【数学】抛物线

一 定义和性质

1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.

2．抛物线标准方程的四种形式：

焦点坐准线方图 形 标准方程 标 程 y22px(p＞0) p(,0)2 xp2 y22px(p＞0) (p,0)2 xp2 x22py(p＞0) p(0,)2 yp2 x22py(p＞0) p(0,)2 yp2

3．性质： （1）

p的几何意义：定点F到定直线l的距离记为P；

（2）范围、顶点坐标、对称轴、焦点、离心率、准线、焦半径等。

4．抛物线焦点弦的性质：设直线过焦点F与抛物线

y2px；

22p0相交于A

（x1,y1）,B（x2,y2）两点，则：

p2（1）x1x24（2）y1y2p； （3）通径长为2p； （4）焦半径公式

p|AF|=x02

（5）焦点弦长|AB|=x1+x2+p 。

二 应用

类型一．抛物线的定义的应用 例1（1）．点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程

***一动点到定直线x=3的距离是它到定点F（4，0）的距离的一半，求这个动点的轨迹方程。

（2）．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。

2

（3）．在抛物线y=2x上求一点P，使P到

焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.

（4）．设PQ为过抛物线的焦点F的弦，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上答案均有可能

类型二。求抛物线标准方程

例1．试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程。 （1）过点P（-3，2）；

（2）焦点在直线x－2y－4＝0

例2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴，其通径的两个端点与顶点的连线组成的三角形的面积是4，求抛物线的标准方程

“定量”和“定位”

(1) “定位”是指判断焦点在哪条坐标轴的哪条半轴上

（2）“定量”要求出抛物线的标准方程，就要求出P

类型三．抛物线的性质的应用 例1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上一点(－5，25)到焦点距离是6，则抛物线的方程是

A．y2＝－2x B．y2＝－4x C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x

例2、已知抛物线

y2px2p0，

过动点M（a，0）且斜率为1的直线与抛物线交于不同的两点A、B，

AB2p。

（1）求a的取值范围； （2） 若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB的面积的最大值。 例

1213、直线y2x与抛物线y8x4交于

A、

B两点，线段AB的垂直平分线与直线y5交于点Q。

（1）求点Q的坐标； （2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含点A、B）的动点时，求△PQO面积的最大值。

类型四．抛物线焦点弦的性质的应用： 设直线过焦点F与抛物线

y2pxp2（1）x1x242p0相交于A（x,y）,B

1

1

（x2,y2）两点，则：

；

2（2）y1y2p； （3）通径长为2p； （4）焦半径公式

p|AF|=x02

（5）焦点弦长|AB|=x1+x2+p 。

2

例1、斜率为1的直线经过抛物线y=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段

AB的长。

解：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为y=x－1. ①

将方程①代入抛物线方程y2=4x,得 （x－1）2=4x 化简得x2－6x＋1=0 设两交点坐标为A（x1,y1）、B(x2,y2), 于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1＋x2＋2=. 6+2=8.

2

例2．已知过抛物线y=4x的焦点F的弦AB被F分成长度为m、n的两部分，则

11m+n= .

例3．抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．

求证：(1)A、O、D三点共线，B、O、C三点共线；(2)FN⊥AB(F为抛物线的焦点)．

证明：(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)、

p中点M(x0，y0)，焦点F的坐标是(2，0)．

由

pyk(x)22y2px得ky2－2py－kp2＝0．

∴A、B、M在准线上的射影依次为C、D、

pppN，∴C(－2，y1)、D(－2，y2)、N(－2，y0)．

∵kOAy1yy2p12,kOD2px1y1y122p，

由ky2－2py－kp2＝0 得y1y2＝

kp2k＝－p2，

∴kOA＝kOD，∴A、O、D三点共线． 同理可证B、O、C三点共线． (2)kFN＝yp，当x1＝x2时，显然FN⊥AB；

0当x1≠x2时， kAB＝yxy1y2y12pp1222x1(y2y1)y1y2y02p2，

∴kFN·kAB＝－1．∴FN⊥AB 综上所述知FN⊥AB成立．

评注：注意“设而不求”方法在解题中的应用

例4．过抛物线的焦点F作不垂直于对称轴

的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于N，求证：｜AB｜＝2｜NF｜．

证明：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)．则y12＝2px1，y22＝2px2．

y两式相减并整理得yxx11222py1y2．

∵M是AB的中点，

y∴yxx11222pp2y0y0．

0∵MN⊥AB，∴kMN＝－yp．

∴直线MN的方程为y－y0＝－ (x－x0)，

令y＝0得N点的横坐标xN＝x0＋p． ∴|NF|xNy0pppx022．

又｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p

p＝2(x0＋2)． ∴｜AB｜＝2｜NF｜．