等效法在直流电路问题中的应用

林再发

（泉港一中，福建泉州 362111）

等效法就是解答某些物理问题时，在保证某种效果（特性或关系）相同的前提下，将研究对象或模型等进行变换，使隐含条件明朗化、抽象问题具体化、复杂问题简单化，从而快捷求解的一种创造性思维方法，它在中学物理中应用广泛，如何运用等效法巧解直流电路问题呢？

1 等效电源

在讨论直流电路问题时，将某一部分具有两个出线端含有电源（ε、r）二端网络电路视为一个新的电源(εd、rd，），称之为等效电源．根据电源电动势和内电阻的概念，来用测电源电动势和内电阻的“实验方法”得出：

εd为等效电源的外电路开路时的路端电压

rd为等效电源二端除源（将电动势短路而保留电源内阻）网络的总电阻 如，常见的图1（a）、（b）两电路虚线框内等效电源的电动势和内电阻分别为εa=ε， ra=r+R和εb=

RR

ε，rb= r．运用等效电R+rR+r

源法可以：

（1）讨论电阻消耗的最大功率

涉及电阻消耗的最大功率的习题，综合性强，数学要求高，变化较多．若用等效电源，ε

结合电源输出功率最大的条件（当R外= r时， P出max= ），则能收到化繁为简，化难为易

4r的功效．

［例 1］如图2所示，电源电动势ε0=10V，内阻r0= 2Ω，R1=8Ω，R2为变阻器，阻值可在0～12Ω间变化．调节R2，则R2所消耗的最大电功率为多少？ 解析：在调节R2的过程中，R2的有效阻值、流经R2的电流以及R2两端的电压均同时随之发生变化，导致了常规解法的复杂性．若将图2中虚线框内含源电路等效为一个新的电源（ε= R1R1

ε0=8V， r= r=1.6Ω），则问题迎刃而解：当 R2= r R1+r0R1+r00ε2

=1.6Ω时，R2消耗的功率最大，为 Pmax= =10 W．

4r

（2）讨论电压电流随电阻变化问题

［例2］五个定值电阻与滑线变用器和电源连接，如图3所示，当滑线变阻器的滑臂向上移动时流过各电阻的电流强度如何变化？

解析：首先依图可知滑线变阻器的滑臂向上移动时，滑线变阻器接人电路部分的电阻减小，因而电路的总外电阻R

2

1

也减小，于是由闭合电路欧姆定律I=

ε

可知电路总电流增大，又由U=ε－Ir可知路端电R+r

压减小，由电路可见流过R1的即为总电流，所以流过R1的电流必增大，然后把虚线l左方的电路看成一个等效电源，那么R2两端就成了该等效电源的路端电压了，由上述分析可知此电压减小，所以流过R2的电流也减小．接着再把虚线2左方的电路都看成一个等效电源，则流过R3的电流即为该等效电源的总电流，可知其必增大，依次同理可得出流过R4的电流减小，流过R5的电流增大． （3）讨论实验系统误差

在分析伏安法测电源电动势和内电阻实验的系统误差时．若从电压表的分流和电流表的分压人手分析实验电路的系统误差．既麻烦又不易看清其物理意义，如果运用等在电源进行分析．就可化难为易，事半功倍． ［例3］用如图4（a）所示的电路来测量电源的电动势和内电阻，根据所测数据画出的U—I图像如图4（b）中的a所示，若考虑电表内阻对电路的影响，其图像应为图（b）中的a、b、c、d中的哪一条？

解析：本实验实际被测量的电源为图4（a）中虚线下方所示的等效电源，则有r测= r+ RA＞r，ε测= ε．上述结果说明电动势的测量值等于准确值．由图4（b）可知，图线与

U轴的交点应和a线与U轴的交点重合，即应交于A点，故c线错误，又内电阻的测量值大于真实值，而图线的斜率的大小反映其内阻的大小，即由实验结果应得图线的斜率比a线大．因而可以推知，图像应如d线所示，应选d．

2 等效电阻

讨论电路问题时，把一段由几个电阻组成的电路看成一个电阻，称之为等效电阻．课本111

中串、并联电路总电阻公式：R串=R1+R2+„„， = + + „„，就是通过这种等效

R并R1R2

思想求得的，另外这种等效电阻思想也常用于讨论实验误差和简化计算过程．

［例4］如图5所示的电路为用伏安法测量电阻Rx阻值的电路图，采用电流表外接电路，试判断测量误差．

解析：由伏安法测电阻的原理Rx= U／I可知，本题被测电阻实为图5中虚线所围部分电路的等效电阻，即实验的测量值不是Rx，而是Rx与RV（电压表内阻）并联的阻值．故R测＝RxRV／

(Rx+RV）．从上式可得R测＜Rx，即测量值比真实值偏小． 测量的绝对误差为：（Rx－R测）=Rx2／(Rx+RV），相对误差为：（Rx－R

测

）／Rx= Rx／

(Rx+RV）．

由上述结果可知，RV比Rx越大，误差越小．即当Rx比较小时，用电流表的外接法测量电阻值，测量误差仅与电压表的内阻大小有关，而与电流表的内阻无关．

2

［例5］（1999年上海高考第15题）图6所示电路由 8个不同的电阻组成，已知Rl＝12Ω，其余电阻阻值未知，测得A、B间的总电阻为4Ω．今将Rl换成6Ω的电阻，则A、B间的总电阻变为 Ω． 解析：由于除已知电阻Rl以外的7个电阻值均未知，而且这部分电路的结构也较为复杂，给问题的解答带来了一定的复杂性．但如果将AB间除Rl以外的其它7个电阻组成的电路等效为一个电阻Rd，这问题就变得易于解决了． 12Rd 当Rl=12Ω，由 = 4Ω，解得：Rd＝6Ω．

12+Rd 所以当R1换为6Ω时，RAB=

R1Rd =3Ω． R1+Rd

3 等效电路结构

将复杂电路经过整理后，简化为串并联关系比较明显的简单电路，以便进行讨论计算，称之为等效电路．

［例6］（1998年高考物理试卷第11题）图7所示的甲乙两种电路中，电源相同，各电阻阻值相等，各电流表内阻相等且不可忽略不计，电流表A1、A2、A3和A4读出的电流值分别为I1、I2、I3和I4，下列关系式中正确的是

A．I1=I3． B．I1＜I4． C．I2=2I1． D．I2＜I3+I4．

解析：本题综合性较强，能力要求较高，虽然解法甚多，但一般的计算方法都较为繁琐，数学能力要求较高且耗时多，倘若借助对题述情景的深刻理解，利用等效思维化陌生为熟悉的图8所示的电路，直观明了，事半功倍．

图8电路中，总阻值为R+RA的滑动受阻器RABC（其中AB、BC部分的阻值分别为RA

和R）作为分压器接在电源两端．显然，当其滑动触头在A端时，此电路相当于电路乙，电流表A的示数为I3（等于I4），干路电流为I3＋I4；当其滑动触头由A端移至B点时，此电路相当于电路甲，图中电流表的示数为I1，干路电流为I2．鉴于滑动触头由A移至B时，分压器的输出电压逐渐减小，电源的外电阻逐渐增大，据欧姆定律知：I1＜I3＝I4，I2＜I3+I4，因此选项A错，B和D正确；再由并联电路的分流特点知，选项C亦是错误，故本题答案为B、D．

灵活运用等效方法解电路问题，不仅可以简化解题过程，提高解题能力，还可使思维发散，扩展原有公式的应用范围，培养创造性思维．

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