平面向量综合试题(含答案)

一。选择题： 1。 在平面上，已知点A(2,1)，B(0，2),C（－2,1),O（0,0）．给出下面的结论： ①ABCABC ②OAOCOB ③ACOB2OA 其中正确结论的个数是 ( ）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 ．．2． 下列命题正确的是 （ ）

A．向量AB的长度与向量BA的长度相等 B．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C．若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线 D．若a b c,则a c

3. 若向量= (1,1), = （1,－1)， =(－1,2），则 等于（ )

A.+ B. C。 D。+

4． 若

A．

，且与也互相垂直，则实数的值为（ )

D.3

B.

C。

B.6 C.

5．3) , 已知=（2，=(7） ，，则在A。上的正射影的数量为（ ）

D.

（2,－1) 。

（0,5） 且点P在

C.（

6． 己知的延长线上，

,3） D。(2,－7)

, 则P点坐标为( )

A.（－2,11） B。（

7．设a，b是非零向量，若函数f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线，则必有（ ) A．a⊥b

B．a∥b

C．|a||b|

D．|a||b|

8．已知D点与ABC三点构成平行四边形,且A（－2,1），B(－1,3），C（3,4），则D点坐标为( ） A.（2，2） B。（4,6) C。 (－6,0） D.(2，2）或(－6,0)或（4，6） 9.在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是 (A)ACACAB （B） BCBABC （C)ABACCD （D） CD2222(ACAB)(BABC)AB2

10． 设两个向量a(2,2cos2)和b(m,围是 （ ） A.[6,1] B。[4,8]

msin),其中,m,为实数.若a2b,则的取值范2mC。(,1]

D。[1,6]

10．已知P＝{a|a＝（1,0)＋m(0,1），m∈R}，Q＝｛b｜b＝(1,1）＋n(－1，1）,n∈R｝是两个向量集合，

则P∩Q等于( )A．｛（1,1）} B．｛(－1，1)｝ C．｛(1，0)} D．｛(0，1)}

二. 填空题：11．若向量a，b的夹角为60，ab1，则aab ．

A

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B

D

C

12．向量a=2，，4b=11，．若向量b(a+b)，则实数的值是 13．向量a、b满足 ．

a=b=1,3a2b=3，则 3ab =

14． 如图，在ABC中，BAC120,AB2,AC1,D是边BC上一点，DC2BD,则

ADBC__________。

15．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N,若ABmAM,ACnAN，则mn的值为 三. 解答题：

16。设两个非零向量e1、e2不共线。如果AB=e1+e2,BC2e1+8e2,CD=3(e1—e2） ⑴求证:A、B、D共线； ⑵试确定实数k，使ke1+e2和e1+ke2共线.

．

ANBOCM17. 已知△ABC中,A（2,4），B（-1,-2)，C(4,3），BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC；⑵求点D与向量AD的坐标。

π

17．(10分)已知sin（α＋）＝－错误!，α∈(0，π)．（1)求错误!的值；(2)求cos（2α－错误!)的值．

2

18．已知矩形相邻的两个顶点是A(－1，3），B（－2，4），若它的对角线交点在x轴上，求另两个顶点的坐标． 19。

20．已知向量a(sin,1),b(1,cos),已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

(1）若c5，求sin∠A的值；(2)若∠A是钝角,求c的取值范围。

22．(1)若ab，求； （2）求ab的最大值．

21.设向量a(sinx,cosx),b(cosx,cosx),xR，函数f(x)a(ab).

（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期； (Ⅱ）求使不等式f(x)

22．（12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝（cos β，sin β)，|a－b｜＝错误!．

（1)求cos（α－β）的值; (2)若0〈α<错误!，－错误!<β〈0，且sin β＝－错误!，求sin α．

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3成立的x的集合. 2平面向量参

一、选择题：1—5:BABBC 6.A 7. A 【解析】f(x)(xab)(axb)abx2(|a|2|b|2)xab,

若函数f(x)的图象是一条直线,即其二次项系数为0， ab=0， a⊥b.

8。D 9。 C.【分析】: ACACABAC(ACAB)0ACBC0,A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为CDABACBC，通过等积变换判断为正确.

2222222mm10. A【分析】由a(2,cos),b(m,sin),a2b,可得2,设k22mcosm2sin222km22m22k2代入方程组可得22消去化简得cos2sin，再化简得m22k2kkmcosm2sin214222sin0再令t代入上式得(sin21)2(16t218t2)0可得2cosk2k2k2111(16t218t2)[0,4]解不等式得t[1,]因而1解得6k1。故选A 10。 A

8k28二、填空题： 11。 12.-3

21211【解析】aabaabaabcos601。

222。解析:已知向量a=2，，4b=11，．向量ADA Bab(2,4)，b(a+b)，则2+λ+4+λ=0，实数=－3．13.

14。 【分析】根据向量的加减法法则有：BCACAB

C83112ADABBDAB(ACAB)ACAB,此时

3332212122AD·BC(ACAB)(ACAB)ACAC·ABAB

333331818. 3333N B OC

M 15. 解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填2 三、解答题：16.⑴∵BDBCCD5e1+5e2=5AB , ∴AB//BD又有公共点B,∴A、B、D共线 ⑵设存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k=1 17。⑴由ABAC0可知ABAC即AB⊥AC

⑵设D（x,y），∴AD(x2,y4),BC(5,5),BD(x1,y2)∵ADBC ∴5（x-2）+5(y-4）=0

x∴y7252∵BD//BC ∴5（x+1)－5（y+2）=0

7533 ∴D(,）AD(,)

222217．解 （1）sin（α＋错误!）＝－错误!，α∈（0,π)⇒cos α＝－错误!,α∈(0,π)⇒sin α＝错误!.

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错误!＝错误!＝－错误!.

（2)∵cos α＝－错误!，sin α＝错误!⇒sin 2α＝－错误!，cos 2α＝－错误!.cos（2α－错误!)＝－错误!cos 2α＋错误!sin 2α＝－错误!.

18．解：因为矩形对角线交点在x轴上，故设交点为M(x,0)，由｜MA｜=｜MB｜得：

(x1)232(x2)242解得：x=－5，∴交点为M(－5，0)

又设矩形另两个顶点为C（x1，y1）、D（x2，y2）

1x152∵M是AC的中点，由中点坐标公式得

3y102故所求两个顶点的坐标为（―9,―3)，（―8，―4）。

x19同理可求得:x8,y4

22y3119。 解：（1) AB(3,4)， AC(c3,4) 当c=5时，AC(2,4)

cosAcosAC,AB61652515 进而sinA1cos2A25 5252

（2)若A为钝角,则AB﹒AC= —3（c-3）+（ —4)〈0解得c〉3显然AB和AC不共线，故c的取值范围为25[3，+)

20．解:（Ⅰ)若ab,则sincos0，由此得：tan1,(（Ⅱ）由a(sin,1),b(1,cos),得：

22),所以, 4．

ab(sin1)2(1cos)232(sincos)322sin() 4422221。 解：（Ⅰ）∵f(x)a(ab)aaabsinxcosxsinxcosxcosx

当sin(4)1时，ab取得最大值，即当时，ab的最大值为21．

113232，最小正周期是 1sin2x(cos2x1)sin(2x)∴f(x)的最大值为22224223323（Ⅱ)要使f(x)成立,当且仅当sin(2x),

222423,kZ， 即sin(2x)02k2x2kkxk4884即f(x)33成立的x的取值集合是x|kxk,kZ 28822．解 (1）∵|a|＝1，｜b|＝1,|a－b|2＝|a｜2－2a·b＋|b|2＝|a｜2＋|b|2－2(cos αcos β＋sin αsin β）

2＝错误!，＝1＋1－2cos(α－β），｜a－b|2＝（错误!）∴2－2cos（α－β）＝错误!得cos（α－β）＝错误!．

（2)∵－错误!〈β<0〈α〈错误!，∴0〈α－β<π．由cos(α－β）＝错误!得sin（α－β）＝错误!，由sin β＝－错误!得cos β＝错误!．

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∴sin α＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β）cos β＋cos（α－β)sin β＝错误!×错误!＋错误!×(－错误!）＝错误!．

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