找规律及定义新运算

找规律及定义新运算

板块一、找规律

模块一、代数中的找规律

【例1】 ⑴点A1、A2 、A3 、…、 An（n为正整数）都在数轴上．点A1在原点O的左边，且AO1；点A21在点A1的右边，且A2A12；点A3在点A2的左边，且A3A23；点A4在点A3的右边，且A4A34；……，

依照上述规律，点A2008、A2009所表示的数分别为（ ）．

A．2008、2009 B．2008、2009 C．1004、1005 D．1004、1004

⑵如图，点A、B对应的数是a、b，点A在3、2对应的两点（包括这两点）之间移动，点B在1、

． 0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（ ）

-3a-2-1b0A．ba B．

111 C． D．(ab)2 baab

b2b5b8b11【巩固】 ⑴（2008中考）一组按规律排列的式子：，2，3，4，…(ab0)，其中第7个式子

aaaa是 ，第n个式子是 (n为正整数)．

⑵（2008年中考）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管.

① ② ③

【例2】 ⑴（2010年中考）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D。请你按图中箭头所指方

向(即ABCDCBABC...的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 (用含n的代数式表示)。

B C D A ⑵（2010中考）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90，然后在桌面上按逆时针方向旋转90，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）

.

.

向右翻滚90° 逆时针旋转90° 图1 图2

A．6 B．5 C．3 D．2

⑶（2010中考）观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算181624...8n（n是正整数）的结果为（ ）

……

1+8=?

1+8+16=?

1+8+16+24=?

A．(2n1)2 B．(2n1)2 C．(n2)2 D．n2

【巩固】 ⑴观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图1中：共有1 个小立方体，其中1个

看得见，0个看不见；如图2中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图3中：共

有27个小立方体，其中有19个看得见，8个看不见；……，则第6个图中，看不见的小立方体有 个．

图1图2图3

⑵（2010日照中考）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，，，3610，...，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，，，4916，...，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

A．15 B．25 C．55 D．1225

⑶（2010）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，

摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子．

.

.

…

⑷（2010中考）下面两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下方法得到的：将第一位数

字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的。当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ）

A．495 B．497 C．501 D．503

112123123412345【巩固】 观察按下列规则排成的一列数：，，，，，，，，，，，，，，，

32154321121321412，…在式子中，从左起第m个数记为F(m)，当F(m)时，求m的值和这m个数的积. 62001

【例3】 观察下面的变形规律：

111111111，，... 12223233434解答下面的问题：

1⑴若n为正整数，请你猜想 ；

nn1⑵证明你猜想的结论； ⑶求和：

1111. ...12233420092010

【巩固】 阅读下列材料：

.

.

112123012，

3123234123，

3134345234，

3由以上三个等式相加，可得

112233434520。

3读完以上材料，请你计算下列各题：

⑴122334...1011（写出过程）； ⑵122334...nn1_________； ⑶123234345...789_________。

【巩固】 已知：C32计算C1063254365433，C5310，C6415，...观察上面的计算过程，寻找规律并121231234 ．

【例4】 现有一列数a1，a2，a3，…，a98，a99，a100，其中a39，a77，a981，且满足任意相邻三个

数的和为常数，则a1a2a3La99a100的值为( )． A．0 B．40 C．32 D．26

【巩固】 如果一个序列{ai}满足a12，an1an2n(n为自然数)，求a100的值.

【例5】 右图是中国古代著名的“辉三角形”的示意图，根据图中所示规律，前n横行的数字和为 ．

11111154103610234511111

132332，13233362，13233343102，...，想一想：等式左边各个【巩固】 观察下列等式：1312，.

.

幂的底数与右边幂的底数有什么关系，并用等式表示出规律；再利用这一规律计算13233343...1003的值．

【例6】 在数轴上，点A和点B都在与15对应的点上，若点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B以4每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A和点B所处的位置对应的数是什么？这时线段AB的长度是多少？

【例7】 如图所示，数轴被折成90，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0， 2，3．先1，

让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2009将与圆周上的数字 重合．

98332014567

【巩固】 把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为3个单位长度，第3段为5个单位长度，…，

有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，，圆周为4个单位长度，圆所示位置为数轴原点，现开始紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动， 当圆与2009接触时，指针指向 （东、南、西、北）．

北

西东南

【巩固】 把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，……，

点O处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A接触时，指针指向 （东、南、西、北），当圆与2009接触时，指针指向 （东、南、西、北）．

北

西O-10东南A

.

.

【巩固】 如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2006将与圆周上的数字 重合．

-5-4-3-22-10310

【巩固】 如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆周长为3个单位长度，且在圆周的三等分

点处分别标上了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合．这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． ⑴ 圆周上的数字a与数轴上的数5对应，则a ；

⑵ 数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的

位置，这个整数是 （用含n的代数式表示）

0211430221302145002112332

【巩固】 如图所示，一数轴被折围成长为3，宽为2的长方形，圆的周长为4且圆上刻一指针，若在数轴固定

的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与7接触的时候，指针的方向是（ ）

7-10126543ABCD

【巩固】 如图，用数轴绕圆O三圈，圆周上的点B与数轴上表示6.9、0.9、5.1的点重合，数轴上与点A重

合的点所对应的数最接近是（ ）

BOA

A．2.3 B．1.9 C．2.7 D．6.2

【例8】 研究下面的一列数：1，3，5，7，9，11，13，…，照此规律，请你用表达式表示出第n个

数.

.

.

【例9】 右图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…．若从

O点到A1点的回形线为第1圈(长为7)，从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为 ．

ABA3A2A1O

【例10】 如果an1少？

【例11】 一根拉直的绳子从中剪一刀被分成2段，要把一根拉直的绳子分成n1段，需n刀，这就是说线段

上n个点将线段分成n1段，但是将一根绳子对折以后再从中剪一刀，绳子变成了3段；将一根绳子对折两次后再从中剪一刀，绳子变成5段，试问：

（1）将一根绳子对折4次后，从中剪一刀，绳子变成几段？ （2）将一根绳子对折2003次后，从中剪一刀，绳子变成几段？

（3）能否将一根绳子对折若干次后，从中剪一刀，绳子变成2003段，如果能，求出对折的次数，

如果不能，请说明理由．

【巩固】 有依次排列的3个数：3，9，8，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在

这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9，10，1，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？

【例12】 在一个正方形的四个顶点处，按逆时针方向各写了一个数：2，0，0，1．然后取各边中点，并在

.

111an(n1，2，3，…，2009)，那么，当a11时，a1a2a2a3aa2008a2009 的值是多

.

各中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值．这四个中点构成一个新的正方形，又在这个新的正方形四边中点处写上其所在边两个端点处的两个数的平均值．连续这样做到第10个正方形，则图上写出的所有数的和是 ．

【例13】 有A1、A2、A3三个舞蹈演员在舞台上跳舞，面对观众作队形变化，其变化规律是：

一个舞蹈演员A1跳舞，面对观众作队形变化的种数是A1为1种．

二个舞蹈演员A1、A2跳舞，面对观众作队形变化的种数是A1A2、A2A1为2种即12种． 三个舞蹈演员A1、A2、A3跳舞，面对观众作队形变化的种数是A1A2A3 、A1A3A2 、A2A1A3、A2A3A1、A3A1A2 、A3A2A1为6种即123种．

请你猜测：

⑴ 四个舞蹈演员A1、A2、A3 、A4跳舞，面对观众作队形变化的种数是 种．

⑵ 六个舞蹈演员A1、A2、A3 、…、A6跳舞，面对观众作队形变化的种数是 种．（用

科学记数法表示）

⑶ 用1、2、3、4、5、6、7共7个数字排列成7位数的．（在同一个

每个数字只能用一次）可能排成 个．

模块二、几何图形中的规律 【例14】 观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是一样的），请写出第n个图中最小的三角形的个数有 ．．．．

个．

第1个图 第2个图 第3个图 第4个图

【巩固】 图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2、图3是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的

规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）

A．25 B．66 C．91 D．120

图1

【巩固】 用大小相同的正六边形瓷砖按如图所示的方式来铺设广场，中间的正六边形瓷砖记为A，定义为第

图3图2.

.

一组，在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满 组，此时还剩余 块瓷砖．

【例15】 一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点

跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第n次跳动

后，该质点跳过的总距离为 ．

PA2A1PxP0A4A3PA

【巩固】 如右图，AOB45，过OA上到点O的距离分别为1，3，5，7，9，11，…，的点作OA 的垂

线与OB相交得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，…．观察图中的规律，

求出第10个黑色梯形的面积S10 ．

B S4 S2 S3 S1 0 1 3 5 7 9 11 13 L A

【巩固】 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，

第n（n是正整数）个图案中由 个基础图形组成．

……

(1)

(2)

(3)

【巩固】 假设有足够多的黑白围棋子，按照一定的规律排成一行，如图：

……

那么请问第2007个棋子是黑的还是白的？ 答： ．

.

.

【巩固】 探索图形规律，在数学活动课上，小红同学准备用两种不同颜色的布拼接一个正方形杯垫，杯垫的

图案设计如上图所示，最后应选择下图中的哪一个才能使其与上图拼接后符合图案的设计模式（ ）．

ABCD

【巩固】 观察下列图形：

图1图2图3图4根据图1、图2、图3的规律，图4中的三角形的个数为 ．

【例16】 如图摆放在地上的正方体的大小均相等，现在把露在外面的表面涂成红色，

第一层 第二层 第三层

从上向下数，每层正方体被涂成红色的面数分别为：

第一层：侧面个数上面个数1415； 第二层：侧面个数上面个数24311； 第三层：侧面个数上面个数34517； 第四层：侧面个数上面个数44723； …………

根据上述的计算方法，总结规律，并完成下列问题： ① 求第6层有多少个面被涂成了红色？

② 求第n层有多少个面被涂成了红色？（用含n的式子表示）

③ 若第m层有89个面被涂成红色，请你判断这是第几层？并说明理由．

.

.

【例17】 电子跳蚤游戏盘是如图所示的ABC，ABACBC6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，

BP02．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1CP0；第二步从P1跳到AB边

的P2（第2次落点）处，且AP2AP第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3BP2…；1；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为_________．

AP2P1BP0P3C

【例18】 图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，由

上而下分别叫第一层、第二层、…、第n层，第n层的小正方体的个数为s．解答下列问题：

图1 图2 图3 ⑴ 按照要求填表：

n

1 1 2 3 3 6 4 … … ⑵ 写出当n10时，s ．

s

【例19】 如下图，将一正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同

样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；

⑴ 填表：

.

.

剪的次数 1 2 正方形个数 4 7 3 4 5 ⑵ 如果剪了100次，共剪出多少个正方形？

⑶ 如果剪n次，共剪出多少个正方形？ ⑷ 观察图形，你还能得出什么规律？

【例20】 如图，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点（相邻两边公用

一个点）；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

… … … … … …

【例21】 图1是一个方阵图，每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加的和均相等．如果将方阵图

中的每个数都加上同一数，那么方阵图中每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数相加的和仍然相等，这样形成一个新的方阵图．根据图2、图3、图4中给出的数，对照原来的方阵图，你能完成图2、3、4的方阵图吗？

第n层1 2 3 4 0 4 3 2 1 图1

.

3 4 1

2

3

7

4

图2

图3

图4

.

【巩固】 “九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研

究这一神话．

① 现有1、2、3、4、5、6、7、8、9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得每行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等．每一列的三个数的和为多少？给出一种填法．

② 通过研究问题①，利用你发现的规律，将3、5、7、1、7、3、9、5、1，这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．

图1

n个数围成一圈，每次操作把其中某一个数换成这个数依次加上相邻的两个数后所得的和，或者换【例22】

成这个数依次减去与它相邻的两个数后所得的差．例如：

1 2

5 3＋2＋4=9 3

4 1

0

-2007

图2

1 2

5

9

4

2006 1 2

5

3

4

3-2-4=-3 -3 2

1

5 4

⑴ 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．

1000

3

⑵ 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．

6

26 2006 2

0

6

0

⑶ 能否通过若干次操作完成下图中的变换？请说明理由．

206 .

.

1 2

5

3

4

5 3

1

9 7

版块二、定义新运算

【例23】 我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相

互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：12302212112011．按此方式，则将

十进制数6换算成二进制数应为 ．

【巩固】 计算机在进行数学运算时采用的是二进制，二进制的所有数都用字符0和1的组合表示，二进制数与

十进制数的对应关系如下表

十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

二进制 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 二进制数的加法逢二进一，如：

101，1110，10010，10111，11011，……． ① 观察上表，十进制的10怎么表示？ ② 二进制的两个数相加：1011____．

③ 若十进制数3与二进制数x的和为二进制数111，即3x111，求二进制数x．

【例24】 读一读：式子“12345L100”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比

较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345L100”表示为n，这

n1100里“”是求和符号．

（2n1）例如：13579L99，即从1开始的100以的连续奇数的和，可表示为；

n150又如12345678910可表示为n3．

3333333333n110.

.

通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．

⑴246810L100(即从2开始的100以的连续偶数的和)用求和符合可表示为 ． ⑵计算（n21） ．(填写最后的计算结果)

n15

【巩固】 我们常用的数是十进制数，如46574103610251017100，数要用10个数码（又叫数字）：

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如

二进制中110122121020等于十进制的数6，110101125124023122021

120等于十进制的数53．那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？

【例25】 （4级）(第20届希望杯培训试题)若用汉字的四角作为密码来传送“希望杯”这三个字，即是

“402207104199”．现在改换成新的密码，规则是：原码千位、十位不变，将百位、个位分别变成关于9的补码，即0变成9；1变成8；2变成7；……．则“希望杯”这三个字的新密码是 ．

【巩固】 在密码学中，你直接可以看到的容为明文(真实文)，对明文进行某种处理后得到的容为密文，现有一

种密码把英文的明文单词按字母分解，其中英文的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，……26这26个自然数，见以下表格：

g a c e m j f i b h k d l 1 n 14 给

2 o 15 3 p 16 4 q 17 5 r 18 6 s 19 7 t 8 u 9 v 10 w 11 x 24 12 y 25 13 z 20 21 22 23 26 现出

x1x；若x能被2整除，则x'13

22 将明文字母对应的数字x按以上公式计算得到密文字母对应的数字x'，比如明文字母为g，则有 一个公式：当1x26时，若x不能被2整除，则x'714d，所以明文字母g对应的密文字母为d. 2 ⑴按照上述规定，将明文good译成的密文是什么？写出你的计算过程； ⑵按照上述规定，请你写出由密文字母x'得到明文字母x的公式；

⑶按照⑵中得到的公式，密文gawqj所代表的明文单词是什么？(直接写出结果)

g7.

.

【例26】 有一个运算程序，可以使：abn(n为常数)时，得(a1)bn1,a(b1)n2．现在已知

112，那么20082008 ．

【巩固】 我国古代先贤用一种绝妙而形象的二进制计数符号来表示万事万物，即用“—”表示“1”，用“- -”

表示“0”；亦用“么“

3xa【例27】 对于数x，符号x表示不超过x的最大整数．若关于x的方程4有正整数解，则a的取值

3围为 ．

3x74【巩固】 对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数．例如[3.14]=3，则满足关系式[7.59]8，7的x的整数值有( ) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

【巩固】 新知识一般有两类：第一类是一般不依赖其他知识的新知识，如“数”，“字母表示数”这样的初始性知

识，第二类是在某些旧知识的基础上联系，拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样一类。 （1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？

（2）在多项式乘以多项式之前，我们学习了哪些有关知识？（写出三条即可）

（3）请用你已有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式法则如何获得的？

（用abcd来说明）

”表示“1”，即二进 进的“abc64”；用“”，“

”，“

”和“

”依次表示 ．

2”表示“6”，即二进帛的“110”．那

”，“”，“

课后练习

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1.

2.

3.

4.

观察右表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有 次．

100个数之和为1990，把第1个数减去1，第2个数加上2，第3个数减去3，…，第100个数加100，则所得新数之和为 ．

1111，再减去剩余数的，再减去剩余数的，……依次类推，一直到减去剩余数，2420013那么最后剩余的数是 ．

2001减去它的

用火柴棍像如图这样搭三角形：你能找出规律猜想出下列两个问题吗？我们可以发现搭1个图形需要3根火柴，搭2个图形需要5根火柴，……

⑴ 搭7个需要 根火柴棍．

⑵ 搭n个三角形需要 根火柴棍．

5.

观察下面的等式

224，224；

313134，34； 2222414145，45； 3333515156，56； 4444小明归纳上面各式得到一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”， 小明的猜想正确吗？为什么？

如果不正确，请你观察上面各式结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想．

6.

定义：a是不为1的有理数，我们把数是

.

11称为a的差倒数．如：2的差倒数是1，1的差倒

121a111．已知a1，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依次

1(1)23.

类推，则a2009 ．

7.

在密码学中,称直接可以看到的容为明码, 对明码进行某种处理后得到的容为密码．对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0至25．现有4 个字母构成的密码单词,记4个字母对应的数字分别为x1，x2，x3，x4，已知:整数x12x2，3x2，x32x4，3x4 除以26的余数分别为9，16，23，12，则密码的单词是___________．

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