中考试题相似三角形含答案

中点 C，OB的中点D，测得CD=30米，则AB=______米．

图3

14、（2008建设兵团）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为 ．（精确到0.01）

15、如图，△ABC中，ABAC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件： ，使△ADE∽△ABC． ．．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）

16、（200连）如图5，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为_____________.．

17、（2008上海市）如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是 ．

18、 （2008上海市）如图，平行四边形ABCD中，E是边BCA F B E

C D BE2上的点，AE交BD于点F，如果，那么

BC3BF ． FD一、选择题 1、（2008湖北襄樊）如图1,已知AD与VC相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D=30°,则∠AOC的大小为（ ）

A.60° B.70° C.80° D.120° A C D O E D

B A

B C 图1

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2、（2008湘潭市） 如图，已知D、E分别是ABC的AB、 AC边上的点，DEBC,且SADES四边形DBCE1 那么AE:AC等于（ ） A．1 : 9 C．1 : 8

5、（2008浙江金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城A 墙的高度是（ ）

DB．1 : 3

D．1 : 2

A、6米 B、8米 C、18米 D、24O米 EFBC

第18题图

6、(2008 青海)如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ） A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2 7、（2008 青海 西宁）给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( )

A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假

8、（2008海南省）如图2所示，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（ ） A.

2331 B. C. D.

2232

D A

F E M

F 60°

B C D E

C B

(第2题图) 图2

9、 （2008湖北荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF

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交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4

10、（2008贵州贵阳)如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是（ ） A.1:2

B．1:4

C．1:2

D．2:1

11、（2008湖南株洲）4．如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，若

BC6，则DE等于 A．5 B．4 C．3 D．2 A

E D

B

C

第4题

12、 (2008 青海)如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，

D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（ ） A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:2 A D O EFBC

第18题图

13、（2008青海西宁）给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( )

A．①真②真 B．①假②真 C．①真②假 D．①假②假

14、已知△ABC∽△DEF，相似比为3，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（ ）

A．2 B．3 C．6 D． 15、（2008山东潍坊）如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于 DAD,设BP=x,则PD+PE=（ ） CA.

17、（2008年广东茂名市）如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，

AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的 （ ）

x53 B.4x5 C.

72 D.

12x12x25E25

PB第 3 页 共 20 页

Ａ．

1214 Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9939A E H DAEF B G C BC（（第10题图）

18、(2008 江苏 常州)如图,在△ABC中,若DE∥BC,A.8cm

B.12cm

C.11cm

AD1=,DE=4cm,则BC的长为（ ） DB2D.10cm

20、(2008 重庆)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为（）

A、2∶3 B、4∶9 C、2∶3 D、3∶2

21、(2008 湖南 长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵

大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ） A、4.8米

B、6.4米

C、9.6米

D、10米

22、（2008江苏南京）小刚身高1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶 A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m 33、（2008湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（ ）

A

B

三、解答题 1、（2008广东）如图5，在△ABC中，BC>AC， 点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线

CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF. （1）求证：EF∥BC. （2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.

C A．

B．

C． D．

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2、（2008山西太原）如图，在ABC中，BAC2C。 （1）在图中作出ABC的内角平分线AD。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明） （2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。 提示：（1）如图，AD即为所求。 3、（2008湖北武汉）（本题6分）如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC。 求证：△ABC∽△FDE． A

F

C B D E

4、 （2008年杭州市）（本小题满分10分）

如图：在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E,连接BP交AC于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;

(3) 以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC

和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG,如果存在点P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范围。 C

E F P 7、（2008年江苏省南通市）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D

A 作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E. B

H

（1）求证：AB·AF＝CB·CD

（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP

2

的面积为ycm.

D①求y关于x的函数关系式；

②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值. P

C F

AEB8、(2008 湖南 怀化)如图10，四边形ABCD、

DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交

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于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）AECG；

（2）ANDNCNMN.

9、(2008 湖南 益阳)△ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上. Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；

A

G F

B C D E

图 (1)

Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.

小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

问题解答. a的解答记分. ．．．．．如果两题都解，只以Ⅱ．．．．．．．．．．．．．．．．

Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了.

设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .

A G F B

D

图 (2)

E

C Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；

②连结BF’并延长交AC于F；

③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.

A 你认为小明的作法正确吗？说明理由.

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G G′ B

F′ F E′

C

11、 （08浙江温州）如图，在Rt△ABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQx，

QRy．

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；A 若不存在，请说明理由．

R E D P C B

H Q

（第11题图）

12、（08山东省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令

A AM＝x．

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； N M O （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

P y关于x的（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求C B 函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

图 1

13、(2008安徽)如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求BP:PQ:QR．

A P B O D R E

C

第20题图

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14、（2008 山东 临沂）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，

DE1CD。 2AFD⑴求证：△ABF∽△CEB;

⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。

E B第21题图 C

15、 (2008 浙江 丽水)为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书

房里挂一张测试距离为5米的视力表．在一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．

（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处，被测试人站立在

对角线AC上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．

（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH上，在墙ABEF上挂一面足够大的平

面镜，根据平面镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处． （3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距 为3m的小视

力表．如果大视力表中“E”的长是3.5cm，那么小视力表中相应“E”的长是多少cm？

C

H

H

B

3.5㎝

F

A

D 5m 3m

（图1）

（第22题）

（图2） （图3）

17、(2008 黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，点C(3，0)，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足OB3OA10．

（1）求点A，点B的坐标．

（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连结AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． y B 2第 8 页 共 20 页 C O A x

18、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M

点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S； （2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

A A A N M M N O O N M O P C B C B C B D

图 1 P 图 2

图 3

20、(2008年福建省福州市)（本题满分13分）

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由； （2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？

（第21题）

22、(2008年广东梅州市)本题满分8分．

如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC于点F． （1）求证： ADE∽BEF；

（2）设正方形的边长为4， AE=x，BF=y．当x取什么值时， y有最大值?并求出这个最大值．

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23.（2008扬州）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连结BC、DE相交于点F，BC与AD相交于点G.

（1）试判断线段BC、DE的数量关系，并说明理由

（2）如果∠ABC=∠CBD，那么线段FD是线段FG和FB的比例中项吗？为什么？

EACFGBD

参

一、选择题

1、B 2、B 3、D 4、B 5、B 6、C 7、C 8、A 9、C 10、B 11、C 12、C 13、C 14、C 15、A 16、A 17、C 18、B 19、B 20、B 21、C 22、A 23、B 二、填空题

1、∠ADE=∠ACB（或∠AED=∠ABC或错误！不能通过编辑域代码创建对象。）

Sh22、1:9 3、 4、100 5、 6、50 7、10.5 8、4：9 9、11

S2h2310、∠AED∠B，或∠ADE∠C，或

2ADAE ACAB11、4 12、10 13、60 14、6.71 15、 16、30° 17、1:9 18、

2 3三、解答题 1、（1）证明：

CF平分ACB， ∴ 12.

又∵ DCAC, ∴ CF是△ACD的中线，

∴ 点F是AD的中点.

∵ 点E是AB的中点， ∴ EF∥BD, 即 EF∥BC.

（2）解：由（1）知，EF∥BD，

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∴ △AEF∽△ABD , ∴

SAEFAE2(). SABDAB 又∵ AE ∴

1AB, SAEFSABDS四边形BDFESABD6, 2SABD612() , ∴ SABD8,

SABD2 ∴ ABD的面积为8.

2、（2）ABDCBA，理由如下：

AD平分BAC,BAC2C,则BADBCA， 又BB，故ABDCBA。

3、证明：略 4、（1）∵△ABC为等腰三角形 ∴AC=BC ∠CAB=∠CBA

又∵CH为底边上的高，P为高线上的点 ∴PA=PB ∴∠PAB=∠PBA ∵∠CAE=∠CAB-∠PAB ∠CBF=∠CBA-∠PBA ∴∠CAE=∠CBF

（2）∵AC=BC ∠CAE=∠CBF ∠ACE=∠BCF

∴△ACE～△BCF(AAS) ∴AE=BF

（3）若存在点P能使S△ABC=S△ABG，因为AE=BF，所以△ABG也是一个等腰三角形，这两个三

角形面积相等，底边也相同，所以高也相等，进而可以说明△ABC～△ABG，则对应边AC=AE,∠ACE=∠AEC,所以0°≤∠C＜90° 7、（1）证明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC

∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.

∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B 在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B ∴△DCF∽△ABC

∴

CDCFCDAF，即.∴AB·AF＝CB·CD ABCBABCB（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°， ∴AC＝ AB2BC2＝15292＝12，∴CF＝AF＝6

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∴y1(x9)×6＝3x＋27（x＞0） 2②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周长最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，点C关于直线DE的对称点是点A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小.

显然当P、A、B三点共线时PB＋PA最小.此时DP＝DE，PB＋PA＝AB. 由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.

EF∥BC，得AE＝BE＝

1159AB＝，EF＝. 222∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.

Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8. ∴DE＝DF＋FE＝8＋∴当x＝

925＝. 2212925时，△PBC的周长最小，此时y＝

228、证明：（1）四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形

ADCD,DEDG,ADCEDG90,

ADECDG,△ADE≌△CDG，AECG

（2）由（1）得 ADECDG,DAEDCG,又ANMCND，

ANMN，即ANDNCNMNCNDN∴AMN∽CDN 

9、Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，

∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60° ∴△BDG≌△CEF(AAS)

Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，

A 求得AH3

x3x 232323G F 由△AGF∽△ABC得：

B

D

H

E

C 解之得：x2x 2(或x436)

解法二：设正方形的边长为x，则BD在Rt△BDG中，tan∠B=

GD， BD第 12 页 共 20 页

∴

x3 2x22323解之得：x(或x436)

解法三：设正方形的边长为x，

则BD2x,GB2x 22x2) 2 由勾股定理得：(2x)2x2( 解之得：x436 Ⅱb.解： 正确

由已知可知，四边形GDEF为矩形

∵FE∥F’E’ ，

FEFB∴， FEFBA G G’ B

F’ F D’ D E’ E

解图 (3)

C 同理∴

FGFB， FGFBFEFG FEFG 又∵F’E’=F’G’，

∴FE=FG

因此，矩形GDEF为正方形

11、解：（1）ARt，AB6，AC8，BC10． 点D为AB中点，BD1AB3． 2DHBA90，BB．

△BHD∽△BAC， DHBDBD312，DHAC8．

ACBCBC105（2）

QR∥AB，QRCA90． △RQC∽△ABC， CC，A

D P 1 M 2 B H Q

R E C

RQQCy10x，， ABBC6103即y关于x的函数关系式为：yx6．

5（3）存在，分三种情况：

①当PQPR时，过点P作PMQR于M，则QMRM．

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1290，C290，

1C．

cos1cosCQM484， ，QP5105A D B H

A D B E P R Q

C

P E Q 13x6425，x18． 12555②当PQRQ时，R C 312x6， 55x6．

③当PRQR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点，

11H

CRCEAC2．

24QRBA， tanCCRCA3x61565，x．

2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．

5212、解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

∴ △AMN ∽ △ABC．

xAN∴ AMAN，即．

43ABAC3∴ AN＝x． ……………2分

4∴ S=SMNPSAMN133（0＜x＜4） ……………3分 xxx2．

2481MN． 2（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =

在Rt△ABC中，BC ＝AB2AC2=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

xMN∴ AMMN，即．

45ABBC∴ MNA N 55x， ∴ ODx． …………………5分 M 48B Q O D 图 2

C 第 14 页 共 20 页

过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQOD5x． 8在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ BMQM．

BCAC55x825x，ABBMMA25xx4． ∴ BM2432496． 4996∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．…………………………………7分

49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点． ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC． ∴ △AMO ∽ △ABP． ∴ x＝

∴ AMAO1． AM＝MB＝2． ABAP2故以下分两种情况讨论： ① 当0＜x≤2时，ySΔPMN∴ 当x＝2时，y最大M A N 3x2． 8O B P 图 3

C 3232. ………8分 82② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x． 又∵ MN∥BC，

M ∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x．

∴ PFx4x2x4． 又△PEF ∽ △ACB．

B A O N C E P F 图 4

SPEFPF∴ ． SABCAB∴ SPEF232x2． ……………………………………………… 9分 23392ySMNPSPEF＝x2x2x26x6．……………………10分

82829298当2＜x＜4时，yx6x6x2．

883∴ 当x 8时，满足2＜x＜4，y最大2． ……………………11分 3第 15 页 共 20 页

综上所述，当x

8时，y值最大，最大值是2． …………………………12分 313.、解（1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，

△PAB∽△RDQ．

（2）

四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，BCADCE，

AC∥DE，PBPR，

PC1．又PC∥DR，△PCQ∽△RDQ． RE2PQPCPC1．QR2PQ． QRDRRE2点R是DE中点，DRRE．又

BPPRPQQR3PQ，BP:PQ:QR3:1:2．

14、解：⑴证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB.

⑵∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥＝CD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF， ∵DE1CD, 222S1S1DEDE∴DEF,DEF, SCEBEC9SABFAB4∵SDEF2, ∴SCEB18,SABF8, ∴S四边形BCDFSBCESDEF16,

∴S四边形ABCDS四边形BCDFSABF16824 15、解：（1）甲生的设计方案可行．

CADCD3.24.328.73根据勾股定理，得A．

22222C28.73255∴A．

∴甲生的设计方案可行． （2）1.8米．

（3）∵FD∥BC

∴△ADF∽△ABC．∴∴

FDAD． BCABFD3． 3.55第 16 页 共 20 页

∴F（cm）． D2.117、解：（1）

OB23OA10

OB230，OA10 OB3，OA1

点A，点B分别在x轴，y轴的正半轴上

A(1，，0)B(0，3)

（2）求得ABC90

23t (0≤t23)S

t23 (t23)，0)；P21，（3）P1(3243；P31，3；P4(3，23) 33A O P B

C N 18.、解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

∴ △AMN ∽ △ABC．

xAN∴ AMAN，即．

43ABAC3∴ AN＝x．

4∴ S=SMNPSAMNM 图 1 1332x（0＜＜4） xxx．

248（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC ＝AB2AC2=5． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC．

1MN． 2xMN∴ AMMN，即．

45ABBCA M O B

Q D 图 2

N 5∴ MNx，

45∴ ODx．

8过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQODC 5x． 8在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角， ∴ △BMQ∽△BCA． ∴ BMQM．

BCAC 第 17 页 共 20 页

55x825x，ABBMMA25xx4． ∴ BM2432496． 4996∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．

49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

A ∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC． ∴ △AMO ∽ △ABP． ∴ x＝

∴ AMAO1． AM＝MB＝2．

ABAP2故以下分两种情况讨论：

B M O P 图 3

N C 3① 当0＜x≤2时，ySΔPMNx2．

8∴ 当x＝2时，y最大3232. 82A ② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

M 又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形． ∴ FN＝BM＝4－x． E B ∴ PFx4x2x4． 又△PEF ∽ △ACB．

P O N C F 图 4

SPEFPF∴ ． SABCAB∴ SPEF232x2． 23392ySMNPSPEF＝x2x2x26x6.

82829298当2＜x＜4时，yx6x6x2．

8838时，满足2＜x＜4，y最大2． 38综上所述，当x时，y值最大，最大值是2．

3∴ 当x20、解：(1)△BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,

0

所以BQ=BP.又因为∠B=60,所以△BPQ是等边三角形.

0

(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin60=3t,由AP=t,得PB=6-t,

第 18 页 共 20 页

所以S△BPQ=

3211×BP×QE=(6-t)×3t=－t+33t；

2220

0

0

(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=60，∠RQC=∠B=60，又因为∠C=60, 所以△QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ·cos60=

0

1×2t=t, 2所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=90,所以∠APR=∠PRQ=90.因为△APR～△PRQ,

0

0

所以∠QPR=∠A=60,所以tan60=

00

62tQR63,所以t=, ,即

PR53t所以当t=

6时, △APR～△PRQ 522、证明： （1）因为ABCD是正方形，所以

∠DAE=∠FBE=90，

所以∠ADE+∠DEA=90， ······················· 1分

又EF⊥DE，所以∠AED+∠FEB=90， ························································ 2分 所以∠ADE=∠FEB， ················································································ 3分 所以ADE∽BEF． ··············································································· 4分 （2）解：由（1） ADE∽BEF，AD=4，BE=4-x，得

y4x，得 ························································································ 5分 x4111································· 6分 y=(x24x)[(x2)24]=(x2)21， ·

444所以当x=2时， y有最大值， ··································································· 7分 y的最大值为1．

23、

解：（1）BC、DE的数量关系是BC=DE

理由如下：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAC=∠DAE 又∵AB=AD AC=AE

∴△ABC≌△ADE （SAS） ∴BC=DE

（2）线段FD是线段FG和FB的比例中项

理由如下：∵△ABC≌△ADE ∴∠ABC=∠ADE ∵∠ABC=∠CBD ∴∠ADE=∠CBD 又∵∠BFD=∠DFG ∴△BFD∽△DFG ∴

BFDF2

∴FD=FG·FB DFGF第 19 页 共 20 页