高考数学模拟试卷 (1)

2016年“超级全能生”26省联考高考数学模拟试卷（甲卷）（文科）

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）已知集合B={1}，A∪B={1，2}，则A=（ ） A．∅ B．{2} C．{1，2} D．{2}或{1，2} 2．（5分）若复数z1=﹣i，

，则z1z2=（ ）

A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i 3．（5分）掷一枚均匀的硬币4次，则出现“3次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

4．（5分）“xy=0”是“y=0”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5分）（2016•湖南四模）一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回3个伙伴；第2天有4只蜜蜂飞出去各自找回了3个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂． A．972 B．1456 C．4096 D．60 6．（5分）（2016春•眉山期末）如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全一样，俯视图的外框为正方形，则这个几何体的表面积是（ ）

A．80﹣2π B．80

C．80+4π

D．80+6π

0.5

7．（5分）对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则2⊗log0.5的值为（ ）

A．

B．

C．

D．

上为减函数的是（ ）

第1页（共16页）

8．（5分）下列函数中在

A．y=﹣tanx B．

C．y=sin2x+cos2x D．y=2cosx﹣1 9．（5分）下列函数中满足A．f（x）=3x+2 B．

2

的是（ ）

C．

D．f（x）=x+x+1

2

10．（5分）双曲线为等轴曲线，过右焦点F作x轴的垂线交双

曲线与A，B两点，若|AB|=2，△OAB（O为坐标原点）的面积为（ ） A．2 B．2 C．4 D．4 11．（5分）半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则R=（ ） A．4 B．5 C．3 D．4

2

12．（5分）以下关于x（x≥0）的不等式ln（x+1）+kx﹣x≥0的结论中错误的是（ ） A．C．

，使不等式恒成立 B．，使不等式恒成立 D．

，使不等式恒成立 ，使不等式恒成立

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

2

13．（5分）等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为 ．

14．（5分）若关于x的不等式﹣x+x＞mx的解集为{x|﹣1＜x＜0}，且函数f（x）=x（x

2

﹣m）在x=n处有极小值，则n= ． 15．（5分）等比数列{an}中，an＞0，a1=256，S3=448，Tn为数列{an}的前n项乘积，则T17= ． 16．（5分）已知向量

﹣3，且

，则

的最大值为 ．

，满足

2

三、解答题（本题共5小题，共70分） 17．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinB﹣sinC=2sin（A﹣C）． （1）求cosA； （2）若a=，b+c=5，求△ABC的面积． 18．（12分）某毕业班统计全班40名学生报名参加学科竞赛和报名参加自主招生的数据如表： 报名参加学科竞赛 未报名参加学科竞赛 2 4 报名参加自主招生 6 28 未报名参加自主招生 （1）从该班随机选1名同学，求该同学仅报名参加其中一项的概率； 第2页（共16页）

（2）从报名参加自主招生的同学中任取2人，求恰好1人两项都报名的概率． 19．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，∠AB=BC=AA1=4，D为BC的中点．

（1）若E为棱CC1的中点，求证：DE⊥A1C

（2）若E为棱CC1上异于端点的任意一点，当三棱锥C1﹣ADE的体积为时，求异面直线DE与AC1所成角的余弦值．

，

20．（12分）（2015•银川模拟）已知直线l：y=x+1，圆O：

，直线l被圆截得的

弦长与椭圆C：

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点M（0，

的短轴长相等，椭圆的离心率e=．

）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存

在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数（1）求函数的单调性； （2）证明：

．

．

选修4-1：几何证明题选讲 22．（10分）（2016•肇庆三模）如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．

（1）求证：AD∥OC；

（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．

第3页（共16页）

选修4-4：坐标系与参数方程

23．已知A，B（不与原点O重合）分别在圆C1：（x﹣2）+y=4与圆C2：（x﹣1）+y=1上，且OA⊥OB．

（1）若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当A的极角为的极坐标；

（2）求|OA|•|OB|的最大值．

选修4-4：不等式选讲

24．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集为空集． （1）求实数a的取值范围；

（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b|

时，求A，B

2

2

2

2

第4页（共16页）

2016年“超级全能生”26省联考高考数学模拟试卷（甲卷）

（文科）

参与试题解析

一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）已知集合B={1}，A∪B={1，2}，则A=（ ） A．∅ B．{2} C．{1，2} D．{2}或{1，2} 【解答】解：集合B={1}，A∪B={1，2}， 则A={2}，或A={1，2}， 故选：D．

2．（5分）若复数z1=﹣i，A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i 【解答】解：∵

，则z1z2=（ ）

C．1+2i D．1﹣2i ，∴z2=2﹣i，

则z1z2=﹣i（2﹣i）=﹣1﹣2i． 故选：A． 3．（5分）掷一枚均匀的硬币4次，则出现“3次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【解答】解：掷一枚均匀的硬币4次，

则出现“3次正面朝上，1次反面朝上”的概率为： P=

=．

故选：B． 4．（5分）“xy=0”是“y=0”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：由xy=0可得：x=0或y=0， ∴“xy=0”是“y=0”的必要不充分条件． 故选：B． 5．（5分）（2016•湖南四模）一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天它飞出去找回3个伙伴；第2天有4只蜜蜂飞出去各自找回了3个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂． A．972 B．1456 C．4096 D．60

【解答】解：设此数列为{an}，由题意可得：a1=4，公比为q=3，

第5页（共16页）

∴S6=

=1456，

故选：B． 6．（5分）（2016春•眉山期末）如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全一样，俯视图的外框为正方形，则这个几何体的表面积是（ ）

A．80﹣2π B．80 C．80+4π D．80+6π

【解答】解：由三视图可知几何体为长方体中挖去一个圆柱得到的，长方体的底面为边长为4的正方形，圆柱的底面半径为1，高为3．

22

∴S=4×3×4+4×2﹣2π×1+2π×1×3=80+4π． 故选C．

7．（5分）对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则2⊗log0.5的值为（ ）

0.5

A．

B．

C．

D．

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是计算分段函数y=函数值，

∵2⊗log0.5=此时a=∴y=

0.5

⊗2，

＜b=2， =

．

第6页（共16页）

故选：C．

8．（5分）下列函数中在A．y=﹣tanx B．

C．y=sin2x+cos2x D．y=2cosx﹣1 【解答】解：y=﹣tanx在当

y=sin2x+cos2x=当

2

2

上为减函数的是（ ）

上有两个减区间，分别为（，函数y=cos（

，

），（

）为减函数；

）；

时，0

时，，y=sin2x+cos2x=先减后增；

y=2cosx﹣1=cos2x， 当∴在故选；B．

9．（5分）下列函数中满足A．f（x）=3x+2 B．【解答】解：如图，

C．

的是（ ）

D．f（x）=x+x+1

2

时，，y=2cosx﹣1=cos2x先减后增．

）=sin2x．

2

上为减函数的是y=cos（

可看出满足

的函数为下凸函数；

根据每个选项函数的图象便可看出只有选项D的二次函数为下凸函数． 故选：D．

第7页（共16页）

10．（5分）双曲线为等轴曲线，过右焦点F作x轴的垂线交双

曲线与A，B两点，若|AB|=2，△OAB（O为坐标原点）的面积为（ ） A．2 B．2 C．4 D．4 【解答】解：由题意可得a=b，c=a， 令x=c，可得y=±b

=±

=±a，

设A（c，a），B（c，﹣a）， 由|AB|=2，可得2a=2， 即有a=，c=2，

可得△AOB的面积为×2×2

=2

．

故选：A． 11．（5分）半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则R=（ ） A．4 B．5 C．3 D．4 【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是OO1=O2E=AB=2AE=2∴R=4． 故选：D．

=R

，

12．（5分）以下关于x（x≥0）的不等式ln（x+1）+kx﹣x≥0的结论中错误的是（ ） A．C．

，使不等式恒成立 B．，使不等式恒成立 D．

，使不等式恒成立 ，使不等式恒成立

2

【解答】解：x≥0时，ln（x+1）≥0，

2

若不等式ln（x+1）+kx﹣x≥0恒成立，

第8页（共16页）

只需kx﹣x≥0恒成立， k=0时，不成立，

k≠0时，△=1﹣4k≤0，解得：k≤，

故A、C、D正确，B错误． 故选：B．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

2

13．（5分）等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为 16 ．

【解答】解：由等腰直角三角形的直角顶点位于原点， 另外两个点在抛物线y=4x上，

由抛物线的对称性可得另外两个点关于x轴对称，

2

可设直线y=x，代入抛物线y=4x，可得 2

x=4x，解得x=0或x=4，

可得等腰直角三角形的另外两个点为（4，4），（4，﹣4）， 则这个等腰直角三角形的面积为•（故答案为：16．

14．（5分）若关于x的不等式﹣x+x＞mx的解集为{x|﹣1＜x＜0}，且函数f（x）=x（x

2

﹣m）在x=n处有极小值，则n= 2 ．

2

【解答】解：∵不等式﹣x+x＞mx的解集为{x|﹣1＜x＜0}，

2

∴0，﹣1是方程﹣x+x=mx的两个根， 则﹣1﹣1=﹣m=﹣2， 即m=2，

22

则f（x）=x（x﹣m）=x（x﹣2），

2

函数的导数f′（x）=（x﹣2）+2x（x﹣2）=（x﹣2）（3x﹣2）， 由f′（x）＞0得x＞2或x＜此时函数单调递增， f′（x）＜0得＜x＜2，此时函数单调递减， 即当x=2时，函数取得极小值，即n=2， 故答案为：2．

15．（5分）等比数列{an}中，an＞0，a1=256，S3=448，Tn为数列{an}的前n项乘积，则T17= 1 ．

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，an＞0，a1=256，S3=448，

2

∴256（1+q+q）=448， 解得q=．

Tn为数列{an}的前n项乘积，则T17=

2

2

2

）=16．

2

q

0+1+2+…+16

==

第9页（共16页）

==1．

故答案为：1．

16．（5分）已知向量

﹣3，且

，则

的最大值为 3

．

，满足

【解答】解：由且得：；

该不等式表示的平面区域如图阴影部分所示：

解

∴圆m+n=r过A（3，3）时半径最大；

2

∴9+9=r； ∴∴

，的最大值为

．

；

2

2

2

得，；

故答案为：．

三、解答题（本题共5小题，共70分） 17．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2sinB﹣sinC=2sin（A﹣C）． （1）求cosA； （2）若a=，b+c=5，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）2sinB﹣sinC=2sin（A﹣C），

∴sinC=2[sin（A+C）﹣sin（A﹣C）]=2（sinAcosC+cosAsinC﹣sinAcosC+cosAsinC）=2cosAsinC， ∵sinC≠0， ∴cosA=，

第10页（共16页）

（2）由（1）知，cosA=，0＜A＜180°， ∴A=60°， 2222

∵a=b+c﹣2bccosA=（b+c）﹣3bc，a=∴bc=5，

∴S△ABC=bcsinA=×5×

=

．

，b+c=5，

18．（12分）某毕业班统计全班40名学生报名参加学科竞赛和报名参加自主招生的数据如表： 报名参加学科竞赛 未报名参加学科竞赛 2 4 报名参加自主招生 6 28 未报名参加自主招生 （1）从该班随机选1名同学，求该同学仅报名参加其中一项的概率； （2）从报名参加自主招生的同学中任取2人，求恰好1人两项都报名的概率． 【解答】解：（1）设从该班随机选1名同学，该同学仅报名参加其中一项的事件为A，则P（A）=

=；

（2）设报名参加自主招生的同学中任取2人，恰好1人两项都报名的事件为B，

设参加两项的2名同学分别为a，b，仅参加自主招生的4名同学分别为c，d，e，f；…（6分）

从报名参加自主招生的同学中任取2人有：

ab、ac、ad、ae、af、bc、bd、be、bf、cd、ce、cf、de、df、cf共15种， 其中恰好1人两项都报名的基本事件有： ac、ad、ae、af、bc、bd、be、bf共8种， 则P（B）=

19．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，∠AB=BC=AA1=4，D为BC的中点．

（1）若E为棱CC1的中点，求证：DE⊥A1C

（2）若E为棱CC1上异于端点的任意一点，当三棱锥C1﹣ADE的体积为时，求异面直线DE与AC1所成角的余弦值．

，

；

【解答】（本题满分为12分） 解：（1）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，

第11页（共16页）

∵AB=BC=AA1=4，D为BC的中点，E为棱CC1的中点， ∴D（0，2，0），E（0，4，2），A1（4，0，4）， C（0，4，0），∵

•

=（0，2，2），

=（﹣4，4，﹣4），

=0+8﹣8=0，

∴DE⊥A1C．

（2）设C1E=h，由（1）A1B1⊥平面B1C1BC，AB∥A1B1， ∴AB⊥平面B1C1BC…（7分） ∴

=

=

=，…（8分）

解得：C1E=h=2，…（9分） ∴DE∥BC1，

∴∠AC1B即为异面直线DE与AC1所成的角…（10分） 又∵AB⊥平面B1C1BC，BC1⊂平面B1C1BC， ∴∠ABC1=

，…（11分）

∴cos∠AC1B=

==．

∴异面直线DE与AC1所成角的余弦值为

．…（12分）

20．（12分）（2015•银川模拟）已知直线l：y=x+1，圆O：

，直线l被圆截得的

弦长与椭圆C：

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点M（0，

的短轴长相等，椭圆的离心率e=．

）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存

在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）则由题设可知b=1，（2分）

第12页（共16页）

又e=，∴=，∴a=2 （3分）

2

2

所以椭圆C的方程是+y=1．…（4分）

2

2

（Ⅱ）若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x+y=1① 若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是由①②解得

．

②…（6分）

由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）．…（7分） 事实上点T（0，1）就是所求的点．证明如下：

当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x+y=1，过点T（0，1）； 当直线l的斜率存在，设直线方程为﹣12kx﹣16=0（8分）

设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=

，x1x2=

，代入椭圆方程，并整理，得（18k+9）x

2

2

2

2

∵∴

=（x1，y1﹣1），=（x2，y2﹣1）

2

=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=（k+1）x1x2﹣（x1+x2）

+=

∴，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．…（11分）

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．…（12分）

21．（12分）已知函数（1）求函数的单调性； （2）证明：

【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数f′（x）=﹣

=

，

．

．

由f′（x）＞0得x＞1，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得0＜x＜1，此时函数单调递减． 即函数的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）． （2）证明：由（1）知函数f（x）的最小值为f（1）=0，

第13页（共16页）

∴f（x）＞0，（x＞0且x≠1），即lnx＞1﹣， ∴ln＞1﹣2=﹣1， ln＞1﹣3=﹣2， … ln

＞1﹣（n+1）=﹣n，

＞﹣1﹣2﹣…﹣n=

，

∴ln+ln+…+ln

即不等式成立．

选修4-1：几何证明题选讲 22．（10分）（2016•肇庆三模）如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点．

（1）求证：AD∥OC；

（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．

【解答】解：（1）如图，连接BD、OD． ∵CB、CD是⊙O的两条切线， ∴BD⊥OC， ∴∠2+∠3=90°

又AB为⊙O直径， ∴AD⊥DB， ∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠3， ∴AD∥OC； （2）AO=OD， 则∠1=∠A=∠3，

∴Rt△BAD∽Rt△ODC， AD•OC=AB•OD=2．

第14页（共16页）

选修4-4：坐标系与参数方程

2222

23．已知A，B（不与原点O重合）分别在圆C1：（x﹣2）+y=4与圆C2：（x﹣1）+y=1上，且OA⊥OB．

（1）若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当A的极角为

时，求A，B

的极坐标；

（2）求|OA|•|OB|的最大值．

22

【解答】解：（1）∵A，B（不与原点O重合）分别在圆C1：（x﹣2）+y=4与圆C2：（x﹣22

1）+y=1上，

2222

圆C1：（x﹣2）+y=4即x+y﹣4x=0， ∴圆C1极坐标方程为ρ=4cosθ， ∴当A的极角为

时，

=2，∴A点极坐标为A（2，

），∴A点直角坐标为（1，

）．

∵A点极坐标为A（2，），设B直角坐标为（x，y），

则，解得x=，y=﹣，

∴B点直角坐标为（，﹣

2

），∴B点极坐标为B（

2

，）．

（2）如图，圆C1：（x﹣2）+y=4的圆心C1（2，0），半径r1=2，

22

圆C2：（x﹣1）+y=1的圆心C2（1，0），半径r2=1，且OA⊥OB，

∴当过C1作y轴平行线，交圆C1于A，过C2作y轴平行线，交C2于B，A、B位于x轴两侧，

此时|OA|•|OB|取最大值，|OA|=，|OB|==， ∴|OA|•|OB|的最大值为：2=4．

第15页（共16页）

选修4-4：不等式选讲

24．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集为空集． （1）求实数a的取值范围；

（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：|1﹣ab|＞|a﹣b| 【解答】解：（1）由于|x﹣3|+|x﹣4|≤表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，

由于关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|≤|a|的解集为空集， 故|a|＜1，求得﹣1＜a＜1．

（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，即﹣1＜b＜1，即|b|＜1，

222222

|1﹣ab|＞|a﹣b|，等价于 （1﹣ab）＞（a﹣b），等价于1+ab﹣a﹣b＞0，

22

等价于 （1﹣a）（1﹣b）＞0．

2222

由于（1﹣a）＞0，且（1﹣b）＞0，故（1﹣a）（1﹣b）＞0成立，即|1﹣ab|＞|a﹣b|成立．

第16页（共16页）