流扩散问题的传热。Qian和Batra[24]用高阶板理论和无网格局部Petrov- Galerkin法(meshless local Petrov- Galerkin，MLPG)分析具有分析解的材料中的三维热传导问题，这种高阶板理论在厚度方向用一个多项式表达，使得三维问题的计算变成一个二维问题的计算。范悦宏[25]应用EFG方法计算二维稳态与非稳态的热传热问题。李庆华和陈莘莘[26]用加权最小二乘法计算二维稳态热传导问题。李庆华等[27]用MLPG方法计算二维稳态热传导问题。贺光宗等[28]用无网格法计算二维热传导问题。张雷等[29]用配点型无网格方法计算二维稳态及非稳态热传导问题。高志华等[30]用EFG方法计算液态凝固过程的温度场。Ching和Yen[31]用MLPG方法计算了二维具有分析解的材料中非稳态热弹性变形问题。Wang等[32]用径向基函数作

为插值函数，构建了配点型虚边界点法，并用此方法计算导热问题，该方法具有较好的计算效率。Sadat等[33]用扩散近似法(diffuse approximation method，DAM)方法计算二维热传导问题，但该种方法在计算复杂区域时易产生病态矩阵。王虎奇

程荣等[34]用MLPG方法计算二维瞬态热传导问题。

军和程玉民用有限点方法计算一维[35]和二维[36]带源项的热传导问题的反问题。李庆华等[37]用自然邻近无网格Petrov-Galerkin方法求解二维稳态热传导问题。谭建宇和刘林华等用加权最小二乘方法计算了一维及二维辐射与导热耦合问题[38-40]、吸收和散射介质中的辐射问题[41]、瞬态辐射问题[42]、热传导

比较计算了一阶与二阶辐射方程问题的反问题[43]、

的精度及计算效率[44]和最小二乘径向基函数配点方法[45]计算辐射问题。

吴学红等[46-48]分别用配点型MLPG方法和一般的MLPG方法计算了工程中二维不规则区域的稳态热传导问题，研究结果显示：1）无网格方法比有限容积法更能精确的描述计算区域的边界；2）配点型MLPG方法对支持域半径的选取比较严格，一般选取2.5~3.0倍的平均节点间距时有较高的计算精度，支持域过小或过大计算精度均较差；3）配点型MLPG在配点数较少情况下(文中的节点数为336)，其计算效率与有限容积法(FLUENT)差不多，但在相同的计算精度情况下，无网格方法需要更少的计算节点，但是随着节点数的增多无网格方法需要的计算时间要比有限容积法多的多；4）一般的MLPG方法由于需要应用高斯积分方法进行数值积分，因此需要更多的计算时间；5）在计算不规则区域积分时，即使积分子域不完全覆盖计算区域，也能给出较好的计算精度；6）无网格方法的计算精度要高于有限容积法的计算精度。

2 无网格方法在流体问题中的应用

2.1 在计算流体力学中的应用现状

无网格方法应用于计算流体力学领域还不成熟与完善，正处于起步阶段。

早期的SPH方法主要应用于计算流体力学领域[49]。Monaghan课题组对SPH应用于流体力学的计算做了一系列的研究[50-56]。Morris用SPH计算不可压缩流动问题[57-58]和多孔介质中的流动问题[59]。但SPH是一种配点法，在计算过程中对配点的选取非常重要；另一方面，SPH在边界处的精度较低。Sadat等[60-62]应用扩散元法计算二维及三维不可压

第8期 陶文铨等：无网格方法在流动和传热问题中的应用 3

缩流动问题。Oñate等[63]应用加权最小二乘插值的有限点法(finite point method，FPM)计算对流扩散和可压缩流动问题，他们研究发现这种构建的有限点法有2个优点：1）相比标准的最小二乘法近似，用高斯权函数构建的加权最小二乘近似的FPM方法能提高计算的精度；2）在满足插值函数自由度的前提下，移动或移除节点对这种插值函数敏感性的影响很小，而一般的最小二乘近似对节点的敏感性要大得多。为了更好地应用于对流扩散和可压缩流问题，他们发展了一种残量稳定方法[](residual stabilization)，这种稳定方法只是在一般的对流扩散方程的基础上加上一个残留项，后来定义这种稳定性方法为有限增量微积分法(finite increment calculus，FIC)[65]；但是这种方法在处理第二类边界条件时也需要采用增加稳定性的技术，这些增加的稳定性技术对计算结果的影响是至关重要的。后来Oñate及合作者又应用加权最小二乘近似的FPM方

Yagawa及其合作法计算一些三维可压缩流问题[66]。

者用并行的FMM计算了不可压缩流动问题[10,67-68]。Liu W K的课题组用再生核粒子方法(reproducing kernel particle method，RKPM)并结合有限元的流线型迎风格式(streamline upwind Petrov-Galerkin，SUPG)计算对流扩散问题[69]、不可压缩流动问 题[70-71]。Lin和Atluri等[72-74]用MLPG方法，构建了2种迎风格式计算对流扩散与不可压缩流动问题，他们的研究结果显示：所构建的迎风格式能很好地处理对流扩散问题，但在计算高Re数不可压缩流动问题时，计算不收敛。Shu等[75]发展了径向基函数微分求积法(local radial basis function- differential quadrature，RBF-DQ)求解不可压缩流动问题，但是这种方法在边界附近时需要布置几层正交节点。Liu G R的课题组分别用有限点法[76]和(meshfree weak-strong，MWS)方法[77]计算不可压缩流动问题：前一种方法利用节点Taylor展开对方程离散，它类似于有限差分法；后一种方法结合无网格方法的弱形式(MLPG)与强形式(配点法)，用涡量流函数计算，这样不用考虑压力项产生的影响。

Arefmanesh等[78-79]用无网格控制容积法(meshless control volume method，MCVM)计算流动问题，这种方法的局部插值方法是基于MLPG的，但用如拉格朗日多项式的方法构建具有δ属性的插值函数，它是一种真正的无网格方法。我国学者也对无网格方法应用到计算流体力学领域做了一些研究。仇轶等用EFG方法计算一些简单的不可压缩圆柱绕流[81]、流场中的颗粒运动[82-83]问题。流动[80]、

段日强等[84]用半隐式移动粒子法(moving particle semi- implicit，MPS)直接数值模拟了液滴在瞬态脉冲下的破裂过程和加压液体在突然减压下的闪蒸射流。史宝军等[85]将其于重构核思想的最小二乘配点法应用于流体力学中Stokes问题，他们的研究结果表明：无论离散点是均匀分布还是随机分布，该方法均给出了较准确的数值结果。张小华[86]用EFG方法计算二维定常与非定常对流扩散问题。胡晓燕[87]

研究了SPH方法和移动最小二乘粒子动力学方法(moving least squares particle hydrodynamics，MLSPH)用于多孔介质流体力学的计算，但是这2种方法在计算过程中在交界面上经常产生非物理性的振荡现象，他提出了解决或改善的方法。张云

谢新[88]用径向基函数计算不可压缩流体力学问题。

永慧等[]应用SPH方法和有限元方法耦合求解水滴高速撞击汽轮机叶片的流动问题。吴学红[48]用MLPG方法结合SUPG方法计算了对流扩散问题，并将计算结果与文献[73]中迎风格式(MLPGU)的计算结果进行比较。研究结果显示：1）在对流作用不占优的低Pe数情况下，无论有无固体边界存在有限容积的2种迎风格式(FUS，QUICK)和3种无网格方法(MLPG、MLPGU、MLPG-SUPG )都能给出较好的计算结果；2）在计算没有固体边界的对流项占优问题(较高Pe数情况)时，FUS格式有假扩散现象产生，而无网格方法与QUICK格式都有一定的越界现象产生，但在越界现象中，MLPG-SUPG的越界范围最小，相对于有限容积法，MLPG-SUPG格式的计算精度要高于三阶格式(QUICK)的精度；3）在计算对流项占优且存在固体边界的问题时，MLPG方法的计算结果较差，所有迎风格式能给出较好计算结果。吴学红等[48,90]用MLPG方法结合SUPG方法计算了不可压缩流动问题，并用混合公式法克服或减轻产生棋盘型压力场的现象，通过对顶盖驱动流、突扩后台阶流动及方腔自然对流3个例子的计算表明：1）在低的Re数或Ra数情况下，与文献值相比，MLPG-SUPG都能给出较好的计算结果；2）在较高Re数情况下，计算值与文献的值还有一定的偏差；3）通过应用混合公式克服或减轻产生波形压力场的现象，取得了比较成功的结果，虽然所计算出的压力场仍然有些振荡，但相应的速度场仍比较合理。通过将MLPG应用于计算对流扩散问题与不可压缩流动问题研究结果表明：在计算对流项占优问题时，必须构建稳定性较好的对

4 中 国 电 机 工 程 学 报 第30卷

检验函数

流项格式才能得出较好的计算结果。 2.2 对流项迎风格式的构造

目前应用于计算流体动力学中的无网格方法主要有配点型无网格方法(FPM、SPH)、RKPM、MLPG方法、EFG方法等。很多作者用配点型无网格方法去计算流体动力学问题，他们构建一些类似于有限差分方法用Taylor展开的方法对对流项进行处理；但配点型无网格方法(FPM、SPH)不满足一致性的要求，而且对配点布置要求较高，需要大量的配点去提高计算的精度。RKPM方法中将SUPG格式应用于计算流体动力学，但是RKPM不是真正的无网格方法，它需要背景网格去进行数值积分。Lin等针对MLPG方法构建了迎风格式，并用混合公式方法处理压力项所产生的振荡，但这种迎风格式在计算高Re数(Re>400)时不收敛。

目前在无网格方法中常见的各类迎风格式有以下几种。

1）有限增量微积分法。

有限增量微积分方法(FIC)由Oñate等[65]于1998年提出。它的基本思想为，对于对流扩散方程，考虑有限区域上各种影响因素的平衡，对各变量做Taylor级数展开，将瞬态项和源项展开至一阶，对流项和扩散项展到二阶(理论上FIC方法能够建立更高的阶数)。Oñate及其合作者[91-92]将最小二乘近似以配点形式应用于FIC的稳定形式的方程中，发展了有限点法(FPM)。从FIC的特点可以看出，这种稳定性的方法相似于有限差分方法，它不满足一致性条件，特征尺寸也不容易选取，而且FPM方法对配点的要求非常高，合理的选取配点是提高配点法计算精度的一个重要方面。

2）Lin等提出的迎风格式。

Lin等[73]根据MLPG方法的特点提出2种对流项的处理方案。MLPG方法中的检验函数仅在积分子域内不为零，且在节点处取最大值的紧支函数，如MLS近似方案中的权函数。

第1种方案是通过对检验函数在积分子域上的最大值沿逆着流线的方法移动一定距离，如图1和2所示。

检验函数的积分子域在节点在计算区域ΩX中，

xi处的最大值沿逆流方向移动了γrisi，其中ri是支持域半径，si为节点ri处的流动方向单位矢量，参数γ 的定义如下：

1Pe1γ=coth()− (1)

22Pe

试探函数

图1 第1种迎风格式

Fig. 1 Upwind scheme I

x

xi

xi − γ risi

图2 最大值的迁移距离

Fig. 2 Shifting of the maximum value

式(1)是有限元方法在计算一维对流扩散问题精确解时推导出来的[93]，其中局部Pelect数的定义如下：

Pe=uri/a (2) 式中a为热扩散率。

第2种方案为：在计算区域ΩX中，检验函数形式不发生任何变化，只是将检验函数的积分子域逆着流动的方向移动γ risi，如图3与4所示。其中参数γ和Pelect数的定义[94]如下：

γ=coth(Pe/2)−2/Pe (3)

Pe=(2uri)/a (4)

检验函数

局部子域的迁移试探函数

图3 第2种迎风格式图 Fig. 3 Upwind scheme II

ΩX′ xi −γrisi rixiγrisi ΩX 图4 局部子域移动的距离 Fig. 4 Shifting of local sub-domain

第8期 陶文铨等：无网格方法在流动和传热问题中的应用 5

Lin等将这2种迎风格式应用到对流–扩散问 题[72-73]、Burgers问题[72]与不可压缩流动问题[72,74]进行验证，他们研究发现第2种迎风格式的计算结果明显得好于第1种迎风格式的计算结果，而且第2种迎风格式的实施也比第1种迎风格式容易，但是2种方案在计算高Re(Re>400)的顶盖驱动流不可压缩流动问题时均不收敛。

3）SUPG迎风格式。

Brooks和Hughes于1982年提出了SUPG迎风格式[95]，目前该种格式被广泛地应用于有限元方法的计算。本文简单介绍SUPG格式的构建方法。

对于偏微分方程

Lu=f (5) 式中L为微分算子。假定u的近似函数为

u(x)=Φ(x)u=∑ΦI(x)uI (6)

h

T

I=1

N

那么方程(6)在计算区域Ω中的弱形式为

新数值计算方法。从文中可以看出无网格方法在流体流动和对流传热问题的数值求解方面还不成熟，有很多地方需要提高：

1）无网格方法的数值积分是其难点之一，这是因为无网格方法的形函数多为复杂的有理函数，不像有限元方法是一个简单的多项式，高斯积分方法能很好应用于有限元方法。

2）无网格方法需要大量的计算资源，一般它的计算量是有限容积或有限元方法的计算量的几十倍以上。

3）无网格方法在对流项和压力项处理方面还需要进一步的研究，发展一些高精度的格式和能使计算稳定的压力项的处理方法是当前急需解决的问题之一。

4）对一些复杂流动问题的计算缺乏深入的研究，目前文献的研究主要集中在二维问题，对三维问题的研究很少。

∫Ωv(Lu

*h

−f)dΩ=0 (7)

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对于Bubnov-Galerkin方法，它的检验函数

v*=Φ，而对于Petrov-Galerkin方法其v*≠Φ，本文将式(7)中的检验函数作如下替换：

v*=v+τLadvv (8)

式中：Ladv = uj∂(⋅)/∂xj为对流项的微分算子，v为检验函数，τ为稳定性参数，它的简化计算方法[95]为

τ=[D/(2u)](coth(Pe/2)−2/Pe) (9) 式中D为节点间距。

式(8)即为SUPG格式的处理方法。这样修改后的检验函数形状发生了很大的变化。图5给出了修改过的检验函数的值与原检验函数值的差别。图中A为所计算的节点。一般的Galerkin方法中的检验函数在A点的值最大，一般为1，其他点为零；而SUPG方法则在迎风方向的值变大，背风方向的值变小，最大值大于1。

SUPG Galerkin A Galerkin：v=Φ；SUPG：v*= v+τLadvv

*

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图5 Galerkin方法与SUPG方法的检验函数的差别

Fig. 5 Differences of test function between

Galerkin and SUPG method

3 结论

无网格方法是近二十年来才发展起来的一类

6 中 国 电 机 工 程 学 报 第30卷

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收稿日期：2009-11-19。 作者简介：

陶文铨(1939—)，男，中国科学院院士，博士生导师，研究方向为传热与流动的先进数值计算方法及其应用；强化传热的基本理论与工程应用；电子元器件的冷却技术；湍流模型及其工程应用；小

陶文铨

型低温制冷机制和冷系统性能的数值模拟；高效换热器的优化设计与研发等，wqtao@mail.xjtu.edu.cn；

吴学红(1979—)，男，博士，讲师，主要从事强化换热及数值模拟方面的研究，wuxh1212@163.com：

戴艳俊(1986—)，女，浙江人，博士研究生，主要从事强化换热与高性能算法方面的研究工作，daiyanjun@stu.xjtu.edu.cn。

(责任编辑 王庆霞)