《晶体结构与缺陷》第⼀章习题及答案
1-1.布拉维点阵的基本特点是什么？
答：具有周期性和对称性，⽽且每个结点都是等同点。1-2.论证为什么有且仅有14种Bravais点阵。
答：第⼀，不少于14种点阵。对于14种点阵中的任⼀种，不可能找到⼀种连接结点的⽅法，形成新的晶胞⽽对称性不变。第⼆，不多于14种。如果每种晶系都包含简单、⾯⼼、体⼼、底⼼四种点阵，七种晶系共28种Bravais点阵。但这28种中有些可以连成14种点阵中的某⼀种⽽对称性不变。例如体⼼单斜可以连成底⼼单斜点阵，所以并不是新点阵类型。1-3.以BCC、FCC和六⽅点阵为例说明晶胞和原胞的异同。
答：晶胞和原胞都能反映点阵的周期性，即将晶胞和原胞⽆限堆积都可以得到完整的整个点阵。但晶胞要求反映点阵的对称性，在此前提下的最⼩体积单元就是晶胞；⽽原胞只要求体积最⼩，布拉维点阵的原胞都只含⼀个结点。例如：BCC晶胞中结点数为2，原胞为1；FCC晶胞中结点数为4，原胞为1；六⽅点阵晶胞中结点数为3，原胞为1。见下图，直线为晶胞，虚线为原胞。
BCC FCC 六⽅点阵
1-4.什么是点阵常数？各种晶系各有⼏个点阵常数？
答：晶胞中相邻三条棱的长度a、b、c与这三条棱之间的夹⾓α、β、γ分别决定了晶胞的⼤⼩和形状，这六个参量就叫做点阵常数。
晶系a、b、c，α、β、γ之间的关系点阵常数的个数
三斜a≠b≠c，α≠β≠γ≠90o 6 (a、b、c 、α、β、γ) 单斜a≠b≠c，α=β=90≠γ或α=γ=90≠β 4 (a、b、c、γ或a、b、c、β) 斜⽅a≠b≠c，α＝β＝γ＝90o 3 (a、b、c)正⽅a=b≠c，α=β=γ=90o 2 (a、c)
⽴⽅a=b=c，α=β=γ=90o 1 (a)六⽅a=b≠c，α=β=90o,γ=120o 2 (a、c)菱⽅a=b=c，α=β=γ≠90o 2 (a、α)
1-5.分别画出锌和⾦刚⽯的晶胞，并指出其点阵和结构的差别。
答：点阵和结构不⼀定相同，因为点阵中的结点可以代表多个原⼦，⽽结构中的点只能代表⼀个原⼦。锌的点阵是六⽅点阵，但在⾮结点位置也存在原⼦，属于HCP结构；
⾦刚⽯的点阵是FCC点阵，但在四个四⾯体间隙中也存在碳原⼦，属于⾦刚⽯结构。见下图。
锌的结构⾦刚⽯的结构
1-6.写出⽴⽅晶系的{123}晶⾯族和<112>晶向族中的全部等价晶⾯和晶向的具体指数。答：{123} = (123) +(23) +(13)+ (12) +(132) +(32) +(12) +(13)+(213) +(13) +(23) +(21) +(231) +(31) +(21) +(23)+(312) +(12) +(32) +(31) +(321) +(21) +(31) +(32)<112> = [112] +[12] +[12] +[11] +[121] +[21]+[11] +[12] +[211] +[11] +[21] +[21]
1-7.在⽴⽅晶系的晶胞图中画出以下晶⾯和晶向：(102)、(11)、(1)、[110]、[11]、[10]和[21]。
1-8.标注图中所⽰⽴⽅晶胞中的各晶⾯及晶向指数。
1-9.写出六⽅晶系的{110}、{102}晶⾯族和<20>、<011>晶向族中的各等价晶⾯及等价晶向的具体指数。
答：{110} = (110) +(20) + (20)
{102} = (102) +(012) +(102) +(012) +(012) +(102)<20> = [20] +[110] +[20]
<011> = [011] +[011] +[101] +[101] +[011] +[101]
1-10.在六⽅晶胞图中画出以下晶⾯和晶向：(0001)、（）、（110）、（102）、（012）、[0001]、[]、[110]、[011]和[011]。
1-11.标注图中所⽰的六⽅晶胞中的各晶⾯及晶向指数。
1-12.⽤解析法求1-11第⼆图中的各晶向指数(按三指数－四指数变换公式)。解：由三指数[U V W]转化为四指数[u v t w]可利⽤公式：U = 2u +v , V= 2v + u , W = w
将?[23]、?[110]、?[113]、?[]中的u、v、w代⼊公式，得[1]、 [110]、 [111]、? [120 ]。
1-13.根据FCC和HCP晶体的堆垛特点论证这两种晶体中的⼋⾯体和四⾯体间隙的尺⼨必相同。
答：研究FCC晶体的(111)密排⾯和HCP晶体的(0001)密排⾯，发现两者原⼦排列⽅式完全相同；再研究两者的相邻两层密排⾯，发现它们层与层之间的吻合⽅式也没有差别。事实上只有研究相邻的三层⾯时，才会发现FCC和HCP的区别，⽽⼋⾯体间隙与四⾯体间隙都只跟两层密排原⼦有关，所以对于这两种间隙，FCC与HCP提供的微观环境完全相同，他们的尺⼨也必相同。
1-14.以六⽅晶体的三轴a、b、c为基，确定其⼋⾯体和四⾯体间隙中⼼的坐标。答：⼋⾯体间隙有六个，坐标分别为：
(?,-?,?)、(?,?,?)、(-?,-?,?)、(?,-?,?)、(?,?,?)、(-?,-?,?)；四⾯体间隙共有⼆⼗个，在中轴上的为：(0,0,?)、(0,0,?)；
在六条棱上的为：(1,0,?)、(1,1,?)、(0,1,?)、(-1,0,?)、(-1,-1,?)、(0,-1,?)、(1,0,?)、(1,1,?)、(0,1,?)、(-1,0,?)、(-1,-1,?)、(0,-1,?)；
在中部的为：(?,?,?)、(-?,?,?)、(-?,-?,?)、(?,?,?)、(-?,?,?)、(-?,-?,?)。1-15.按解析⼏何证明⽴⽅晶系的[h k l]⽅向垂直与(h k l)⾯。
证明：根据定义，(h k l)⾯与三轴分别交于a/h、a/k、a/l，可以推出此⾯⽅程为x/(a/h) + y/(a/k) + z/(a/l) = 1 => hx + ky +lz = a；平⾏移动得⾯ hx + ky +lz = 0；
⼜因为 (h, k, l) ? (x, y, z) = hx + ky + lz ≡ 0，知⽮量(h, k, l)恒
垂直于此⾯，即[h k l]⽅向垂直于hx + ky +lz = 0⾯，所以垂直于hx + ky +lz= a即(h k l)⾯。
1-16.由六⽅晶系的三指数晶带⽅程导出四指数晶带⽅程。解：六⽅晶系三指数晶带⽅程为 HU + KV + LW = 0 ；⾯(H K L)化为四指数(h k i l)，有H = h , K = k , L = l ；
⽅向[U V W]化为四指数[u v t w]后，有U = 2u +v , V= 2v + u , W = w ；代⼊晶带⽅程，得
h(2u +v) + k(2v + u) + lw = 0 ；
将i =–(h+k)，t =–(u+v)代⼊上式，得 hu + kv + it + lw = 0。
1-21.求出⽴⽅晶体中指数不⼤于3的低指数晶⾯的晶⾯距d和低指数晶向长度L(以晶胞边长a为单位)。解：晶⾯间距为d = a/sqrt (h2+k2+l2)，晶向长度为L = a·sqrt (u2+v2+w2)，可得
{310} √10/10 <310> √10
1-22.求出六⽅晶体中[0001]、[100]、[110]和[101]等晶向的长度(以点阵常数a和c为单位)。解：六⽅晶体晶向长度公式：
L = a·sqrt (U2+V2+W2c2/a2-UV)；（三指数）L = a·sqrt (u2+v2+2t2+w2c2/a2-uv)；（四指数）代⼊四指数公式，得长度分别为
c、√3*a、 3a、√(3a2+c2)。
1-23.计算⽴⽅晶体中指数不⼤于3的各低指数晶⾯间夹⾓(列表表⽰)。为什么夹⾓和点阵常数⽆关。解：利⽤晶⾯夹⾓公式cosφ= (h1h2+k1k2+l1l2)/sqrt((h12+k12+l12)*(h22+k22+l22))计算。两晶⾯族之间的夹⾓根据所选晶⾯的不同可能有多个，下⾯只列出⼀个，其他这⾥不讨论。
cosφ{100} {110} {111} {210} {211} {221} {310} {100} 1 √2/2 √3/3 2√5/5 √6/3 2/3 3√10/10 {110} 1 √6/3 3√10/10 √3/2 2√2/3 2√5/5{111} 1 √15/5 2√2/3 5√3/9 2√30/15 {210} 1 √30/6 2√5/5 7√2/10 {211} 1 7√6/18 7√15/30 {221} 1 4√10/15 {310} 1后⾯的结果略。
1-24.计算⽴⽅晶体中指数不⼤于3的各低指数晶向间夹⾓(列表表⽰)，并将所得结果和上题⽐较。解：利⽤晶向夹⾓公式cosθ= (u1u2+v1v2+w1w2)/sqrt ((u12+v12+w12)*(u22+v22+w22))计算。
两晶向族之间的夹⾓根据所选晶向的不同可能有多个，所得结果与上题完全相同，只将表⽰晶⾯的“{}”替换为“<>”即可。从表⾯上看是因为晶向夹⾓公式与晶⾯夹⾓公式完全相同的原因，深⼊分析，发现晶向[x y z]是晶⾯(x y z)的法线⽅向，是垂直关系，所以两晶⾯的夹⾓恒等于同指数的晶向夹⾓。
1-25.计算六⽅晶体中(0001)、{100}和{110}之间的夹⾓。
解：化为三指数为：(001)、(210)或(120)或(10)、(110)或(10)或(20)，利⽤六⽅晶系⾯夹⾓公式(P41公式1-39)，分别代⼊求得(0001) 与 {100}或{110}：夹⾓为90o；{100} 与 {110}：夹⾓为30o或90o。
1-26.分别⽤晶⾯夹⾓公式及⼏何法推导六⽅晶体中(102)⾯和(012)⾯的夹⾓公式(⽤点阵常数a和c表⽰)。
解：(1) 化为三指数为(102)、(02)，代⼊公式(P41公式1-39)得
cosφ= … = (3a2-c2)/(3a2+c2)(2) 如右图，利⽤余弦定律，可得cosφ= … = (3a2-c2)/(3a2+c2)
1-27.利⽤上题所得的公式具体计算Zn(c/a=1.86)、Mg(c/a=1.62)和Ti(c/a=1.59)三种⾦属的(102)⾯和(012)⾯的夹⾓。解：代⼊公式，得 cosφ1 = -0.0711, cosφ2 = 0.0668, cosφ3 = 0.0854；得夹⾓为φ1 (Zn)= 94.1o, φ2 (Mg)= 86.2o, φ3 (Ti)= 85.1o。1-28.将(102)和(012)分别换成[011]和[101]，重做1-26、1-27题。
解：化为三指数为[1]和[211]，代⼊公式，得cosβ= … = (c2-3a2)/(3a2+c2) 见1-26题答案中的图，利⽤余弦定律，可得 cosβ=… = (c2-3a2)/(3a2+c2)
代⼊公式，得 cosφ1 = 0.0711, cosφ2 = -0.0668, cosφ3 = -0.0854；得夹⾓为φ1 (Zn)= 85.9o, φ2 (Mg)= 93.8o, φ3 (Ti)= 94.9o。1-29.推导菱⽅晶体在菱⽅轴下的点阵常数a R、αR和在六⽅轴下的点阵常数a H、c H之间的换算公式。解：在a H、b H、c H下，a R = ?[11]，所以点阵常数a R = L
= a H·sqrt (U2+V2+W2c H2/a H2-UV)= ?√(3a H2+c H2),
⼜因为αR是晶向?[11]与?[121]的夹⾓，所以点阵常数αR
= arcos ( (c H2/a H2-3/2)/(3+ c H2/a H2) )= arcos ( (2c H2-3a H2)/(6a H2+2c H2) )。可得a H = a R·sqrt (2(1-cosα))；c H = a R·sqrt (3(1+2cosα))。
1-30.已知α-Al2O3(菱⽅晶体)的点阵常数为a R = 5.12、αR = 55o17’，求它在六⽅轴下的点阵常数a H和c H。
解：利⽤上题公式，将a R 、αR 数值代⼊，可得a H = 4.75 ?、c H = 12.97 ?。第⼀章补充题：
1.Prove that the A-face-centered hexagonal lattice isnot a new type of lattice in addition to the 14 spacelattice.
答：如图，六⽅点阵加⼊a⾯⾯⼼以后，对称性降低，可以连成⼀个⾯⼼斜⽅点阵。所以它不是⼀个新点阵。2.Draw a primitive cell of BCC lattice. (答案见1-3)3.Prove that the sizes of both octahedral and tetrahedralinterstitials in HCP are same as there in FCC. (答案见1-13，计算在课本P18、P20)
4.Determine the coordinates of centers of both theoctahedral and the tetrahedral interstitial in HCP
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