北师大版七年级数学下册第五章 生活中的轴对称练习题

北师大版七年级数学下册第五章 生活中的轴对称

类型之一 轴对称

1．为丰富国民精神文化生活，提升文化素养，全国各地陆续开展全民阅读活动．现在的图书馆不单是人们学习知识的地方，更是成为人们休闲的好去处．下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是( )

图5－X－1

2．2018·河北 图5－X－2是由“○”和“□”组成的轴对称图形，该图形的对称轴是直线( )

图5－X－2

A．l1 B．l2 C．l3 D．l4

3．如图5－X－3，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，下列说法中不正确的是( )

图5－X－3

A．∠DAO＝∠CBO，∠ADO＝∠BCO B．直线l垂直平分线段AB，CD C．△AOD和△BOC均是等腰三角形 D．AD＝BC，OD＝OC

4．如图5－X－4，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，使点A落到点A′处．若∠C＝120°，∠A＝26°，则∠A′DB的度数为________．

图5－X－4

类型之二 等腰(边)三角形的性质

5．若等腰三角形的一个内角为120°，则它的底角是( )

A．20° B．30° C．40° D．60°

6．如图5－X－5，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为( )

图5－X－5

A．30° B．40° C．45° D．60°

7．如图5－X－6，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，那么∠CBE与∠BAD相等吗？为什么？

图5－X－6

8．如图5－X－7，△ABC，△ADE都是等边三角形，点B，C，D在同一直线上．求∠ECD的度数．

图5－X－7

类型之三 线段垂直平分线的性质

9．如图5－X－8，在△ABC中，∠B＝40°，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，且∠EAB∶∠CAE＝3∶1，则∠C等于( )

图5－X－8

A．28° B．25° C．22.5° D．20°

10．如图5－X－9，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝25°，DE是边AC的垂直平分线，连接AE，则∠BAE等于________．

图5－X－9

11．如图5－X－10，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E.若△ABC与△EBC的周长分别是40 cm，24 cm，则AB＝________cm.

图5－X－10

类型之四 角平分线的性质

12．如图5－X－11，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，则下列结论中不一定成立的是( )

图5－X－11

A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP

13．如图5－X－12所示，已知△ABC的周长是20，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是________．

图5－X－12

14．如图5－X－13，D是∠EAF的平分线上的一点，若∠ACD＋∠ABD＝180°.试说明：CD＝BD.

图5－X－13

类型之五 利用轴对称进行设计

15．如图5－X－14，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中空白小正方形

涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有( )

图5－X－14

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

16．作图题：在方格纸中画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1.

图5－X－15

类型之六 综合与实践

17．如图5－X－16(1)，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

图5－X－16

聪明的小明通过思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l看成一条直线(图(2))，问题就转化为要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小．他的做法是这样的：

①作点B关于直线l的对称点B′；

②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求． 请你参考小明的做法解决下列问题：

如图5－X－17，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．

图5－X－17

教师详解详析

1．B 2.C

3．C [解析] 因为△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，

所以∠DAO＝∠CBO，∠ADO＝∠BCO，直线l垂直平分线段AB，CD，AD＝BC，OD＝OC. 因为题设中没有给定△AOD为等腰三角形， 所以△BOC的形状不能确定，

所以A，B，D选项的说法正确，C选项的说法错误．故选C.

4．112° [解析] ∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝34°.因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B＝34°，

所以∠A′DE＝∠ADE＝34°，

所以∠A′DB＝180°－∠ADE－∠A′DE＝112°.

5．B [解析] 因为等腰三角形的一个内角为120°，则这个内角只能是顶角， 所以底角＝(180°－120°)÷2＝30°. 6．B

7．解：∠CBE＝∠BAD.理由如下： 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C.

因为BE⊥AC，所以∠CBE＋∠C＝90°. 因为AD是BC边上的中线，AB＝AC， 所以AD⊥BC，

所以∠BAD＋∠ABC＝90°， 所以∠CBE＝∠BAD.

8．解：因为△ABC，△ADE是等边三角形，

所以AE＝AD，AC＝AB，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝∠DAE＝60°， 所以∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 所以△BAD≌△CAE，

所以∠ACE＝∠ABD＝60°，

所以∠ECD＝180°－∠ACB－∠ACE＝60°.

9．A [解析] 设∠CAE＝x°，则∠EAB＝3x°.

因为AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，所以AE＝CE，所以∠C＝∠CAE＝x°. 根据三角形的内角和为180°，得∠C＋∠BAC＝180°－∠B，即x＋4x＝140，解得x＝28，则∠C＝28°.

10．40° 11．16

12．D [解析] 因为OP平分∠AOB，PA⊥OA， PB⊥OB，所以PA＝PB， 所以△OPA≌△OPB，

所以∠APO＝∠BPO，OA＝OB， 所以A，B，C选项均正确． 设PO与AB相交于点E，

因为OA＝OB，∠AOP＝∠BOP，OE＝OE， 所以△AOE≌△BOE，

所以∠AEO＝∠BEO＝90°， 所以OP⊥AB，

而不能得到AB平分OP， 故D一定不成立．

13．30 [解析] 连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F.因为BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，所以OE＝OF＝OD＝3.因为△ABC的周长是20，OD⊥BC于点D，且OD＝3，11111

所以S△ABC＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝(AB＋BC＋AC)×3＝×20×3＝30.

22222

14．[解析] 本题通过角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质，再通过三角形的全等证得．

解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于点M，交AF于点N，则∠CMD＝∠BND＝90°.

又因为AD是∠EAF的平分线， 所以DM＝DN.

因为∠ACD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠MCD＝180°， 所以∠MCD＝∠NBD. 在△CDM和△BDN中，

因为∠CMD＝∠BND，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN， 所以△CDM≌△BDN， 所以CD＝BD.

15．C [解析] 如图所示，共5种．

16．略

17．[解析] 根据题意可知△DEP中DE不变，只要求出DP＋PE的最小值即可，作点D关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求．

解：作点D关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，此时△PDE的周长最小．