数学一历年真题(1987-2017)年(直接打印版)

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数yx2取得极小值.

(2)由曲线ylnx与两直线ye1x及y0所围成的平面图形的面积是_____________.

xx1

(3)与两直线 y1t及_____________ .z2t

(4)设L为取正向的圆周xy9,则曲线积分_____________.

(5)已知三维向量空间的基底为α1(1,1,0),α2(1,0,1),α3(0,1,1),则向量

22x1y2z1都平行且过原点的平面方程为111L(2xy2y)dx(x24x)dy=

β(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

x1t2求正的常数a与b,使等式limdt1成立.

2x0bxsinx0at

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,uf(x,xy),vg(xxy),求

uv,. xx301(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A2B,其中A110,求矩阵B. 014

四、(本题满分8分)

求微分方程y6y(9a)y1的通解,其中常数a0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设limxa2f(x)f(a)1,则在xa处

(xa)2

(A)f(x)的导数存在,且f(a)0 (C)f(x)取得极小值

(B)f(x)取得极大值 (D)f(x)的导数不存在

(2)设f(x)为已知连续函数,It(A)依赖于s和t (C)依赖于t、x,不依赖于s (3)设常数k0,则级数(A)发散 (C)条件收敛

st0f(tx)dx,其中t0,s0,则I的值

(B)依赖于s、t和x (D)依赖于s,不依赖于t

(1)nn1kn 2n

(B)绝对收敛

*

(D)散敛性与k的取值有关

*(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|a0,而A是A的伴随矩阵，则|A|等于

(A)a (C)an1

(B)

1 an(D)a

六、（本题满分10分） 求幂级数

1n1x的收敛域，并求其和函数. nn1n2 七、（本题满分10分）

求曲面积分

Ix(8y1)dydz2(1y2)dzdx4yzdxdy,

zy1 1y3f(x)其中是由曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与yx0轴正向的夹角恒大于

2.

八、（本题满分10分）

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间

(0,1)内,且f(x)1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)x.

九、（本题满分8分）

问a,b为何值时,现线性方程组

x1x2x3x40x22x32x41x2(a3)x32x4b3x12x2x3ax41有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.

(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)____________,X的方差为____________. 十一、（本题满分6分）

设随机变量X,Y相互,其概率密度函数分别为

1ex22x1,则X的数学期望为

10x1eyy0fX(x) ,fY(y) ,

y00其它0求Z2XY的概率密度函数.

1988年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(x3)n(1)求幂级数的收敛域. nn3n1(2)设f(x)ex,f[(x)]1x且(x)0,求(x)及其定义域. (3)设

2为曲面

x2y2z21的外侧,计算曲面积分

Ix3dydzy3dzdxz3dxdy.

二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若f(t)limt(1)2tx,则f(t)= _____________.

x1x(2)设f(x)连续且

x310f(t)dtx,则f(7)=_____________.

2x 2(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]上定义为f(x) 叶(Fourier)级数在x1处收敛于_____________.

1x0,则的傅里

0x1(4)设4阶矩阵A[α,γ2,γ3,γ4],B[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式A4,B1,则行列式AB= _____________.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)可导且f(x0)(A)与x等价的无穷小 (C)比x低阶的无穷小

1,则x0时,f(x)在x0处的微分dy是 2 (B)与x同阶的无穷小 (D)比x高阶的无穷小

(2)设yf(x)是方程y2y4y0的一个解且f(x0)0,f(x0)0,则函数

f(x)在点x0处

(A)取得极大值

(C)某邻域内单调增加

(B)取得极小值 (D)某邻域内单调减少

(3)设空间区域1:x2y2z2R2,z0,2:x2y2z2R2,x0,y0,z0,则:

(A)(C)

xdv4dv

12

(B)(D)

ydv4ydv

1212

zdv4zdv

12xyzdv4xyzdv

(4)设幂级数

a(x1)nn1n在x1处收敛,则此级数在x2处

(B)绝对收敛

(D)收敛性不能确定

(A)条件收敛 (C)发散

(5)n维向量组α1,α2,,αs(3sn)线性无关的充要条件是

(A)存在一组不全为零的数k1,k2,(B)α1,α2,(C)α1,α2,(D)α1,α2,,ks,使k1α1k2α2

ksαs0

,αs中任意两个向量均线性无关

,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

四、(本题满分6分)

xy2u2u设uyf()xg(),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x2y.yxxxy

五、(本题满分8分)

设函数yy(x)满足微分方程y3y2y2e,其图形在点(0,1)处的切线与曲线

x

yx2x1在该点处的切线重合,求函数yy(x).

六、（本题满分9分）

设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为间的距离),质点M沿直线yk(k0为常数,r为A质点与M之2r2xx2自B(2,0)运动到O(0,0),求在此运动过程中质点

A对质点M的引力所作的功.

七、（本题满分6分）

1001005已知APBP,其中B000,P210,求A,A.

001211200200已知矩阵A001与B0y0相似. 01x001八、（本题满分8分）

(1)求x与y.

(2)求一个满足P1APB的可逆阵P. 九、（本题满分9分）

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且在(a,b)内有f(x)0,证明:在(a,b)内存在唯一

的,使曲线yf(x)与两直线yf(),xa所围平面图形面积S1是曲线yf(x)与两直线yf(),xb所围平面图形面积S2的3倍.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在三次试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于

19,则事件A在一次试验中出现的概率是____________. 27(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于

6”的概率为____________. 5(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知

(x)x1e2u22du,(2.5)0.9938,

则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________. 十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率密度函数为fX(x)度函数fY(y).

1,求随机变量Y13X的概率密2(1x)

19年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知f(3)2,则limh0f(3h)f(3)= _____________.

2h(2)设f(x)是连续函数,且f(x)x210f(t)dt,则f(x)=_____________.

(3)设平面曲线L为下半圆周y1x2,则曲线积分

L(x2y2)ds=_____________.

(4)向量场divu在点P(1,1,0)处的散度divu=_____________.

3001001(5)设矩阵A140,I010,则矩阵(A2I)=_____________.

003001

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当x0时,曲线yxsin1 x

(B)有且仅有铅直渐近线

(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近

(A)有且仅有水平渐近线 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 线

22(2)已知曲面z4xy上点P处的切平面平行于平面2x2yz10,则点的坐标是

(A)(1,1,2) (C)(1,1,2)

(B)(1,1,2) (D)(1,1,2)

(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是

(A)c1y1c2y2y3

(C)c1y1c2y2(1c1c2)y3

2

(B)c1y1c2y2(c1c2)y3

(D)c1y1c2y2(1c1c2)y3

(4)设函数f(x)x,0x1,而S(x)bn1nsinnx,x,其中

bn2f(x)sinnxdx,n1,2,3,011,则S()等于

2

(B)(D)

(A)(C)

1 2

1 41 41 2(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式A0,则A中 (A)必有一列元素全为0

(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 组合

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(B)必有两列元素对应成比例 (D)任一列向量是其余列向量的线性

(1)设zf(2xy)g(x,xy),其中函数f(t)二阶可导,g(u,v)具有连续二阶偏导数,

2z求.xy

(2)设曲线积分计算

cxy2dxy(x)dy与路径无关,其中(x)具有连续的导数,且(0)0,(1,1)(0,0)xy2dxy(x)dy的值.

2222其中是由曲面与所围(xz)dv,z1xyzxy (3)计算三重积分

成的区域.

四、(本题满分6分)

将函数f(x)arctan 五、(本题满分7分)

设f(x)sinx1x展为x的幂级数. 1xx0(xt)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).

六、（本题满分7分）

x证明方程lnx1cos2xdx在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.

e0 七、（本题满分6分） 问为何值时,线性方程组

x1x3

4x1x22x32 6x1x24x323

有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）

假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明

(1)

11为A的特征值. (2)

A为A的伴随矩阵A的特征值.

* 九、（本题满分9分）

设半径为R的球面的球心在定球面xyza(a0)上,问当R为何值时,球

2222面在定球面内部的那部分的面积最大?

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机事件A的概率P(A)0.5,随机事件B的概率P(B)0.6及条件概率

P(B|A)0.8,则和事件AB的概率P(AB)=____________.

(2)甲、乙两人地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.

(3)若随机变量在(1,6)上服从均匀分布,则方程xx10有实根的概率是____________. 十一、（本题满分6分）

设随机变量X与Y,且X服从均值为1、标准差(均方差)为2的正态分布,而Y服从标准正态分布.试求随机变量Z2XY3的概率密度函数.

2

1990年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

xt2

y3t4垂直的平面方程是_____________.

(1)过点M(1,21)且与直线

x zt1

(2)设a为非零常数,则lim(xax)=_____________. xa

1x1(3)设函数f(x) ,则f[f(x)]=_____________.

0x1(4)积分

20dxex2y2dy的值等于_____________.

(5)已知向量组α1(1,2,3,4),α2(2,3,4,5),α3(3,4,5,6),α4(4,5,6,7), 则该向量组的秩是_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)是连续函数,且F(x)(A)e(C)exxexxf(t)dt,则F(x)等于

(B)e(D)exf(ex)f(x)

f(ex)f(x)

f(ex)f(x)

xf(ex)f(x)

2(2)已知函数f(x)具有任意阶导数,且f(x)[f(x)],则当n为大于2的正整数时

,f(x)的n阶导数f(n)(x)是

(A)n![f(x)]2nn1

(B)n[f(x)]n1

(C)[f(x)] (D)n![f(x)]

2n(3)设a为常数,则级数(A)绝对收敛 (C)发散

[n1sin(na)1] n2n

(B)条件收敛 (D)收敛性与a的取值有关

(4)已知f(x)在x0的某个邻域内连续,且f(0)0,limf(x)2,则在点x0处

x01cosxf(x)

(A)不可导

(B)可导,且f(0)0 (D)取得极小值

(C)取得极大值

(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX0的基础解析,k1、k2为任意常数,则方程组AXb的通解(一般解)必是

β1β2 2ββ2(C)k1α1k2(β1β2)1

2(A)k1α1k2(α1α2)

β1β2 2ββ2(D)k1α1k2(β1β2)1

2(B)k1α1k2(α1α2) 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求

ln(1x)0(2x)2dx.

12z(2)设zf(2xy,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏导数,求.xy

(3)求微分方程y4y4ye 四、(本题满分6分)

求幂级数

2x的通解(一般解).

(2n1)xn0n的收敛域,并求其和函数.

五、(本题满分8分)

求曲面积分I222xyz4外侧在z0的部分. yzdzdx2dxdy其中是球面SS 六、（本题满分7分）

设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且

f(a)f(b).证明在(a,b)内至少存在一点,使得f()0.

七、（本题满分6分）

设四阶矩阵

1100201100,CB0011000010且矩阵A满足关系式

134213 021002A(EC1B)CE

其中E为四阶单位矩阵,C表示C的逆矩阵,C表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并

1

求矩阵A. 八、（本题满分8分）

224x34x1x24x1x38x2x3成标准型. 求一个正交变换化二次型fx124x2 九、（本题满分8分）

质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点

B(3,4)的过程中受变力F作用(见图).F的大小等于点P与原点

O之间的距离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于

.求变力F对质点P所作的功. 2 十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机变量X的概率密度函数f(x)

1xe,x则X的概率分布函数2F(x)=____________.

(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)=____________.

(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即

2ke2P{Xk},k0,1,2,k!E(Z)=____________.

十一、（本题满分6分）

,则随机变量Z3X2的数学期望

设二维随机变量(X,Y)在区域D:0x1,yx内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z2X1的方差D(Z).

1991年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

d2y(1)设 ,则2=_____________.

dxycost(2)由方程xyzx1t2

x2y2z22所确定的函数zz(x,y)在点(1,0,1)处的全微

分dz=_____________.

(3)已知两条直线的方程是l1:x1y2z3x2y1z;l2:.则过l1且平行101211于l2的平面方程是_____________.

(4)已知当x0时,(1ax)1与cosx1是等价无穷小,则常数a=_____________.

12352(5)设4阶方阵A000100,则A的逆阵A1=_____________. 01201120 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)曲线y1ex1e2x2

(B)仅有水平渐近线

(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线

(A)没有渐近线 (C)仅有铅直渐近线

(2)若连续函数f(x)满足关系式f(x)x(A)eln2

20tf()dtln2,则f(x)等于 2

2x(B)eln2

n1



(C)exln2

(D)e2xln2

(3)已知级数(A)3 (C)8

(1)n1an2,a2n15,则级数an等于

n1n1 (B)7 (D)9

(4)设D是平面xoy上以(1,1)、(1,1)和(1,1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一

象限的部分,则

(xycosxsiny)dxdy等于

D(A)2(C)4cosxsinydxdy

D1D1

(B)2xydxdy

D1(xycosxsiny)dxdy

(D)0

(5)设n阶方阵A、B、C满足关系式ABCE,其中E是n阶单位阵,则必有 (A)ACBE (C)BACE 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

 (B)CBAE (D)BCAE

(1)求lim(cosx)2.x02

22(2)设n是曲面2x3yz6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数

6x28y2在点P处沿方向n的方向导数. uzy22z(3)(xyz)dv,其中是由曲线 绕z轴旋转一周而成的曲面与平面

x022z4所围城的立体.

四、(本题满分6分)

过点O(0,0)和A(,0)的曲线族yasinx(a0)中,求一条曲线L,使沿该曲线O从到A的积分

L(1y3)dx(2xy)dy的值最小.

五、(本题满分8分)

将函数f(x)2x(1x1)展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数的和.

六、（本题满分7分）

设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且312n1n123f(x)dxf(0),证明在(0,1)内存在一

点c,使f(c)0. 七、（本题满分8分）

已

知

α1(1,0,2,3),α2(1,1,3,5),α3(1,1,a2,1),α4(1,2,4,a8)及

β(1,1,b3,5).

(1)a、b为何值时,β不能表示成α1,α2,α3,α4的线性组合?

(2)a、b为何值时,β有α1,α2,α3,α4的唯一的线性表示式?写出该表示式.

八、（本题满分6分）

设A是n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明AE的行列式大于1. 九、（本题满分8分）

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行. 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)若随机变量X服从均值为2、方差为的正态分布,且P{2X4}0.3,则

2P{X0}=____________.

(2)随机地向半圆0y2axx2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于 十一、（本题满分6分）

设二维随机变量(X,Y)的密度函数为

的概率为____________. 4f(x,y)

求随机变量ZX2Y的分布函数.

2e(x2y) x0,y00 其它

1992年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设函数yy(x)由方程e222xy

cos(xy)0确定,则

dy=_____________. dxM(2)函数uln(xyz)在点M(1,2,2)处的梯度gradu(3)设f(x) =_____________.

11x2

x0,则其以2为周期的傅里叶级数在点x处收敛

0x于_____________.

(4)微分方程yytanxcosx的通解为y=_____________.

a1b1a1b2abab2121(5)设Aanb1anb2r(A)=_____________.

a1bna2bn,其中ai0,bi0,(i1,2,anbn,n).则矩阵A的秩

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

x21x1e1的极限 (1)当x1时,函数

x1(A)等于2 (C)为

 (B)等于0

(D)不存在但不为

(2)级数

an(1)(1cos)(常数a0) nn1

2(A)发散 (C)绝对收敛

3 (B)条件收敛

(D)收敛性与a有关

(3)在曲线xt,yt,zt的所有切线中,与平面x2yz4平行的切线 (A)只有1条 (C)至少有3条

(n) (B)只有2条 (D)不存在

32(4)设f(x)3xxx,则使f(0)存在的最高阶数n为

(B)1 (D)3

(A)0 (C)2

10(5)要使ξ10,ξ21都是线性方程组AX0的解,只要系数矩阵A为

21(A)212

(B)201

011(C)102 011

011(D)422 011 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求limx0exsinx111xx2.

222z(2)设zf(esiny,xy),其中f具有二阶连续偏导数,求.xy

31x2x0(3)设f(x) ,求f(x2)dx.1x x0e 四、(本题满分6分)

求微分方程y2y3ye 五、(本题满分8分)

计算曲面积分

323232(xaz)dydz(yax)dzdx(zay)dxdy,其中为上半球3x的通解.

面za2x2y2的上侧. 六、（本题满分7分）

设f(x)0,f(0)0,证明对任何x10,x20,有f(x1x2)f(x1)f(x2). 七、（本题满分8分）

在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面

x2y2z21上第一卦限的点M(,,),问当、、取何值时,力F所做的功W最a2b2c2大?并求出W的最大值. 八、（本题满分7分）

设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1)α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论.

(2)(2)α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）

设3阶矩阵A的特征值为11,22,33,对应的特征向量依次为

1111ξ11,ξ22,ξ33,又向量β2.

3149

(1)将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出. (2)求Aβ(n为自然数).

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知P(A)P(B)P(C)n11,P(AB)0,P(AC)P(BC),则事件A、B、462XC全不发生的概率为____________.

(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{Xe 十一、（本题满分6分）

设随机变量X与Y,X服从正态分布N(,),Y服从[,]上的均匀分布,试求ZXY的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数表示,其中

2}=____________.

(x)12xet22dt).

1993年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数F(x)

x1(21)dt(x0)的单调减少区间为_____________. t

3x22y212(2)由曲线 绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的指向外

z0

侧的单位法向量为_____________.

(3)设函数

f(x)xx2(x)的傅里叶级数展开式为

a0(ancosnxbnsinnx),则其中系数b3的值为_____________. 2n1(4)设数量场ulnx2y2z2,则div(gradu)=_____________.

(5)设n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且A的秩为n1,则线性方程组AX0的通解为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)sinx0sin(t2)dt,g(x)x3x4,则当x0时,f(x)是g(x)的

22(A)等价无穷小 (C)高阶无穷小

2

2

2 (B)同价但非等价的无穷小 (D)低价无穷小

(2)双纽线(xy)xy所围成的区域面积可用定积分表示为

(A)2(C)240cos2d cos2d

(B)4

40cos2d

4012(D)4(cos2)d

20xy6x1y5z8(3)设有直线l1:与l2: 则l与l的夹角为 2yz312121 6(C)

3(A)

 4(D)

2(B)

(4)设曲线积分

L[f(t)ex]sinydxf(x)cosydy与路径无关,其中f(x)具有一阶连

续导数,且f(0)0,则f(x)等于

exex(A)

2exex1 (C)

2

exex(B)

2exex(D)1

2

123(5)已知Q24t,P为三阶非零矩阵,且满足PQ0,则 369(A)t6时P的秩必为1

(C)t6时P的秩必为1

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求lim(sinx

(B)t6时P的秩必为2 (D)t6时P的秩必为2

21cos)x.xx

(2)求

xexe1xdx.

22(3)求微分方程xyxyy,满足初始条件y 四、(本题满分6分)

计算

x11的特解.

x2y2与

2xzdydzyzdzdxzdxdy,2其中是由曲面zz2x2y2所围立体的表面外侧.

五、(本题满分7分)

(1)n(n2n1)求级数的和. n2n0 六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)设在[0,)上函数f(x)有连续导数,且f(x)k0,f(0)0,证明f(x)在

(0,)内有且仅有一个零点.

ba (2)设bae,证明ab.

七、（本题满分8分）

223x32ax2x3(a0)通过正交变换化成标准形已知二次型f(x1,x2,x3)2x123x2

22fy122y25y3,求参数a及所用的正交变换矩阵.

八、（本题满分6分）

设A是nm矩阵,B是mn矩阵,其中nm,I是n阶单位矩阵,若ABI,证明B的列向量组线性无关. 九、（本题满分6分）

设物体A从点(0,1)出发,以速度大小为常数v沿y轴正向运动.物体B从点(1,0)与

A同时出发,其速度大小为2v,方向始终指向A,试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方

程,并写出初始条件.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.

(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量YX在(0,4)内的概率分布密度fY(y)=____________. 十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率分布密度为f(x)

(1)求X的数学期望EX和方差DX.

(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关? (3)问X与X是否相互?为什么?

21xe,x. 2

1994年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)limcot(x0x

11)= _____________. sinxx

(2)曲面ze2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.

x2u1(3)设uesin,则在点(2,)处的值为_____________.

yxyxx2y2(4)设区域D为xyR,则(22)dxdy=_____________.

abD222(5)已知α[1,2,3],β[1,,],设Aαβ,其中α是α的转置,则A=_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设

sinx43423422M2cosxdx,N(sinxcosx)dx,P(xsinxcosx)dx,则有 1x22221123n(A)NPM (C)NMP

(B)MPN (D)PMN

(2)二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)、fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的

(A)充分条件而非必要条件 (C)充分必要条件

(3)设常数0,且级数(A)发散 (C)绝对收敛 (4)limx0

2n

 (B)必要条件而非充分条件

(D)既非充分条件又非必要条件

a收敛,则级数(1)nn1ann2

n1

2 (B)条件收敛

(D)收敛性与有关

atanxb(1cosx)cln(12x)d(1ex)

2,其中a2c20,则必有

(B)b4d (D)a4c

(A)b4d (C)a4c

(5)已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组 (A)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关

(B)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关 (C)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关

(D)α1α2,α2α3,α3α4,α4α1线性无关

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

2dydy(1)设 ,求、在的值. tt2122dxdx2ytcos(t)cosudu12uxcos(t2)

(2)将函数f(x) (3)求

11x1lnarctanxx展开成x的幂级数. 41x2dxsin(2x)2sinx.

四、(本题满分6分)

xdydzz2dxdy222xyR计算曲面积分其中是由曲面及S,222xyzSzR,zR(R0)两平面所围成立体表面的外侧.

五、(本题满分9分)

设

f(x)具有二阶连续函数

,f(0)0,f(0)1,且

[xy(xy)f(x)y]dx[f(x)x2y]dy0为一全微分方程,求f(x)及此全微分方程的通

解.

六、(本题满分8分)

设f(x)在点x0的某一邻域内具有二阶连续导数,且limx0f(x)0,证明级数xn11f()绝对收敛. n 七、（本题满分6分）

已知点A与B的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB绕x轴旋转一周所成的旋转曲面为S.求由S及两平面z0,z1所围成的立体体积. 八、（本题满分8分）

设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 x1x20x2x40,

又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)k2(1,2,2,1).

(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）

设A为n阶非零方阵,A是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵,当AA时,证明

**A0.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)P(AB),且P(A)p,则

P(B)=____________.

(2)设相互的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为

X P 则随机变量Zmax{X,Y}的分布率为____________.

十一、（本题满分6分）

0 1 1 21 2设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,3)和N(0,4),且X与Y的相关系数

22xy,设Z

XY, 32(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.

(2)求X与Z的相关系数xz. (3)问X与Y是否相互?为什么?

12

1995年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)lim(13x)x02sinx

=_____________.

(2)

d02xcostdt= _____________. 2xdx(3)设(ab)c2,则[(ab)(bc)](ca)=_____________.

(4)幂级数

nx2n1的收敛半径R=_____________. nnn12(3)131(5)设三阶方阵A,B满足关系式ABA6ABA,且A00014000,则17B=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设有直线L: (A)平行于 (C)垂直于

x3y2z102xy10z30

,及平面:4x2yz20,则直线L

(B)在上 (D)与斜交

(2)设在[0,1]上f(x)0,则f(0),f(1),f(1)f(0)或f(0)f(1)的大小顺序是 (A)f(1)f(0)f(1)f(0) (C)f(1)f(0)f(1)f(0)

(B)f(1)f(1)f(0)f(0) (D)f(1)f(0)f(1)f(0)

(3)设f(x)可导,F(x)f(x)(1sinx),则f(0)0是F(x)在x0处可导的 (A)充分必要条件 (C)必要条件但非充分条件 (4)设un(1)ln(1n (B)充分条件但非必要条件

(D)既非充分条件又非必要条件

1),则级数 n

(A)

un1n与

un12n都收敛 (B)

un1n与

un12n都发散

(C)

un1n收敛,而

un12n发散 (D)

un1n收敛,而

un12n发散

a11(5)设Aa21a31则必有

(A)AP1P2=B (C)P1P2A=B

a12a22a32a13a11aa23,B21a33a31

a12a22a32a13010100100,P010,a23,P12a33001101

(B)AP2P1=B (D)P2P1A=B

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)设uf(x,y,z),(x,e,z)0,ysinx,其中f,都具有一阶连续偏导数,且

2ydu0.求.dx z (2)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设

10f(x)dxA,求dxf(x)f(y)dy.0x11

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)

(1)计算曲面积分

zdS,其中为锥面zx2y2在柱体x2y22x内的部分.

(2)将函数f(x)x1(0x2)展开成周期为4的余弦函数. 五、(本题满分7分)

设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.已知MAOA,且L过点(,),求L的方程. 六、(本题满分8分)

设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分

33222xydxQ(x,y)dy与

L路径无关,并且对任意t恒有 七、（本题满分8分）

假设函数

(t,1)(0,0)2xydxQ(x,y)dy(1,t)(0,0)2xydxQ(x,y)dy,求Q(x,y).

f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且

g(x)0,f(a)f(b)g(a)g(b)0,试证:

(1)在开区间(a,b)内g(x)0.

(2)在开区间(a,b)内至少存在一点,使

f()f().g()g()

八、（本题满分7分）

设三阶实对称矩阵A的特征值为11,231,对应于1的特征向量为

0,求A.ξ11 1 九、（本题满分6分）

设A为n阶矩阵,满足AAI(I是n阶单位矩阵,A是A的转置矩阵),A0,求

AI.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X表示10次重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,

2则X的数学期望E(X)=____________.

2(2)设X和Y为两个随机变量,且

34P{X0,Y0},P{X0}P{Y0},

77则P{max(X,Y)0}____________. 十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率密度为

exx0fX(x) ,

0x0X求随机变量Ye的概率密度fY(y).

1996年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设lim(x

x2ax)8,则a=_____________. xa

(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),且与平面4xy2z8垂直,则此平面方程为_____________.

(3)微分方程y2y2ye的通解为_____________. (4)函数uln(x数为_____________.

xy2z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,2,2)方向的方向导

102(5)设A是43矩阵,且A的秩r(A)2,而B020,则103r(AB)=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)已知(A)-1 (C)1

(xay)dxydy为某函数的全微分,a则等于

(xy)2

(B)0 (D)2

(2)设f(x)具有二阶连续导数,且f(0)0,limx0f(x)1,则 x(A)f(0)是f(x)的极大值 (B)f(0)是f(x)的极小值

(C)(0,f(0))是曲线yf(x)的拐点

(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线yf(x)的拐点 (3)设an0(n1,2,(A)绝对收敛

),且an收敛,常数(0,),则级数(1)n(ntan)a2n

n2n1n1

(B)条件收敛



(C)发散

(D)散敛性与有关

x022(4)设有f(x)连续的导数,f(0)0,f(0)0,F(x)(xt)f(t)dt,且当x0时,F(x)与xk是同阶无穷小,则k等于

(A)1 (C)3

(B)2 (D)4

a10(5)四阶行列式

0b40a2a300b2b30

b10的值等于 0a4

(B)a1a2a3a4b1b2b3b4 (D)(a2a3b2b3)(a1a4b1b4)

(A)a1a2a3a4b1b2b3b4

(C)(a1a2b1b2)(a3a4b3b4)

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)求心形线ra(1cos)的全长,其中a0是常数.

(2)设x110,xn16xn(n1,2,),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.

2 四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)

(1)计算曲面积分

(2xz)dydzzdxdy,其中S为有向曲面zxSy2(0x1),其

法向量与z轴正向的夹角为锐角.

2z2z2z2z0,求常数a. (2)设变换 可把方程620简化为

vxayuvxxyy2 五、(本题满分7分)

求级数

ux2y1的和. 2n(n1)2n1 六、(本题满分7分)

设对任意x0,曲线yf(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于

1xf(t)dt,求f(x)的一般表达式. 0x 七、（本题满分8分）

设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件f(x)a,f(x)b,其中a,b都是非负

常数,c是(0,1)内任意一点.证明f(c)2a. 八、（本题满分6分）

b2

设AIξξ,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξ是ξ的转置.证明

2(1)AA的充分条件是ξξ1.

TTTT

(2)当ξξ1时,A是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）

22cx32x1x26x1x36x2x3的秩为2, 已知二次型f(x1,x2,x3)5x125x2(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)1表示何种二次曲面.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.

(2)设,是两个相互且均服从正态分布N(0,(12))的随机变量,则随机变量2的数学期望E()=____________.

十一、（本题满分6分）

设,是两个相互且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布率为

1P(i),i1,2,3.

3又设Xmax(,),Ymin(,).

(1)写出二维随机变量的分布率: X Y 1 2 3 1 2 3 (2)求随机变量X的数学期望E(X).

1997年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

1x=_____________. (1)limx0(1cosx)ln(1x)3sinxx2cos(2)设幂级数

axnn1n的收敛半径为3,则幂级数

na(x1)nn1n1的收敛区间为

_____________.

(3)对数螺线e在点(,)(e2,2)处切线的直角坐标方程为_____________.

122,B为三阶非零矩阵,且ABO,则=_____________.

3(4)设A4tt311(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取

一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

xy (x,y)(0,0)22(1)二元函数f(x,y) xy,在点(0,0)处

0 (x,y)(0,0)(A)连续,偏导数存在 (C)不连续,偏导数存在

(B)连续,偏导数不存在 (D)连续,偏导数不存在

(2)设在区间[a,b]上f(x)0,f(x)0,f(x)0.令

1S1f(x)dx,S2f(b)(ba),S3[f(a)f(b)](ba),

a2b则

(A)S1S2S3 (C)S3S1S2 (3)设F(x)

(B)S2S1S3 (D)S2S3S1

x2xesintsintdt,则F(x)

(B)为负常数 (D)不为常数

(A)为正常数 (C)恒为零

a1xb1yc10,a1b1c1(4)设α1a2,α2b2,α3c2,则三条直线a2xb2yc20, a3xb3yc30a3b3c3

(其中ai2bi20,i1,2,3)交于一点的充要条件是: (A)α1,α2,α3线性相关

(B)α1,α2,α3线性无关

(D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性

(C)秩r(α1,α2,α3)秩r(α1,α2)

无关

(5)设两个相互的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X2Y的方差是

(A)8 (B)16 (C)28 (D)44

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

y22z(1)计算I(xy)dv,其中为平面曲线 绕z轴旋转一周所成的曲面

x022与平面z8所围成的区域. (2)计算曲线积分

(zy)dx(xz)dy(xy)dz,其中c是曲线 xyz2从zcx2y21轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针的.

(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为

N,在t0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比

例常数k0,求x(t).

四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)

(1)设直线l:

xyb022在平面上,而平面与曲面zxy相切于点

xayz30(1,2,5),求a,b之值.

2z2z(2)设函数f(u)具有二阶连续导数,而zf(esiny)满足方程22e2xz,求

xyxf(u).

五、(本题满分6分) 设f(x)连续,(x)10f(xt)dt,且limx0f(x)A(A为常数),求(x)并讨论(x)在xx0处的连续性.

六、(本题满分8分)

设a10,an111(an)(n1,2,),证明 2an(2)级数

(1)liman存在.

x(n1an1)收敛. an1 七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)

(1)设B是秩为2的54矩阵,α1[1,1,2,3]T,α2[1,1,4,1]T,α3[5,1,8,9]T是

齐次线性方程组Bx0的解向量,求Bx0的解空间的一个标准正交基.

1212的一个特征向量.

a3 (2)已知ξ1是矩阵A511b2

1)试确定a,b参数及特征向量ξ所对应的特征值.

2)问A能否相似于对角阵?说明理由.

八、（本题满分5分）

设A是n阶可逆方阵,将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B. (1)证明B可逆.

1(2)求AB.

九、（本题满分7分）

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互的,并且概率都是.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望. 十、（本题满分5分）

设总体X的概率密度为

25(1)x0x1 f(x) 其它0其中1是未知参数,X1,X2,,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分

别用矩估计法和极大似然估计法求的估计量.

1998年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)limx0

1x1x2=_____________. 2x

12z(2)设zf(xy)y(xy),f,具有二阶连续导数,则=_____________.

xxyx2y21,其周长记为a,则(2xy3x24y2)ds=_____________. (3)设l为椭圆43L(4)设A为n阶矩阵,A0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则(A)E必有特征值_____________.

(5)设平面区域D由曲线y

*2*12及直线y0,x1,xe所围成,二维随机变量(X,Y)x

在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x2处的值为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

dx(1)设f(x)连续,则tf(x2t2)dt= dx0(A)xf(x)

22

(B)xf(x) (D)2xf(x)

22(C)2xf(x)

(2)函数f(x)(x2x2)x3x不可导点的个数是 (A)3 (C)1

(B)2 (D)0

(3)已知函数yy(x)在任意点x处的增量y的高阶无穷小,y(0),则y(1)等于

(A)2 (C)e

4yx,且当x0时,是x21x

(B)

(D)e4

a1(4)设矩阵a2a3b1b2b3c1xa3yb3zc3c2是满秩的,则直线与直线a1a2b1b2c1c2c3xa1yb1zc1 a2a3b2b3c2c3(A)相交于一点 (C)平行但不重合

(B)重合 (D)异面

(5)设A,B是两个随机事件,且0P(A)1,P(B)0,P(B|A)P(B|A),则必有 (A)P(A|B)P(A|B) (C)P(AB)P(A)P(B) 三、(本题满分5分)

求直线l:

(B)P(A|B)P(A|B) (D)P(AB)P(A)P(B)

x1yz1在平面:xy2z10上的投影直线l0的方程,并求l0111

绕y轴旋转一周所成曲面的方程. 四、(本题满分6分)

确定常数,使在右半平面x0上的向量A(x,y)2xy(xy)ix(xy)j42242为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y). 五、(本题满分6分)

从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水密度为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式yy(v). 六、(本题满分7分)

axdydz(za)2dxdy222计算其中为下半平面的上侧,a为大zaxy,22212(xyz)于零的常数.

七、(本题满分6分)

2sinsinnn求limxn11n2sin.1nn

八、（本题满分5分）

设正向数列{an}单调减少,且理由. 九、（本题满分6分）

设yf(x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数.

(1)试证存在x0(0,1),使得在区间[0,x0]上以f(x0)为高的矩形面积,等于在区间

(1)an发散,试问级数(nn1n11n)是否收敛?并说明an1[x0,1]上以yf(x)为曲边的曲边梯形面积.

(2)又设f(x)在区间(0,1)内可导,且f(x) 十、（本题满分6分）

已知二次曲面方程xayz2bxy2xz2yz4可以经过正交变换

2222f(x),证明(1)中的x0是唯一的. xxyP化为椭圆柱面方程2424,求a,b的值和正交矩阵P. z 十一、（本题满分4分）

设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx0有解向量α,且Ak1α0. 证明:向量组α,Aα,,Ak1α是线性无关的.

十二、（本题满分5分）

已知方程组

a11x1a12x2(Ⅰ) a1,2nx2n0a2,2nx2n0an,2nx2n0

a21x1a22x2 an1x1an2x2的一个基础解析为(b11,b12,性方程组

,b1,2n)T,(b21,b22,,b2,2n)T,,(bn1,bn2,,bn,2n)T.试写出线

b11y1b12y2(Ⅱ) b1,2ny2n0b2,2ny2n0bn,2ny2n0

b21y1b22y2 bn1y1bn2y2的通解,并说明理由.

十三、（本题满分6分）

设两个随机变量X,Y相互,且都服从均值为0、方差为

1的正态分布,求随机变量2XY的方差.

十四、（本题满分4分）

从正态总体N(3.4,6)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大? 附:标准正态分布表 (x)2z1t2edt 21.5 0.950 1.96 0.975 2.33 0.990 2z 1.28 0.900 (x) 十五、（本题满分4分）

设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程.

附:t分布表 P{t(n)tp(n)}p

35 36

0.95 1.66 1.6883 0.975 2.0301 2.0281

1999年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)lim(x011)=_____________. x2xtanx(2)

dx2sin(xt)dt=_____________. 0dx2x(3)y4ye的通解为y=_____________.

(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 _____________. (5)

设

两

两

相

互

独

立

的

三

事

件

A,B和

C满足条

件:ABC,P(A)P(B)P(C)且已知P(A1, 2BC)9,则P(A)=_____________. 16 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则 (A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数 数

(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函

(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数 必是单调增函数

1cosx x0(2)设f(x),其中g(x)是有界函数,则f(x)在x0处 xx2g(x) x0(A)极限不存在 (C)连续,但不可导

(B)极限存在,但不连续 (D)可导

x 0x1a0(3)设f(x),S(x)ancosnx,x, 1222x x1n12其中an25f(x)cosnxdxS()等于 ,则(n0,1,2,)0211(A) (B)

221

3 4(4)设A是mn矩阵,B是nm矩阵,则

(C)

(A)当mn时,必有行列式|AB|0

(D)3 4

(B)当mn时,必有行列式

|AB|0

(D)当nm时,必有行列式

(C)当nm时,必有行列式|AB|0

|AB|0

(5)设两个相互的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则

1 21(C)P{XY0}

2(A)P{XY0}三、(本题满分6分)

1 21(D)P{XY1}2

(B)P{XY1}设yy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和F(x,y,z)0所确定的函数,其中f和

F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求

四、(本题满分5分)

求Idz.dx

(eLxsinyb(xy))dx(excosyax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点

A(2a,0)沿曲线y2axx2到点O(0,0)的弧.

五、(本题满分6分)

设函数y(x)(x0)二阶可导且y(x)0,y(0)1.过曲线yy(x)上任意一点

P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区

间[0,x]上以yy(x)为曲线的曲边梯形面积记为S2,并设2S1S2恒为1,求曲线yy(x)的方程.

六、(本题满分7分)

论证:当x0时,(x1)lnx(x1).

22

七、(本题满分6分)

为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)

八、(本题满分7分)

x2y2z21的上半部分,点P(x,y,z)S,为S在点P处的切平设S为椭球面22面,(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面的距离,求

zdS.(x,y,z)S

九、(本题满分7分)

设an40tannxdx:

an2)的值.

(1)求

n(an11n(2)试证:对任意的常数0,级数

an收敛. n1n十、(本题满分8分)

1ca,其行列式|A|1,又的伴随矩阵A*有一个特征值

b3设矩阵A5A1c0a0,属于0的一个特征向量为α(1,1,1)T,求a,b,c和0的值.

十一、(本题满分6分)

设A为m阶实对称矩阵且正定,B为mn实矩阵,B为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)n.

十二、(本题满分8分)

设随机变量X与Y相互,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y Ty1 y2 y3 P(Xxi)pi• 1 x1 x2 P(Yyi)p•j 十三、(本题满分6分)

1 8 1 81 66x(x) 0< x设X的概率密度为f(x)3,X1,X2,0 其它随机样本

,Xn是取自总体X的简单

ˆ. (1)求的矩估计量ˆ的方差D(ˆ). (2)求

2000年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)

102xx2dx=_____________.

222(2)曲面x2y3z21在点(1,2,2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy3y0的通解为_____________.

1x1112(4)已知方程组23a2x23无解,则a= _____________. 1a2x30(5)设两个相互的事件A和B都不发生的概率为生A不发生的概率相等,则P(A)=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符

合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f(x)g(x)f(x)g(x)0,则当

1,A发生B不发生的概率与B发9axb时,有

(A)f(x)g(b)f(b)g(x) (C)f(x)g(x)f(b)g(b)

(B)f(x)g(a)f(a)g(x) (D)f(x)g(x)f(a)g(a)

(2)设S:x2y2z2a2(z0),S1为S在第一卦限中的部分,则有 (A)(C)

xdS4xdS

SS1

(B)(D)

ydS4xdS

SS1

zdS4xdS

SS1

xyzdS4xyzdS

SS1(3)设级数

un1nn收敛,则必收敛的级数为

u(A)(1)n

nn1(C)

 (B)

un1n12n

(un12n1u2n)

(D)

(unun1)

(4)设n维列向量组α1,分必要条件为

(A)向量组α1,(B)向量组β1,(C)向量组α1,,αm(mn)线性无关,则n维列向量组β1,,βm线性无关的充

,αm可由向量组β1,,βm可由向量组α1,,αm与向量组β1,,βm线性表示 ,αm线性表示 ,βm等价

(D)矩阵A(α1,,αm)与矩阵B(β1,,βm)等价

(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量XY与 XY不相关的充分必要条件为

(A)E(X)E(Y)

22

2

2

(B)E(X)[E(X)]E(Y)[E(Y)] (C)E(X)E(Y)

22

2

2

(D)E(X)[E(X)]E(Y)[E(Y)]

22 三、(本题满分6分)

求lim(x2e1e1x4xsinx). x 四、(本题满分5分)

xx2z设zf(xy,)g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求.yyxy

五、(本题满分6分)

计算曲线积分IxdyydxL4x2y2,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(R1),取逆时针方向.

六、(本题满分7分)

设对于半空间x0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有

Sxf(x)dydzxyf(x)dzdxe2xzdxdy0,其中函数f(x)在(0,)内具有连续的一阶

导数,且limf(x)1,求f(x). x0

七、(本题满分6分)

1xn求幂级数n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性. nnn13(2) 八、(本题满分7分)

设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到

P0距离的平方成正比(比例常数k0),求球体的重心位置.

九、(本题满分6分)

设函数f(x)在[0,]上连续,且

0f(x)dx0,f(x)cosxdx0.试证:在(0,)内至

0少存在两个不同的点1,2,使f(1)f(2)0. 十、(本题满分6分)

1001*设矩阵A的伴随矩阵A10030000,11且ABABA3E,其中E为4阶单

1008位矩阵,求矩阵B.

十一、(本题满分8分)

某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将

1熟练工支援其6他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有

2成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为xn和yn,记成向5量xn. yn(1)求xn1xnxn1xnA与的关系式并写成矩阵形式:.

yyyn1nn1yn(2)验证η1,η2411是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. 11xn1x12(3)当时,求.yy1n1 12 十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产品不合格的概率为p(0p1),各产品合格与否相对,当出现1

个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X). 十三、(本题满分6分)

2e2(x)x设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x;),其中0为未知

x0参数.又设x1,x2,,xn是X的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值.

2001年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设ye(asinxbcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.

(2)rxx2y2z2,则div(gradr)(1,2,2)= _____________.

(3)交换二次积分的积分次序:

01dy1y2f(x,y)dx＝_____________.

(4)设A2A4EO,则(A2E)= _____________.

(5)D(X)2,则根据车贝晓夫不等式有估计P{XE(X)2} _____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设函数f(x)在定义域内可导,yf(x)的图形如右图所示,则yf(x)的图形为

1

(A) (B) (C)

(D)

(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx(0,0)3,fy(0,0)1则 (A)dz|(0,0)3dxdy

(B)曲面zf(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}

(C)曲线 zf(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}

y0zf(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}

y0(D)曲线 (3)设f(0)0则f(x)在x=0处可导

f(1cosh)(A)lim存在

h0h2(C)limh0

f(1eh)(B) lim存在

h0h(D)limh0f(hsinh)存在

h211141110,B011111100000 0000

f(2h)f(h)存在

h1(4)设A11100,则A与B 00(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似 (5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y相关系数为

(A) -1

(B)0

(C)

1 2 (D)1

三、(本题满分6分)

arctanexdx. 求e2x 四、(本题满分6分)

设函数zf(x,y)在点(1,1)可微,且

f(1,1)1,fx(1,1)2,fy(1,1)3,(x)f(x,f(x,x)),求

五、(本题满分8分)

d3(x)dxx1.

1x2(1)narctanx x0 设f(x) x,将f(x)展开成x的幂级数,并求的和. 2n114n1 x0 六、(本题满分7分)

计算IL(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dz,其中L是平面 xyz2与

柱面xy1的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.

七、(本题满分7分)

设f(x)在(1,1)内具有二阶连续导数且f(x)0.证明:

(1)对于x(1,0)(0,1),存在惟一的(x)(0,1),使 f(x)=f(0)+xf((x)x)成立. (2)lim(x)0.5.

x0 八、(本题满分8分)

设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程

2(x2y2)(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积zh(t)h(t)成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间? 九、(本题满分6分)

设α1,α2,

,αs为线性方程组AXO的一个基础解系,

β1t1α1t2α2,β2t1α2t2α3,,βst1αst2α1,

,βs也为AXO的一个基础解系?

其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么条件时β1,β2, 十、(本题满分8分)

已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,Ax线性无关,且满足A3x3Ax2A2x.

1(1)记P(x,Ax,Ax),求B使APBP.

22(2)计算行列式AE. 十一、(本题满分7分)

某班车起点站上客人数X服从参数为(0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),且中途下车与否相互.Y为中途下车的人数,求:

(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率. (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布. 十二、(本题满分7分)

设X~N(,)抽取简单随机样本X1,X2,2,X2n(n2),

n12nXi,Y(XiXni2X)2,求E(Y). 样本均值X2ni1i1

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)edx= _____________. xln2x(2)已知ey6xyx210,则y(0)=_____________. (3)yyy20满足初始条件_____________. (4)已知实二次型

22f(x1,x2,x3)a(x12x2x3)4x1x24x1x34x2x3经正

y(0)1,y(0)12的特解是

交变换可化为标准型f6y12,则a=_____________.

(5)设随机变量X~N(,2),且二次方程y24yX0无实根的概率为0.5,则=_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)考虑二元函数f(x,y)的四条性质: ①连续, ③存在. 则有:

f(x,y)在点(x0,y0)处可微, f(x,y)在点(x0,y0)处连续,

②

f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数

④

f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数

(A)②③① (C)③④① (2)设un0,且lim

(B)③②① (D)③①④

1为 nn11)1,则级数(1)(nuunun1n(A)发散 (C)条件收敛 定.

(B)绝对收敛 (D)收敛性不能判

(3)设函数f(x)在R上有界且可导,则

(A)当xlimf(x)0时,必有limf(x)0 x必有limf(x)0

x(B)当xlimf(x)存在时,(C) 当xlimf(x)0时,必有limf(x)0 (D) 当limf(x)存在时,必有x00x0x0limf(x)0.

(4)设有三张不同平面,其方程为aixbiycizdi(i1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为

(5)设X和Y是相互的连续型随机变量,它们的密度函数分别为

fX(x)和fY(y),分布函数分别为FX(x)和FY(y),则

(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函数 (B) fX(x)fY(y)必为密度函数

(C)FX(x)＋FY(y)必为某一随机变量的分布函数 (D) FX(x)FY(y)必为某一随机变量的分布函数.

三、(本题满分6分)

设函数f(x)在x0的某邻域具有一阶连续导数,且f(0)f(0)0,当

h0时,若af(h)bf(2h)f(0)o(h),试求a,b的值.

四、(本题满分7分) 已知两曲线yf(x)与y0arctanxetdt在点(0,0)处的切线相同.求此切

2线的方程,并求极限limnf(2).

nn

五、(本题满分7分) 计算二重积分emax{xD2,y2}dxdy,其中D{(x,y)|0x1,0y1}.

六、(本题满分8分)

设函数f(x)在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d). 记I1x[1y2f(xy)]dx2[y2f(xy)1]dy, yy(1)证明曲线积分I与路径L无关. (2)当abcd时,求I的值.

七、(本题满分7分)

x3n (1)验证函数y(x)(x)满足微分方程yyyex.

n0(3n)!

x3n(2)求幂级数y(x)的和函数.

n0(3n)!

八、(本题满分7分)

设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为

D{(x,y)|x2y2xy75},小山的高度函数为h(x,y)75x2y2xy.

(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0,y0),写出g(x0,y0)的表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中

g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

九、(本题满分6分)

已知四阶方阵A(α1,α2,α3,α4), α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中

α2,α3,α4线性无关,α12α2α3.若βα1α2α3α4,求线性方程组Axβ的通解.

十、(本题满分8分) 设A,B为同阶方阵,

(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

1(cosx)ln(1x) = . (1)limx02(2)曲面zx2y2与平面2x4yz0平行的切平面的方程是 .

(3)设xancosnx(x),则a2= .

2n0(4)从R2的基α1,α2到基β1,β2的过渡矩阵

01121111为 .

(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) 则P{XY1} .

(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则的置信度为0.95的置信区间是 .

(注:标准正态分布函数值(1.96)0.975,(1.5)0.95.)

二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

6x0xy1 ,其它0

(1)设函数f(x)在(,)内连续,其导函数的图形如图所示,则f(x)有

(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点

(2)设{an},{bn},{cn}均为非负数列,且liman0,limbn1,limcn,则

nnn必有

(A)anbn对任意n成立 成立

(C)极限limancn不存在

n

(B)bncn对任意n

(D)极限limbncn不存

n在

(3)已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且

x0,y0limf(x,y)xy1,则 222(xy)(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点 (B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点 (C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点

(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点 (4)设向量组I:α1,α2,,αr可由向量组II:β1,β2,,βs线性表示,则 (A)当rs时,向量组II必线性相关

(B)当rs时,向量组

II必线性相关

(C)当rs时,向量组I必线性相关 I必线性相关

(5)设有齐次线性方程组Ax0和Bx0,其中A,B均为mn矩阵,现有4个命题:

① 若Ax0的解均是Bx0的解,则秩(A)秩(B) ② 若秩(A)秩(B),则Ax0的解均是Bx0的解 ③ 若Ax0与Bx0同解,则秩(A)秩(B) ④ 若秩(A)秩(B), 则Ax0与Bx0同解 以上命题中正确的是 (A)①② (C)②④

(B)①③ (D)③④

(D)当rs时,向量组

(6)设随机变量X~t(n)(n1),Y(A)Y~2(n) (C)Y~F(n,1)

三、(本题满分10分)

1,则 2X

(B)Y~2(n1) (D)Y~F(1,n)

过坐标原点作曲线ylnx的切线,该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D.

(1)求D的面积A.

(2)求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V.

四、(本题满分12分)

12x(1)n将函数f(x)arctan展开成x的幂级数,并求级数的和.

12xn02n1五 、(本题满分10分)

已知平面区域D{(x,y)0x,0y},L为D的正向边界.试证: (1)LxesinydyyesinxdxLxesinydyyesinxdx. (2)Lxesinydyyesinxdx22.

六 、(本题满分10分)

某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k.k0).汽锤第一次击打将桩打进地下

am.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时

所作的功之比为常数r(0r1).问

(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m表示长度单位米.)

七 、(本题满分12分)

设函数yy(x)在(,)内具有二阶导数,且y0,xx(y)是

yy(x)的反函数.

d2xdx(1)试将xx(y)所满足的微分方程2(ysinx)()30变换为

dydyyy(x)满足的微分方程.

(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)0,y(0)的解.

八 、(本题满分12分)

设函数f(x)连续且恒大于零,

32f(xF(t)(t)D(t)2y2z2)dv2f(xy)d2,G(t)D(t)f(xt12y2)d2f(x)dx,

其中(t){(x,y,z)x2y2z2t2},D(t){(x,y)x2y2t2}.

(1)讨论F(t)在区间(0,)内的单调性. (2)证明当t0时,F(t)G(t).2

九 、(本题满分10分)

322010,P101,BP1A*P,求232设矩阵AB2E的特征值与223001特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为3阶单位矩阵.

十 、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为l1: ax2by3c0,l2:

bx2cy3a0,l3: cx2ay3b0.试证这三条直线交于一点的充分

必要条件为abc0.

十一 、(本题满分10分)

已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3

件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:

(1)乙箱中次品件数的数学期望.

(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

十二 、(本题满分8分)

设总体X的概率密度为

2e2(x)x f(x)

x00其中0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,,Xn,记

ˆmin(X,X,,X). 12n(1)求总体X的分布函数F(x).(2)求统计量ˆ的分布函数Fˆ(x).(3)如果用ˆ作为的估计量,讨论它是否具有无偏性.

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题

中横线上)

(1)曲线ylnx上与直线xy1垂直的切线方程为__________ . (2)已知f(ex)xex,且f(1)0,则f(x)=__________ .

(3)设L为正向圆周x2y22在第一象限中的部分,则曲线积分

Lxdy2ydx的值为__________.

d2ydy4x2y0(x0)的通解为__________ . (4)欧拉方程x2dxdx2210,矩阵满足ABA*2BA*E,其中A*为的120(5)设矩阵AAB001伴随矩阵,E是单位矩阵,则B=__________ .

(6)设随机变量X服从参数为的指数分布,则P{XDX}= __________ .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)把x0时的无穷小量0costdt,0tantdt,0sint3dt,

x2x2x使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是

(A),, (C),,

(B),, (D),,

(8)设函数f(x)连续,且f(0)0,则存在0,使得 (A)f(x)在(0,)内单调增加 内单调减少

(B)f(x)在(,0)

(C)对任意的x(0,)有f(x)f(0) (D)对任意的

x(,0)有f(x)f(0)

(9)设an为正项级数,下列结论中正确的是

n1(A)若limnan=0,则级数an收敛

nn1(B)若存在非零常数,使得limnan,则级数an发散

nn1n2an0 (C)若级数an收敛,则limnn1(D)若级数an发散, 则存在非零常数,使得limnan

nn1(10)设f(x)为连续函数,F(t)1dyyf(x)dx,则F(2)等于 (A)2f(2)

(B)f(2) (D) 0

tt(C)f(2)

(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQC的可逆矩阵Q为

010 100(A)101010 100(C)011

010 101(B)001011 100(D)001

(12)设A,B为满足ABO的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关 (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关

(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关

(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的(01),数u满足P{Xu},若P{Xx},则x等于

(A)u

22

(B)u12

(C)u1 (D) u1

(14)设随机变量X1,X2,,Xn(n1)同分布,且其方差为20.

1n令YXi,则

ni1(A)Cov(X1,Y)(C)D(X1Y)

2n

(B)Cov(X1,Y)2 (D)D(X1Y)n12 nn22 n三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分) 设eabe2,证明ln2bln2a

(16)(本题满分11分)

某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系

4(ba). 2e

数为k6.0106). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时) (17)(本题满分12分)

计算曲面积分I2x3dydz2y3dzdx3(z21)dxdy,其中是曲面

z1x2y2(z0)的上侧.

(18)(本题满分11分)

设有方程xnnx10,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实

根xn,并证明当1时,级数xn收敛.

n1

(19)(本题满分12分)

设zz(x,y)是由x26xy10y22yzz2180确定的函数,求

zz(x,y)的极值点和极值.

(20)(本题满分9分)

(1a)x1x2xn0,2x(2a)x2x0,12n设有齐次线性方程组nx1nx2(na)xn0,(n2),

试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

(21)(本题满分9分)

123的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论143设矩阵A1a5A是否可相似对角化.

(22)(本题满分9分)

设A,B为随机事件,且P(A),P(B|A),P(A|B),令

1,A发生,1,B发生, Y X0,0,A不发生;B不发生.141312求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布. (2)X和Y的相关系数XY.

(23)(本题满分9分)

设总体X的分布函数为

11,x1,F(x,)x

x1,0,其中未知参数1,X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本,

求:(1)的矩估计量. (2)的最大似然估计量

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)

x2(1)曲线y的斜渐近线方程为 _____________.

2x1

(2)微分方程xy2yxlnx满足y(1)的解为____________.

x2y2z21(3)设函数u(x,y,z)1,单位向量n{1,1,1},则

612183un(1,2,3)19=.________.

(4)设是由锥面zx2y2与半球面zR2x2y2围成的空间区

域,

是



的整个边界的外侧,则

xdydzydzdxzdxdy____________.

(5)设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵

A(α1,α2,α3),B(α1α2α3,α12α24α3,α13α29α3),

如果A1,那么B .

(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,2,,X中任取一个数,记为Y, 则P{Y2}=____________.

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数f(x)limn1x3n,则f(x)在(,)内

n(A)处处可导 点

(C)恰有两个不可导点 导点

(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,\"MN\"表示\"M的充分必要条件是N\则必有

(D)至少有三个不可

(B)恰有一个不可导

(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数

f(x)是偶函数

(B)F(x)是奇函数

(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数

f(x)是单调函数

(D)F(x)是单调函数

(9)设函数u(x,y)(xy)(xy)(t)dt, 其中函数具有二阶

xy导数, 具有一阶导数,则必有

2u2u(A)22

xy2u2u(C)2

xyyxy

2u2u(B)22

xy2u2u2 (D)

xyx

(10)设有三元方程xyzlnyexz1,根据隐函数存在定理,存在点

(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程

(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数zz(x,y) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数xx(y,z)和zz(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数yy(x,z)和zz(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数xx(y,z)和yy(x,z) (11)设1,2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为

α1,α2,则α1,A(α1α2)线性无关的充分必要条件是

(A)10 (C)10

(B)20 (D)20

(12)设A为n(n2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵

B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则

(A)交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行

与第2行得B*

(C)交换A*的第1列与第2列得B* 1行与第2行得B*

(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为

X 0 Y 0 1 0.4 b a (D)交换A*的第

1 0.1 已知随机事件{X0}与{XY1}相互,则

(A)a0.2,b0.3 (C)a0.3,b0.2

(B)a0.4,b0.1

(D)a0.1,b0.4

(14)设X1,X2,,Xn(n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S2为样本方差,则

(A)nX~N(0,1)

(n1)X~t(n1) (C)S

(D)

(B)nS2~2(n)

(n1)X12n ~F(1,n1)

Xi22i

三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)

设D{(x,y)x2y22,x0,y0},[1x2y2]表示不超过

1x2y2的最大整数. 计算二重积分xy[1x2y2]dxdy.D

(16)(本题满分12分) 求幂级数(1)n1(1n11)x2n的收敛区间与和函数f(x).

n(2n1)

(17)(本题满分11分)

如图,曲线C的方程为yf(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分

30(x2x)f(x)dx.

(18)(本题满分12分)

已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)0,f(1)1. 证明:

(1)存在(0,1), 使得f()1.

(2)存在两个不同的点,(0,1),使得f()f()1.

(19)(本题满分12分)

设函数(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分L(y)dx2xydy2x2y4的值恒为同一常数.

(1)证明:对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有

(y)dx2xydyC2xy240.

(2)求函数(y)的表达式.

(20)(本题满分9分)

已知二次型f(x1,x2,x3)(1a)x12(1a)x222x322(1a)x1x2的秩为2.

(1)求a的值；

(2)求正交变换xQy,把f(x1,x2,x3)化成标准形. (3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.

(21)(本题满分9分)

已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵

123(k为常数),且ABO,求线性方程组Ax0的通解. B24636k

(22)(本题满分9分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

0x1,0y2x其它1 0

求:(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y). (2)Z2XY的概率密度fZ(z).

(23)(本题满分9分)

设X1,X2,,Xn(n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,记YiXiX,i1,2,,n.

求:(1)Yi的方差DYi,i1,2,,n. (2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)limx0xln(1x)1cosx.

y(1x)的通解是 . x(2)微分方程y(3)设是锥面zx2y2(0z1)的下侧,则

xdydz2ydzdx3(z1)dxdy .

(4)点(2,1,0)到平面3x4y5z0的距离z= . (5)设矩阵AB= . 21,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BAB2E,则12(6)设随机变量X与Y相互,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则Pmax{X,Y}1= .

二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(7)设函数yf(x)具有二阶导数,且f(x)0,f(x)0,x为自变量

x在x0处的增量,y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若

x0,则

(A)0dxy (C)ydy0

(B)0ydy

(D)dyy0

401(8)设f(x,y)为连续函数,则d0f(rcos,rsin)rdr等于 (A)0dxx(C)0dyy221x2f(x,y)dy

(B)0dx0 (D)0dy022221x2f(x,y)dy

221y2f(x,y)dx

1y2f(x,y)dx

(9)若级数an收敛,则级数

n1

(A)an收敛

n1

(B)(1)nan收敛

n1

(C)anan1收敛

n1 (D)anan1收敛 2n1(10)设f(x,y)与(x,y)均为可微函数,且1y(x,y)0.已知(x0,y0)是

f(x,y)在约束条件(x,y)0下的一个极值点,下列选项正确的是

(A)若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0 (B)若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0 (C)若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0 (D)若fx(x0,y0)0,则fy(x0,y0)0

(11)设α1,α2,,αs,均为n维列向量,A是mn矩阵,下列选项正确的是

(A)若α1,α2,,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,,Aαs,线性相关 (B)若α1,α2,,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,,Aαs,线性无关 (C)若α1,α2,,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,,Aαs,线性相关 (D)若α1,α2,,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,,Aαs,线性无关. (12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1

110010列的-1倍加到第2列得C,记P,则 001(A)CP1AP (C)CPTAP

(B)CPAP1 (D)CPAPT

(13)设A,B为随机事件,且P(B)0,P(A|B)1,则必有

(A)P(AB)P(A)

(B)P(AB)P(B)

(C)P(AB)P(A) (D)P(AB)P(B)

(14)设随机变量X服从正态分布N(1,12),Y服从正态分布

2N(2,2),

且P{|X1|1}P{|Y2|1},则

(A)12 (C)12

三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分10分)

设区域D=x,yx2y21,x0,计算二重积分ID

(B)12

(D)12

1xydxdy.

1x2y2

(16)(本题满分12分)

设数列xn满足0x1,x1sinxnn1,2,....

1xn1xn2求:(1)证明limxn存在,并求之. (2)计算lim. xxxn

(17)(本题满分12分) 将函数fx

(18)(本题满分12分)

设函数fu在0,内具有二阶导数,且zfx展开成x的幂级数. 22xxx2y2满足等式

2z2z0. x2y2(1)验证fufu0. u(2)若f10,f11,求函数f(u)的表达式.

(19)(本题满分12分)

设在上半平面Dx,yy0内,数fx,y是有连续偏导数,且对任意的t0都有

ftx,tyt2fx,y.

证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有

yf(x,y)dxxf(x,y)dy0.

L

(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组

x1x2x3x414x13x25x3x41 axx3xbx13412有3个线性无关的解,

(1)证明方程组系数矩阵A的秩rA2. (2)求a,b的值及方程组的通解.

(21)(本题满分9分)

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量

α11,2,1,α20,1,1是线性方程组Ax0的两个解.

TT(1)求A的特征值与特征向量.

(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQA.

(22)(本题满分9分)

12,1x012随机变量x的概率密度为fxx,0x2令yx,Fx,y为二

40,其它维随机变量(X,Y)的分布函数.

(1)求Y的概率密度fYy.

,4(2)F. 21

(23)(本题满分9分)

0x1设总体X的概率密度为F(X,0) 1 1x2,其中是未知参数

0其它(01),X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值

x1,x2...,xn中小于1的个数,求的最大似然估计

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)

(1)当x0时,与x等价的无穷小量是 (A)1ex

(B)ln1x 1x

(C)1x1 (2)曲线y (D)1cosx 1ln(1ex),渐近线的条数为 x(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

(3)如图,连续函数yf(x)在区间[3,2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)f(t)dt.则下列结论正确的是

0x3(A)F(3)F(2)

43(C)F(3)F(2)

4

5F(2) 45 (D)F(3)F(2)

4 (B)F(3)(4)设函数f(x)在x0处连续,下列命题错误的是

f(x)存在,则f(0)0

x0xf(x)f(x)(B)若lim 存在,则f(0)0

x0xf(x)(C)若lim 存在,则f(0)0

x0xf(x)f(x)(D)若lim 存在,则f(0)0

x0x(A)若lim

(5)设函数f(x)在(0, +)上具有二阶导数,且f\"(x)0, 令

unf(n)1,2,,n,则下列结论正确的是

(A)若u1u2,则{un}必收敛 (B)若u1u2,则{un}必发散 (C)若u1u2,则{un}必收敛 (D)若u1u2,则{un}必发散

(6)设曲线L:f(x,y)1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是

(A)(x,y)dx



(B)f(x,y)dy

(C)f(x,y)ds



(D)f'x(x,y)dxf'y(x,y)dy

(7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线形相关的是 (A)α1α2,α2α3,α3α1 (C)α12α2,α22α3,α32α1

(B)α1α2,α2α3,α3α1 (D)α12α2,α22α3,α32α1

211100(8)设矩阵A121,B010,则A与B

112000(A)合同,且相似

(C)不合同,但相似

(B)合同,但不相似

(D)既不合同,也不相似

(9)某人向同一目标重复射击,每次射击命中目标的概率为p0p1,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

(A)3p(1p)2

(B)6p(1p)2 (D)6p2(1p)2

(C)3p2(1p)2

(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Yy的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为

(A)fX(x)

(B)fY(y)

(D)

fX(x) fY(y)

(C)fX(x)fY(y)

二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上)

(11)2111exdx=_______. 3xz=______. x(12)设f(u,v)为二元可微函数,zf(xy,yx),则

(13)二阶常系数非齐次线性方程y''4y'3y2e2x的通解为

y=____________.

(14)设曲面:|x||y||z|1,则(x|y|)ds=_____________.

00(15)设矩阵A00100010,则A3的秩为________.

0010001的概率2(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于为________.

三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

(17)(本题满分11分)

求函数 f(x,y)x22y2x2y2在区域D{(x,y)|x2y24,y0}上的最大值和最小值.

(18)(本题满分10分)

计算曲面积分Ixzdydz2zydzdx3xydxdy,其中 为曲面

y2z1x(0z1)的上侧.

42

(19)(本题满分11分)

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)g(a),f(b)g(b),证明:存在(a,b),使得 f()g().

(20)(本题满分10分) 设幂级数

axnn0n 在(,)内收敛,其和函数y(x)满足

y2xy4y0,y(0)0,y(0)1.

(1)证明:an22an,n1,2,n1.

(2)求y(x)的表达式.

(21)(本题满分11分)

x1x2x30设线性方程组x12x2ax30,与方程 x12x2x3a1,有公共解,求ax4xa2x0231的值及所有公共解.

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵A的特征向量值11,22,32.α1(1,1,1)T是A的属于特征值1的一个特征向量,记BA54A3E,其中E为3阶单位矩阵.

(1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B.

(23)(本题满分11分)

2xy,0x1,0y1设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

0,其他(1)求P{X2Y}. (2)求ZXY的概率密度.

(24)(本题满分11分)

12,0x1设总体X的概率密度为f(x;),x1

2(1)0,其他X1,X2,Xn是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值

(1)求参数的矩估计量ˆ.

(2)判断4X2是否为2的无偏估计量,并说明理由.

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)设函数f(x)0ln(2t)dt则f(x)的零点个数 (A)0

(B)1

x2

(C)2 (D)3

xy(2)函数f(x,y)arctan在点(0,1)处的梯度等于 (A)i (C)j

(B)-i

(D)j

(3)在下列微分方程中,以yC1exC2cos2xC3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是 (A)yy4y4y0 (C)yy4y4y0

(B)yy4y4y0 (D)yy4y4y0

(4)设函数f(x)在(,)内单调有界,xn为数列,下列命题正确的是

(A)若xn收敛,则f(xn)收敛 (B)若xn单调,则f(xn)收敛 (C)若f(xn)收敛,则xn收敛 (D)若f(xn)单调,则xn收敛

(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A30,则 (A)EA不可逆,EA不可逆

(B)EA不可逆,EA可逆 (C)EA可逆,EA可逆

(D)EA可逆,EA不可逆

(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程

x(x,y,z)Ay1在正交变换下的标准方程的图形如图,则Az的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

(7)设随机变量X,Y同分布且X分布函数为Fx,则

ZmaxX,Y分布函数为

(A)F2x

2

(B) FxFy

(D) 1Fx1Fy

(C) 11Fx

(8)设随机变量X~N0,1,Y~N1,4且相关系数XY1,则 (A)PY2X11 (C)PY2X11

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)微分方程xyy0满足条件y11的解是y. (10)曲线sinxylnyxx在点0,1处的切线方程为. (11)已知幂级数anx2在x0处收敛,在x4处发散,则幂级

n0n

(B)PY2X11 (D)PY2X11

数anx3的收敛域为.

n0n(12)

设曲面

是

z4x2y2的上侧,则

2xydydzxdzdxxdxdy. (13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα10,Aα22α1α2,则A的非零特征值为.

(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则

PXEX2.

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)

sinxsinsinxsinx求极限lim. 4x0x

(16)(本题满分10分)

计算曲线积分Lsin2xdx2x21ydy,其中L是曲线ysinx上从点

0,0到点,0的一段.

(17)(本题满分10分)

x2y22z20已知曲线C:,求曲线C距离XOY面最远的点和最近

xy3z5的点.

(18)(本题满分10分) 设fx是连续函数,

(1)利用定义证明函数Fx0ftdt可导,且Fxfx.

(2)当fx是以2为周期的周期函数时,证明函数

Gx2f(t)dtxf(t)dt也是以2为周期的周期函数.

00x2x

(19)(本题满分10分)

1的和.

fx1x2(0x),用余弦级数展开,并求2n1n1n

(20)(本题满分11分)

AααTββT,αT为α的转置,βT为β的转置.证明:

(1)r(A)2. (2)若α,β线性相关,则r(A)2.

(21)(本题满分11分)

2a12a2a设矩阵Aa2,现矩阵A满足方程AXB,其中12annXx1,,xn,B1,0,T,0,

(1)求证An1an.

(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1. (3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解.

(22)(本题满分11分)

设随机变量X与Y相互,X的概率分布为

10y11,记ZXY, PXii1,0,1,Y的概率密度为fYy30其它(1)求PZ1X0. 2(2)求Z的概率密度.

(23)(本题满分11分)

设X1,X2,,Xn是总体为N(,2)的简单随机样本.

1n1n12222(XX)记XXi,S,TXS ini1n1i1n (1)证明T是2的无偏估计量. (2)当0,1时 ,求DT.

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)当x0时,fxxsinax与gxx2ln1bx等价无穷小,则

(A)a1,b (C)a1,b

1616

(B)a1,b (D)a1,b

1616

(2)如图,正方形x,yx1,y1被其对角线划分为四个区域Dkk1,2,3,4,Ikycosxdxdy,则maxID1k4k

k

(A)I1 (B)I2 (C)I3

(D)I4

(3)设函数yfx在区间1,3上的图形为

f(x) O -2 0 -1 1 2 3 x

则函数Fxx0ftdt的图形为

f(x) 1 -2 0 1 2 3 x

(A)

-1

(B)

f(x) 1 0 -1 -2 1 2 3 x

f(x) 1 0 -1 1 2 3 x

(C)

f(x) 1 0 -1 -2 1 2 3 x

n (D)

(4)设有两个数列an,bn,若liman0,则 (A)当bn收敛时,anbn收敛.

n1n1

(B)当bn发散时,anbn发散.

n1n1 (C)当bn收敛时,an2bn2收敛.

n1

n1

(D)当bn发散时,an2bn2发散.

n1n1(5)设α1,α2,α3是3维向量空间R3的一组基,则由基α1,α2,α3到基

α1α2,α2α3,α3α1的过渡矩阵为

1213101



220(A) 033

120



023(B) 103

121(C)212141414161 616

121(D)416121416121 416(6)设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,若

OAA2,B3,则分块矩阵的伴随矩阵为

BOO3B*(A)*

O2AO3A*(C)*

2BO

O(B)*3AO(D)*3B2B* O2A* O

(7)设随机变量X的分布函数为Fx0.3x0.7x为标准正态分布函数,则EX

x1,其中2(A)0 (C)0.7

(B)0.3

(D)1

(8)设随机变量X与Y相互,且X服从标准正态分布N0,1,Y的概率分布为PY0PY1,记FZz为随机变量ZXY的分布函数,则函数FZz的间断点个数为

12

(A)0 (C)2

(B)1 (D)3

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9)设函数fu,v具有二阶连续偏导数,zfx,xy,则

2z . xy(10)若二阶常系数线性齐次微分方程yayby0的通解为

yC1C2xex,则非齐次方程yaybyx满足条件y02,y00的

解为y .

(11)已知曲线L:yx20x2,则Lxds . (12)设x,y,zx2y2z21,则z2dxdydz .

(13)若3维列向量α,β满足αTβ2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为 .

(14)设X1,X2,,Xm为来自二项分布总体Bn,p的简单随机样本,X和S2分别为样本均值和样本方差.若XkS2为np2的无偏估计量,则

k .

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分9分)

求二元函数f(x,y)x22y2ylny的极值.

(16)(本题满分9分)

设an为曲线yxn与yxn1n1,2,.....所围成区域的面积,记

S1an,S2a2n1,求S1与S2的值.

n1n1

(17)(本题满分11分)

x2y2椭球面S1是椭圆1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点4,0且

43x2y2与椭圆1相切的直线绕x轴旋转而成.

43(1)求S1及S2的方程. (2)求S1与S2之间的立体体积.

(18)(本题满分11分)

(1)证明拉格朗日中值定理:若函数fx在a,b上连续,在(a,b)可导,则存在a,b,使得fbfafba.

(2)证明:若函数fx在x0处连续,在0,0内可导,且

x0limfxA,则f0存在,且f0A

(19)(本题满分10分) 计算曲面积分I2x22y2z24的外侧.

xdydzydzdxzdxdyx2y2z322,其中

是曲面

(20)(本题满分11分)

1111ξ111设A,11 2042(1)求满足Aξ2ξ1的ξ2.A2ξ3ξ1的所有向量ξ2,ξ3. (2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关.

(21)(本题满分11分)

22设二次型fx1,x2,x3ax12ax2a1x32x1x32x2x3.

(1)求二次型f的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f的规范形

为y12y22,求a的值.

(22)(本题满分11分)

袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.

(1) 求pX1Z0. (2)求二维随机变量X,Y概率分布

(23)(本题满分11 分)

2xex,x0设总体X的概率密度为f(x),其中参数(0)未

0,其他知,X1,X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本.

(1)求参数的矩估计量. (2)求参数的最大似然估计量.

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

x2(1)极限lim= x(xa)(xb)x(A)1

yzxx

(B)e (D)eba

(C)eab

(2)设函数zz(x,y)由方程F(,)0确定,其中F为可微函数,且

F20,则xzzy= xy

(A)x (C)x

1m

(B)z (D)z

dx的收敛性

(3)设m,n为正整数,则反常积分0(A)仅与m取值有关

(C)与m,n取值都有关 (4)limxi1nln2(1x)nx (B)仅与n取值有关

(D)与m,n取值都无关

n= 22j1(ni)(nj)n(A)0dx011x1dy

(1x)(1y2)1dy

(1x)(1y)

(B)0dx0111x1dy

(1x)(1y) (C)0dx01

(D)0dx01dy 2(1x)(1y)(5)设A为mn型矩阵,B为nm型矩阵,若ABE,则 (A)秩(A)m,秩(B)m

(D)秩(A)n,秩(B)n

(B)秩(A)m,秩(B)n

(C)秩(A)n,秩(B)m

(6)设A为4阶对称矩阵,且A2A0,若A的秩为3,则A相似于

11 (A)1011 (C)1011 (B)10

11 (D)10

0 x0(7)设随机变量X的分布函数F(x)

1 0x1,则P{X1}= 21ex x2(A)0

12

(B)1

(C)e1 (D)1e1

(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[1,3]上均匀分布的概率密度,

f(x)

x0 (a0,b0)

bf2(x)x0af1(x)

为概率密度,则a,b应满足

(A)2a3b4

(D)ab2

(B)3a2b4

(C)ab1

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

d2y(9)设xe,y0ln(1u)du,求2= . dxt0tt2(10)02xcosxdy= . (11)已知曲线L的方程为y1x{x[1,1]},起点是(1,0),终点是

(1,0),

则曲线积分Lxydxx2dy= .

(12)设{(x,y,z)|x2y2z1},则的形心的竖坐标

z= .

(13)设α1(1,2,1,0)T,α2(1,1,0,2)T,α3(2,1,1,)T,若由α1,α2,α3形成的向量空间的维数是2,则= . (14)设随机变量X概率分布为P{Xk}EX2= .

C(k0,1,2,),则k!

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)

求微分方程y3y2y2xex的通解.

(16)(本题满分10分)

求函数f(x)1(x2t)etdt的单调区间与极值.

(17)(本题满分10分) (1)比较01x2lnt[ln(1t)]ndt与tnlntdt(n1,2,)的大小,说明理由

01记un0lnt[ln(1t)]ndt(n1,2,),求极限limun.x(2)

1

(18)(本题满分10分)

(1)n12nx的收敛域及和函数. 求幂级数n12n1

(19)(本题满分10分)

设P为椭球面S:x2y2z2yz1上的动点,若S在点P的切平面与

xoy面垂直,求P点的轨迹C,并计算曲面积分I(x3)y2z4yz4yz22dS,其中是椭球面S位于曲线C上方的部分.

(20)(本题满分11分)

11a010,b设A1,已知线性方程组Axb存在两个不同111的解.

(1)求,a.

(2)求方程组Axb的通解.

(21)(本题满分11分)

设二次型f(x1,x2,x3)xTAx在正交变换xQy下的标准形为

2y12y2,且Q的第三列为(22T,0,). 22(1)求A.

(2)证明AE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.

(22)(本题满分11分) 设二维随机变量

22(XY)的概率密度为

f(x,y)Ae2x2xyy,x,y,求常数及A条件概率密度

fY|X(y|x).

(23)(本题满分11 分)

设总体X的概率分布为

X 1 1 2 2 3 2 P 其中(0,1)未知,以Ni来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数(i1,2,3),试求常数a1,a2,a3,使TaiNi为的无偏

i13估计量,并求T的方差.

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． ．．．

(1) 曲线y(x1)(x2)(x3)(x4)的拐点是( )

(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列an单调减少，liman0，Snn234ak1nk(n1,2,) 无界，则幂级数

a(x1)nn1n的收敛域为( )

(A) (1,1]． (B) [1,1)． (C) [0,2)． (D) (0,2]．

(3) 设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)0，f(0)0，则函数zf(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )

(A) f(0)1，f(0)0． (B) f(0)1，f(0)0． (C) f(0)1，f(0)0． (D) f(0)1，f(0)0．

00(4) 设I40lnsinxdx，J4lncotxdx，K4lncosxdx，则I,J,K的大

小关系是( )

(A) IJK． (B) IKJ． (C) JIK． (D) KJI．

(5) 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3

10010010，P2001，则A( ) 行得单位矩阵，记P1100101011(A) P1P2． (C) P2P1． 1P2． (B) P2P1． (D) P(6) 设A(1,2,3,4)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)是方程组

TAx0的一个基础解系，则A*x0的基础解系可为( )

(A) 1,3． (B) 1,2． (C) 1,2,3． (D) 2,3,4． (7) 设F1(x)，F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)，f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )

(A)f1(x)f2(x)． (B)2f2(x)F1(x)．

(C)f1(x)F2(x)． (D)f1(x)F2(x)f2(x)F1(x)．

(8) 设随机变量X与Y相互，且E(X)与E(Y)存在，记UmaxX,Y，

VminX,Y则E(UV)( )

(A)E(U)E(V)． (B)E(X)E(Y)． (C)E(U)E(Y)． (D)E(X)E(V)．

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上． ．．．(9) 曲线yx0tantdt(0xx4)的弧长s ．

(10) 微分方程yye(11) 设函数F(x,y)cosx满足条件y(0)0的解为y ．

xy02Fsintdt，则22x1t2 ．

x0y2(12) 设L是柱面方程xy1与平面zxy的交线，从z轴正向往z轴负向看去

2y2dz ． 为逆时针方向，则曲线积分xzdxxdyL2

(13) 若二次曲面的方程x3yz2axy2xz2yz4，经过正交变换化为

222y124z124，则a ．

(14) 设二维随机变量

X,Y服从正态分布N,;2,2;0，则

EXY2= ．

三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出．．．文字说明、证明过程或演算步骤． (15)(本题满分10分)

ln(1x)ex1)． 求极限lim(x0x

(16)(本题满分9分)

设函数zf(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x112z处取得极值g(1)1，求

xy

(17)(本题满分10分)

．

x1y1求方程karctanxx0不同实根的个数，其中k为参数．

(18)(本题满分10分)

(Ⅰ)证明：对任意的正整数n，都有(Ⅱ)设an1

111ln(1) 成立． n1nn121lnn(n1,2,)，证明数列an收敛． n

(19)(本题满分11分)

已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)0，f(x,1)0，

f(x,y)dxdya，其中D(x,y)|0x1,0y1，

D计算二重积分I''xyfxy(x,y)dxdy． D

(20)(本题满分11分)

TTTT设向量组1(1,0,1)，2(0,1,1)，3(1,3,5)，不能由向量组1(1,1,1)，

2(1,2,3)T，3(3,4,a)T线性表示．

(I) 求a的值；

(II) 将1,2,3由1,2,3线性表示．

(21)(本题满分11分)

1111A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，即rA2，且A0000．

1111(I) 求A的特征值与特征向量；

(II) 求矩阵A． (22)(本题满分11分)

设随机变量X与Y的概率分布分别为

X P

0 1/3 1 2/3 1 Y P 0 1 1/31/3 1/3

且PX2Y21．

(I) 求二维随机变量(X,Y)的概率分布； (II) 求ZXY的概率分布； (III) 求X与Y的相关系数XY．

（23）（本题满分 11分） 设X1,X2,,Xn为来自正态总体N(0,2)的简单随机样本，其中0已知，20未

知．X和S2分别表示样本均值和样本方差．

(I) 求参数的最大似然估计量； (II) 计算E()和D()．

22222012年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

x2x（1）曲线y2渐近线的条数为（）

x1（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

（2）设函数f(x)(ex1)(e2x2)(enxn)，其中n为正整数，则f'(0) （A）(1)n1(n1)! （B）(1)n(n1)! （C）(1)n1n! （D）(1)nn! （3）如果f(x,y)在0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ）

（A）若极限limx0y0f(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微 xyf(x,y)存在，则f(x,y)在(0,0)处可微 22xyf(x,y)存在 xyf(x,y)存在 22xy（B）若极限limx0y0（C）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limx0y0（D）若f(x,y)在(0,0)处可微，则极限limx0y0（4）设Ikeekx2

sinxdx(k=1,2,3),则有D

（A）I1< I2 (C) I1< I3 (B) I2< I2< I3.

(D) I1< I2< I3.

0011其中c,c,c,c为任意常数，（5）设10,1,1,12342341cccc1234则下列向量组线性相关的是（ ）

（A）1,2,3 （B）1,2,4 （C）1,3,4 （D）2,3,4

1，（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P1AP12P1,2,3，Q12,2,3则Q1AQ（ ）

11（A）（B）2112 22（C） （D）1221

（7）设随机变量x与y相互，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则pxy（）

(A)15 (B)12 (C)35 (D)45

（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）(A)1(B)12(C)1(D)1 2二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题．．纸指定位置上. ．

（9）若函数f(x)满足方程f''(x)f'(x)2f(x)0及f'(x)f(x)2ex，则

f(x)=________。

（10）0x2xx2dx ________。 （11）gradxyyz(2,1,1)2 ________。

（12）设x,y,zxyz1,x0,y0,z0,则y2ds________。

（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵ExxT的秩为________。

（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，P(AB),P(C),则

P(ABC)________。

1213三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.．．．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

1xx2cosx1,1x1证明：xln1x2

（16）（本题满分10分）

x2y2求fx,yxe的极值。

2

（17）（本题满分10分） 求幂级数n04n24n32n

x的收敛域及和函数

2n1

（18）（本题满分10分） 已知曲线

，其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)0，f(t)00t。若曲线

2L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。

（19）（本题满分10分）

已知L是第一象限中从点0,0沿圆周x2y22x到点2,0，再沿圆周

x2y24到点0,2的曲线段，计算曲线积分J=3x2ydxx2x2ydy。

L

（20）（本题满分10分）

10设A0aa0011a01，b

001a0010

（Ⅰ）求A

（Ⅱ）已知线性方程组Axb有无穷多解，求a，并求Axb的通解。

101，T为矩阵的转置，（21）（本题满分10分）三阶矩阵A011AA10a已知r(ATA)2，且二次型fxTATAx。

1）求a 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。

（22）（本题满分10分）

已知随机变量X,Y以及XY的分布律如下表所示， X P 0 1/2 1 1/3 2 1/6

Y P 0 1/3 1 1/3 2 1/3

XY P 0 7/12 1 1/3 2 0 4 1/12

求：(1)PX2Y； (2)covXY,Y与XY.

（23）（本题满分11分）

设随机变量X与Y相互且分别服从正态分布N,2与

N,22，其中是未知参数且0,设ZXY,

(1) 求z的概率密度fz,2；

(2) 设z1,z2,zn为来自总体Z的简单随机样本，求2的最大似然估计量

；

2(3) 证明为2的无偏估计量。

2013硕士研究生入学考试

数学一

xarctanxc，其中k，c为常数，且c0，则（ ） kx1111A. k2,c B. k2,c C. k3,c D. k3,c

223321.已知极限limx02.曲面x2cos(xy)yzx0在点(0,1,1)处的切平面方程为（ ） A. xyz2 B. xyz0 C. x2yz3 D. xyz0

113.设f(x)x，bn20f(x)sinnxdx(n1,2,)，令S(x)bnsinnx，

n12则S()（ ） A . B.

34113 C.  D.  444944.设L1:x2y21，L2:x2y22，L3:x22y22，L4:2x2y22为四条

y3x3逆时针方向的平面曲线，记Ii(y)dx(2x)dy(i1,2,3,4)，则

63LimaxI1,I2,I3,I4

A. I1 B. I2 C. I3 D I4 5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

1a1200aba0b06.矩阵与相似的充分必要条件为（ ） 1a1000A. a0,b2 B. a0,b 为任意常数 C. a2,b0 D. a2,b 为任意常数 7.设X1,X2,X3是随机变量，且X1N(0,1)，X2P,2,3)，则（ ） iP2Xi2(i1N(0,22)，X3N(5,32)，

A. P1P2P3 B. P2P1P3 C. P3P2P2 DP1P3P2

8.设随机变量Xt(n),YF(1,n)，给定a(0a0.5)，常数c满足

PXca，则

PYc2( )

9.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定，则limn[f()1]＝ 。 n010.已知y1=e3x –xe2x，y2=ex –xe2x，y3= –xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y= 。

xsintd2y11.设(t为参数)，则2 。

dxtytsintcost41n

12.1lnxdx 。 2(1x)13.设A=(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝ 。

14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}= 三．解答题：

（15）（本题满分10分） 计算0

(16)(本题10分)

设数列｛an｝满足条件：a03,a1＝1，an2n(n1)an＝0(n2).S（x）是幂级数

1f(x)xdx，其中f(x)＝x1ln(t1)dt. tax的和函数.

nnn0（1）证明：S(x)S(x)0; （2）求S(x)的表达式.

（17）（本题满分10分）

x3xy求函数f(x,y)(y)e的极值.

3

(18)(本题满分10分)

设奇函数f(x)在1,1上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： （I）存在（0,1），使得f()1.

）（Ⅱ）存在（1,1），使得f()f（1.

19.(本题满分10分)

设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面z0,z2所围成的立体为。 （1） 求曲面的方程； （2） 求的形心坐标。

20.（本题满分11分） 设A1a01,B当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,，101b并求所有矩阵C。

21.（本题满分11分）

a1a设二次型f(x1,x2,x3)2(a1x1a2x2a3x3)2(b1x1b2x2b3x3)2，记2，a3

b1b2。 b3（1） 证明二次型f对应的矩阵为2TT；

（2） 若,正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为

22y12y2。

22.（本题满分11分）

12x,0x3,设随机变量X的概率密度为f(x)令随机变量a其他0,x1,2,Yx,1x2, 1,x2（1） 求Y的分布函数； （2） 求概率PXY.

23.(本题满分11分)

23ex,x0,设总体X的概率密度为f(x;)x其中为未知参数且大

0,其他于零，X1,X2，,Xn为来自总体X的简单随机样本。 （1） 求的矩估计量； （2） 求的最大似然估计量。

2014硕士研究生入学考试 数学一

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

１．下列曲线有渐近线的是（ ）

（A）yxsinx （B）yx2sinx （C）yxsin

2．设函数f(x)具有二阶导数，g(x)f(0)(1x)f(1)x，则在[0,1]上（ ） （A）当f'(x)0时，f(x)g(x) （B）当f'(x)0时，f(x)g(x) （C）当f(x)0时，f(x)g(x) （D）当f(x)0时，f(x)g(x)

3．设f(x)是连续函数，则（A）

11 （D）yx2sin xxdy011y1y2f(x,y)dy（ ）

dx011x101x1f(x,y)dydx10101x200f(x,y)dy f(x,y)dy

1cossin0（B）dx00（C）（D）

f(x,y)dydx1x2220dd1cossin0f(rcos,rsin)drdf(rcos,rsin)rdrd2f(rcos,rsin)dr f(rcos,rsin)rdr

201cossin01cossin0

4．若函数

(xa1cosxb1sinx)2dxmin(xacosxbsinx)2dx，则

a,bRa1cosxb1sinx（ ）

（A）2sinx （B）2cosx （C）2sinx （D）2cosx

0a5．行列式a00cc0b0d0b等于（ ） 00d（A）(adbc)2 （B）(adbc)2 （C）a2d2b2c2 （D）a2d2b2c2

6．设1,2,3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量1k3，2l3线性无关是向量1,2,3线性无关的（ ）

（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）非充分非必要条件

7．设事件A，B想到，P(B)0.5,P(AB)0.3则P(BA)（ ）

（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4

8．设连续型随机变量X1,X2相互，且方差均存在，X1,X2的概率密度分别为随机变量Y1的概率密度为fY(y)1(f1(y)f2(y))，随机变量Y21(X1X2)，f1(x),f2(x)，122则（ ）

（A）EY1EY2,DY1DY2 （B）EY1EY2,DY1DY2 （C）EY1EY2,DY1DY2 （D）EY1EY2,DY1DY2

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．曲面zx2(1siny)y2(1sinx)在点(1,0,1)处的切平面方程为 ．

10．设f(x)为周期为4的可导奇函数，且f'(x)2(x1),x0,2，则

f(7) ．

11．微分方程xy'y(lnxlny)0满足y(1)e的解为 ．

12．设L是柱面x2y21和平面yz0的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分zdxydz ．

L3213．设二次型f(x1,x2,x3)x12x22ax1x34x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围

是 ．

2x,x2，214．设总体X的概率密度为f(x,)其中是未知参数，X1,X2,,Xn30,其它是来自总体的简单样本，若CXi2是的无偏估计，则常数C= ．

i1n2三、解答题

15．（本题满分10分） 求极限lim1tx1(t(e1)t)dtx2ln(11)x2．

x

16．（本题满分10分）

设函数yf(x)由方程yxyxy60确定，求f(x)的极值． 17．（本题满分10分）

22z设函数f(u)具有二阶连续导数，zf(ecosy)满足2z(4zexcosy)e2x．若2xy322xf(0)0,f'(0)0，求f(u)的表达式．

18．（本题满分10分） 设

曲

面

3:zx2y2(z1)3的上侧，计算曲面积分：

(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy

（1） 证明liman0；

n（2） 证明级数

an收敛． bn1n

19．（本题满分10分） 设数列an,bn满足0an 20．（本题满分11分）

2,0bn2，cosanancosbn且级数bn收敛．

n11234设A0111，E为三阶单位矩阵．

1203（3） 求方程组AX0的一个基础解系；

（4） 求满足ABE的所有矩阵． 21．（本题满分11分）

1证明n阶矩阵111100111与002相似．

1100n

22．（本题满分11分）

设随机变量X的分布为P(X1)P(X2)均匀分布U(0,i),i1,2． （5） 求Y的分布函数； （6） 求期望E(Y). 23．（本题满分11分）

x设总体X的分布函数为F(x,)1e,x0，其中为未知的大于零的参数，x00,21，在给定Xi的条件下，随机变量Y服从2X1,X2,,Xn是来自总体的简单随机样本，

（1）求E(X),E(X2)；（2）求的极大似然估计量．

^（3）是否存在常数a，使得对任意的0，都有limPna0． n

2015年考研数学一真题完整版

一、选择题

（1）设函数f(x)在连续，其2阶导函数f(x)的图形如下图所示，则曲线（-,+）yf(x)的拐点个数为（）

（A）0 （B）1 (C) 2 ( D) 3

11（2）设ye2xxex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybycex的一个特解，23则：

(A)a3,b1,c1.(B)a3,b2,c1.

(C)a3,b2,c1.(D)a3,b2,c1.

(3)若级数an条件收敛，则x3与x3依次为幂级数nanx1的：n1n1n(A)收敛点，收敛点.(B)收敛点，发散点.(C)发散点，收敛点.(D)发散点，发散点.（4）设D是第一象限中曲线2xy1,4xy1与直线yx,y3x围成的平面区域，函数

f(x,y)在D上连续，则f(x,y)dxdy

D（A）

34d1sin212sin2f(rcos,rsin)rdr（B）3d41sin212sin21sin212sin2f(rcos,rsin)rdr

(C)

34d1sin212sin2f(rcos,rsin)dr( D)

34df(rcos,rsin)dr

1111（5）设矩阵A12a，bd，若集合{1,2}，则线性方程组Axb有无14a2d2穷多个解的充分必要条件为

（A）a,d（B）a,d（C）a,d（D）a,d （6）设二次型f(x1,x2,x3)在正交变换xPy下的标准形为2y1y2y3，其中

222P(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换xQy下的标准形为

（A）2y1y2y3（B）2y1y2y3（C）2y1y2y3（D）2y1y2y3（7）若A,B为任意两个随机事件，则

（A）P(AB)P(A)P(B)（B）P(AB)P(A)P(B)

222222222222

（C）P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)（D）P(AB)

22(8)设随机变量X,Y不相关，且EX2,EY1,DX3,则EXXY2 (A)3(B)3(C)5(D)5

二、填空题 （9）

(（10）2-2sinxx)dx1cosxx

（11）若函数由方程exyz+xcosx2确定，则dz（12）设

(0,1).

是由平面xyz1与三个坐标平面所围成的空间区域，则

(x2y3z)dxdydz

20-120（13）n阶行列式000002222-12

（14）设二维随机变量服从正态分布，则. 三、解答题

（15）设函数f(x)xaln(1x)bxsinx，g(x)kx，若f(x)与g(x)在x0是

等价无穷小，求a，b，k值。

（16）设函数

3f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0I，曲线yf(x)在点

xx0及x轴所围成的区域的面积为4，且

(x0,f(x0))处的切线与直线

f(0)2,求f(x)

的表达式。

（17）已知函数f(x,y)xyxy，曲线C:xyxy3，求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数. （18）（本题满分10分）

（Ⅰ）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明

22[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)u(x)v(x)'

（Ⅱ）设函数u1(x),u2(x)...un(x)可导，求导公式.

f(x)u1(x)u2(x)...un(x),写出f(x)的

（19）（本题满分10分）

z2x2y2,已知曲线L的方程为起点为A(0,2,0)，终点为B(0,2,0)，计算曲

zx,线积分I

（20）（本题满分11分）

设向量组1,2,3是3维向量空间

3(yz)dx(zL2x2y)dy(x2y2)dz

的一个基，1212k3，222，

31(k1)3。

（Ⅰ）证明向量组1,2,3是

3的一个基；

（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基1,2,3与基1,2,3下的坐标相同，并求出所有的。

（21）（本题满分11分）

02-31-20设矩阵A-133相似于矩阵B0b0. 1-2a031（Ⅰ）求a,b的值.

（Ⅱ）求可逆矩阵P，使得P（22）（本题满分11分） 设随机变量X的概率密度为

1AP为对角阵.

2-xln2x0f(x)=x0 0对X进行重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y（Ⅰ）求Y的概率分布； （Ⅱ）求EY.

（23）（本题满分11分） 设总体X的概率密度为

为观测次数.

1f(x;)=10x1其他

其中为未知参数，X1，X2.....Xn为来自该总体的简单随机样本. （Ⅰ）求的矩估计. （Ⅱ）求的最大似然估计.

2016考研数学（一）真题完整版

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）若反常积分

a1x1xb0dx收敛，则（ ）

Aa1且b1Ba1且b1Ca1且ab1Da1且ab12x1,x1（2）已知函数fx，则fx的一个原函数是（ ）

lnx,x12x1,x1AFxxlnx1,x12x1,x1BFxxlnx11,x1

22x1,x1x1,x1CFxDFxxlnx11,x1xlnx11,x1

（3）若y1x221x2,y1x21x2是微分方程ypxyqx的两

2个解，则qx（ ）

A3x1x2B3x1x2Cx1x2Dx1x2

x,x0（4）已知函数fx111,x,n1,2,nnn1，则（ ）

（A）x0是fx的第一类间断点 （B）x0是fx的第二类间断点 （C）fx在x0处连续但不可导 （D）fx在x0处可导 （5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ） （A）A与B相似 （B）A与B相似 （C）AA与BB相似 （D）AA与BB相似

（6）设二次型fx1,x2,x3x12x22x324x1x24x1x34x2x3，则fx1,x2,x32在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）

（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （C）柱面

（7）设随机变量X~N,TT11TT1120，记pPX，则（ ）

2（A）p随着的增加而增加 （B）p随着的增加而增加 （C）p随着的增加而减少 （D）p随着的增加而减少 （8）随机试验E有三种两两不相容的结果A1,A2,A3，且三种结果发生的概率均为

1，将3试验E重复做2次，X表示2次试验中结果A1发生的次数，Y表示2次试验中结果A2发生的次数，则X与Y的相关系数为（ ）

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

tln1tsintdt__________（9）lim0x0x1cosx2

（10）向量场Ax,y,zxyzixyjzk的旋度rotA_________

（11）设函数fu,v可微，zzx,y由方程x1zyxfxz,y确定，则

22dz0,1_________

（12）设函数fxarctanxx，且f''01，则a________ 21ax1001（13）行列式

004320011____________.

（14）设x1,x2,...,xn为来自总体N,的简单随机样本，样本均值x9.5，参数的

2置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）已知平面区域Dr,2r21cos,2，计

2算二重积分

xdxdy.

D'''（16）（本题满分10分）设函数y(x)满足方程y2yky0,其中0k1.

证明：反常积分0y(x)dx收敛； 若y(0)1,y(0)1,求0'y(x)dx的值.

（17）（本题满分10分）设函数f(x,y)满足

f(x,y)(2x1)e2xy,且f(0,y)y1,Ltx是从点(0,0)到点(1,t)的光滑曲线，计算曲线积分I(t)Ltf(x,y)f(x,y)dxdy，并xy求I(t)的最小值

（18）设有界区域由平面2xy2z2与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分Ix21dydz2ydzdx3zdxdy

（19）（本题满分10分）已知函数f(x)可导，且f(0)1，0f'(x)足xn1f(xn)(n1,2...)，证明： （I）级数

1，设数列xn满2(xn1n1xn)绝对收敛；

（II）limxn存在，且0limxn2.

nn1112a1,B（20）（本题满分11分）设矩阵A2111aa1当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？

2a 2

011（21）（本题满分11分）已知矩阵A230

000（I）求A

（II）设3阶矩阵B(,2,3)满足BBA，记B示为1,2,3的线性组合。

（22）（本题满分11分）设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布，令

210099(1,2,3)将1,2,3分别表

x,y0x1,x2yx1,XY U0,XY（I）写出(X,Y)的概率密度；

（II）问U与X是否相互？并说明理由； （III）求ZUX的分布函数F(z).

3x2,0x为未知参数，（23）设总体X的概率密度为fx,3，其中0，0,其他X1,X2,X3为来自总体X的简单随机样本，令TmaxX1,X2,X3。

（1）求T的概率密度

（2）确定a，使得aT为的无偏估计

2017年考研数学一真题及答案解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

1cosx,x0（1）若函数f(x)在x0处连续，则（ ） axb,x0

12(C)ab0(A)abBabDab212

'（2）设函数f(x)可导，且f(x)f(x)0，则（ ）

(A)f(1)f(1)(C)f(1)f(1)

Bf(1)f(1)Df(1)f(1)22

（3）函数f(x,y,z)xyz在点(1,2,0)处沿向量u1,2,2的方向导数为（ ）

(A)12(B)6(C)4(D)2

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线vv1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线vv2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ）

v(m/s)1020051015202530t(s)

(A)t010(B)15t020(C)t025(D)t025

（5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ ）

(A)ET不可逆(C)E2不可逆

TBET不可逆DE2T不可逆

200210100（6）设矩阵A021,B020,C020,则（ ） 001001002BA与C相似,B与C不相似

(C)A与C不相似,B与C相似DA与C不相似,B与C不相似(A)A与C相似,B与C相似

（7）设A,B为随机概率，若0P(A)1,0P(B)1，则P(AB)P(AB)的充分必要条件是（ ）

(A)P(BA)P(BA)(C)P(BA)P(BA)(B)P(BA)P(BA)(D)P(BA)P(BA)

1n（8）设X1,X2Xn(n2)为来自总体N(,1)的简单随机样本，记XXi，则下

ni1列结论中不正确的是（ ）

(A)(Xi)2服从2分布i1nnB2(XnX1)2服从2分布

(C)(XiX)2服从2分布i1Dn(X)2服从2分布

二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9) 已知函数f(x)1(3)f(0)=__________ ，则21x'''(10) 微分方程y2y3y0的通解为y_________

(11) 若曲线积分

xdxaydy22在区域D(x,y)|xy1内与路径无关，则 Lx2y21a__________

(12) 幂级数

(1)n1n1nxn1在区间(1,1)内的和函数S(x)________

101（13）设矩阵A112，1,2,3为线性无关的3维列向量组，则向量组

011A1,A2,A3的秩为_________

（14）设随机变量X的分布函数为F(x)0.5(x)0.5(x4)，其中(x)为标准正态2分布函数，则EX_________

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．

证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

dy设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，yf(e,cosx)，求

dxxd2y2

x0，dx

x0

（16）（本题满分10分）求lim

（17）（本题满分10分）

33已知函数y(x)由方程xy3x3y20确定，求y(x)的极值

kkln12nnn k1n

（18）（本题满分10分）

设函数f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)0,limx0f(x)0，证明： x()方程f(x)0在区间(0,1)内至少存在一个实根；

()方程f(x)f'(x)(f'(x))20在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。

（19）（本题满分10分）

设薄片型物体S是圆锥面z为

其上任一点的密度x2y2被柱面z22x割下的有限部分，

9x2y2z2。记圆锥面与柱面的交线为C

()求C在xOy平面上的投影曲线的方程；

()求S的M质量。

（20）（本题满分11分）设3阶矩阵A1,2,3有

3个不同的特征值，且

3122。 ()证明 r(A)2；

()若123，求方程组Ax的通解。

222（21）（本题满分11分）设二次型f(x1,x2,x3)2x1x2ax32x1x28x1x32x2x3

22在正交变换XQY下的标准型1y12y2，求a的值及一个正交矩阵Q

（22）（本题满分11分）设随机变量X,Y相互，且

X的概率分布为

P(X0)P(X2)2y，0y11，Y的概率密度为f(y) 20,其他()求P(YEY)

()求ZXY的概率密度。

（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果X1,X2Xn相互且均服从正态分

2布N(,)。该工程师记录的是n次测量的绝对误差ZiXi(i1,2,n)，利用

Z1,Z2Zn估计。

()求Zi的概率密度；

()利用一阶矩求的矩估计量