第２６卷第２期 Ｖｏ１．２６ Ｎｏ．２ 吕梁高等专科学校学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｖｌｉａｎｇ Ｈｉｇｈｅｒ Ｃｏｌｌｅｇｅ ２０１０年６月 Ｊｕｎ．２０１０ 比较复变函数与二元函数的分析性质 潘伟云 （吕梁学院离石师范分校，山西离石０３３０００） 摘要：设ｚ＝ ＋ｉｙ，Ｗ＝“＋ｉｖ，则Ｗ＝，（ｚ）１－．ｕ（ ，Ｙ）＋ｉｖ（ ，Ｙ），所以一个复变函数Ｗ＝ ）相当于定义两个二 元函数“＝ （ ， ）和 ＝ （ ，Ｙ），讨论一个复变函数的极限与连续性就相＂３于讨论两个二元函数的极限与连续性．－ 所以复变函数与二元函数在某些概念、结论上有一定的相似之处，因此有必要比较复变函数与二元函数的某些分析 性质． 关键词：复变函数；二元函数；极限；连续 中图分类号：０１３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００８—７８３４（２０１０）０２—０００４—０３ １ 问题的提出 对于复数有两种方法去研究，既可以直接去研究，也可以根据ｚ＝ ＋ｉｙ化为两个实数 ，Ｙ去研究．同样 对于复变函数也有类似的两种方法，既可以直接利用１，０＝，（引去研究，也可以通过 ＝ ＋ ｙ化为两个二元 函数ｕ（．Ｔｆ，Ｙ）和 （ ，Ｙ）去研究Ｗ＝ｕ（ ，Ｙ）＋ｉｖ（ ，Ｙ）．用箭头简述如下： Ｗ＝ ｚ） ２基本概念 Ｗ＝Ｍ（ ，Ｙ）＋ｉｖ（ ，Ｙ） 所以复变函数与二元函数在某些概念、结论方面有相似之处． 定义２．１… 设复变函数Ｗ＝ ｚ）定义在 的去心邻域０＜ｌ 一 。ｌ＜Ｐ，若有一确定的数Ａ存在，对 于任给的 ＞０，恒有一正数６（ ），使得当０＜ｌ 一Ｚ０ Ｉ＜６时，有Ｉ 于 时的极限，记作ｌｉｍｆ（ｚ）＝Ａ或 ）一Ａ（ｚ—Ｚ０）． ｚ— ０ ）一Ａ Ｉ＜占，则称Ａ为－厂（ｚ）当 趋向 注：复变函数Ｗ＝－厂（ ）当ｚ一 的极限与实变函数Ｙ＝，（ ）当 — 。的极限在形式上与叙述方法上几 乎一致，但要求却不大相同． 对极限ｈｍｆ（ ）而言， 只能在 轴上取值， — 。只能在 轴上从左边，右边或同时从左右两边趋近于 ０ ‰，而对极限ｌｉｍｆ（ ）来说， 在复平面上取值， 一 可以从任意方向，以任意方式发生，所以必须强调在ｚ一 ：— ０ ｚ 的任意方式下极限的唯一性，因而对函数的要求更高，更严格． 但是两个极限的几何意义是完全相同的，即只要。（或 ）进入Ｚ－。（或 。）的邻域，它的像点 ）（或 ）） 就进入 的 邻域，只是以圆形的６邻域代替了数轴上的 邻域，正因为如此 ｚ）与 ）有相同的极限运 算法则． 因为ｌｉｍｆ（￣）的存在要求在以任何方式趋向于 时，极限存在且唯一．因此，讨论极限时要考虑 一 的 方式，同时，又可以从两个二元函数“（ ，Ｙ）和 （ ，Ｙ）的极限来讨论． 定义２．２＿２ 设函数厂（Ｐ）在区域Ｄ内有定义，Ｐ。是Ｄ的聚点，若 Ａ Ｅ Ｒ，Ｖ占＞０， ＞０，Ｖｐ∈Ｄ， Ｐ— ０＜ｌ Ｐ—Ｐ。ｌ＜ ，有Ｉ Ｐ）一Ａ Ｉ＜ ，则称函数，（ｐ）（关于区域Ｄ）在点Ｐ０存在极限，极限是 ，表示为ｌｉｍｆ（ｐ） ＝Ａ． 收稿日期：２０１０－０１—２１ 作者简介：潘伟云（１９８２一），女，山西河津人，助教，研究方向为数学教学 ４ 如果 ｐ）是区域Ｄ上的二元函数，Ｐ，Ｐ。∈Ｄ，用坐标表示，即ｐ（ ，Ｙ），Ｐ。（ ，ｙ。），那么二元函数 ，Ｙ）在 点Ｐｏ（ ０，Ｙｏ）的极限是Ａ，就是Ｖ ＞０，了６＞０，Ｖ（ ，Ｙ）∈Ｄ，Ｉ — ０ ｌ＜６，Ｉ Ｙ—Ｙ０ Ｉ＜６，Ｊｔ（ｘ，Ｙ）≠（ ， ｙ０），有Ｉ ，Ｙ）一Ａ Ｉ＜占，可表示为ｌｉｍｆ（ ，ｙ）＝Ａ． ，设函数Ｉ厂（ ，Ｙ）在点Ｐ。（ 。，Ｙｏ）的去心邻域 （ｐ。）有定义，根据二元函数的极限定义，不难看到，若函数 Ｙ）在点Ｐ。（ 。，Ｙｏ）存在极限，设ｌｉｍｆ（ｘ，Ｙ）＝Ａ，则动点ｐ（ｘ，Ｙ）沿任意一条曲线无限趋近于点Ｐ。（ 。，Ｙｏ）， 二元函数Ｉ厂（ ，Ｙ）都存在极限，并且极限都是Ａ，反之，动点ｐ（ｘ，ｙ）沿着某两条不同的曲线无限趋近于点 Ｐ。（ 。，Ｙｏ），二元函数 ，Ｙ）有不同的“极限”，则二元函数 ，Ｙ）在点Ｐ。（ 。，），。）不存在极限． 定义２．３［３ 设复变函数Ｗ＝ ）在点集Ｅ上有定义， 为Ｅ的聚点，且Ｚｏ∈Ｅ，若ｌｉｍｆ（ｚ）＝Ｊｆ（Ｚｏ），即 对任给的 ＞０，有６＞０，只要ｌ —Ｚ０ Ｉ＜ ，ｚ∈Ｅ，就有ｌ ｚ）一 ｚ。）Ｉ＜ｓ，则称 ）在点集Ｅ上关于 连续． 定义２．４＿４ 设函数ｆ（ｐ）在区域Ｄ有定义，且Ｐ。∈Ｄ，若ｌｉｍｆ（ｐ）＝ｆ（Ｐ。），即Ｖ占＞０， ６＞０，Ｙｐ∈ Ｄ，Ｉ Ｐ—Ｐ。Ｉ＜６，（或Ｐ∈ｕ（ｐ。， ）有Ｉ ｆ（ｐ）一ｆ（ｐ。）ｌ＜ｓ，则称函数 Ｐ）在点Ｐ。连续． 若函数ｆ（ｐ）在点Ｐ。不连续，则称Ｐ。是函数ｆ（Ｐ）的间断点． 定义２．５｜５ 若函数ｆ（ｐ）在区域Ｄ任意点都连续，则称函数ｆ（ｐ）在区域Ｄ连续． 如果 ｐ）是区域Ｄ上的二元函数，Ｐ，Ｐ。∈Ｄ，￣ｐｐ（ｘ，ｙ），Ｐ。（ ，Ｙｏ），那么二元函数 ，Ｙ）在点Ｐ。（ 。，Ｙ。） 连续，即ｌｉ ，Ｙ）＝ ｏ，Ｙｏ），也就是Ｖ ＞０，］６＞０，Ｖ（ ，Ｙ）∈Ｄ，ｌ — ｏ Ｉ＜ ，Ｉ），一，，０ Ｉ＜６有Ｉ ， ｘ￣ｘ０ ｙ—，如ｙ）一厂（ ０，Ｙｏ）Ｉ＜占． ３ 基本结论 定理３．１ 设 ｚ）＝Ⅱ（ ，Ｙ）＋ｉｖ（ｘ，ｙ），Ａ＝Ｍｏ＋ｉｖｏ，ｚ０＝ ｏ＋ｉｙ０．￣ｌｉｍｆ（ｚ）＝Ａ的充要条件是ｌｉｍｕ（ ， ｙ）＝Ｍｏ，ｌｉｍｖ（ ，Ｙ）＝ ０． ； 即复变函数 ＝ ）＝ｕ（ｘ，Ｙ）＋ｉｖ（ｘ，Ｙ）的极限存在等价于其实部ｕ（ ，Ｙ）和虚部ｖ（ｘ，ｙ）的极限同时 存在． 定理３．２ 如果ｌｉｍｆ（ｚ）＝Ａ，ｌｉｍｇ（ｚ）＝Ｂ，则 （１）Ｊｉｍ［ｆ（ ）±ｇ（ｚ）］＝Ａ±Ｂ （２）ｌｉｍｆ（ｚ）ｇ（ｚ）＝ＡＢ （３）Ｊｉｍ＝一。 鲁 ≠０） 定理３．３ ｌｉｍｆ（ｐ）＝Ａ的充要条件是：对于Ｄ的任一子集Ｅ，只要Ｐ。是Ｅ的聚点，就有ｌｉｍｆ（ｐ）＝Ａ． 锄 定理３．４ 函数 ）＝ｕ（ ，Ｙ）＋ｉｖ（ ，Ｙ）在Ｚ０＝ ＋ 连续的充要条件是： （ ，ｙ）和ｖ（ｘ， ）在（ 。， Ｙｏ）连续，即复变函数Ｗ＝厂（ｚ）＝ （ ，Ｙ）＋ｉｖ（ｘ，Ｙ）在Ｚ０＝ 。＋ 连续等价于其实部Ｕ（Ｘ，Ｙ）和虚部ｖ（ｘ， Ｙ）同时在（ 。，ｙ０）连续． 定理３．５ （１）在 连续的两个函数 ）和ｇ（ｚ）的和、差、积、商（分母在 不为零）在 。仍连续． （２）如果函数ｈ＝ｇ（ ）在 连续，函数 ＝ ｈ）在ｈ。＝ｇ（Ｚｏ）连续，则复合函数 ＝ ｇ（ｚ）］在 连 续． 定理３．６ 若 ｚ）在有界闭集Ｅ上连续，则 ）在Ｅ上有界，即Ｖ ∈Ｅ，有常数Ｍ＞０，使Ｉ ）Ｉ≤ Ｍ． 定理３．７ 设 ＝ ｚ）是有界闭集Ｅ上的一个连续函数，则Ｉ ）Ｉ在Ｅ上取到最大值和最小值． 定理３．８ 设似＝ ｚ）在有界闭集Ｅ上连续，则 ｚ）在Ｅ上一致连续． 定理３．９ 若函数 Ｐ）与ｇ（Ｐ）在点Ｐ。连续，则函数 Ｓ 厂＿（ｐ）±ｇ（ｐ） ｐ）ｇ（ｐ）， （ｇ（ｐ。）≠０）在点Ｐ。都连续． 定理３．１０ 若函数Ｕ＝ （ ，Ｙ）， ＝ （ ，Ｙ）在点Ｐ。（ 。，Ｙ。）连续，并且函数 ｕ， ）在点（“。， 。）＝ ［ （ 。，Ｙ。）， （ 。，Ｙ。）］连续，则复合函数Ａ咖（ ，Ｙ）， （ ，Ｙ）］在点Ｐ。（ 。，Ｙｏ）连续． 定理３．１１ （有界性）若函数ｆ（ｐ）在有界闭区域Ｄ上连续，则函数 Ｐ）在Ｄ有界，即 Ｍ＞０，Ｖｐ∈ Ｄ，有ｌ ｆ（ｐ）Ｉ≤ 定理３．１２ （最值性）若函数 Ｐ）在有界闭区域Ｄ连续，则函数 ｐ）在Ｄ取到最小值ｍ与最大值 ， 即３ｐｌ∈Ｄ，Ｐ２∈Ｄ，使，（Ｐ１）＝ｍ ｐ２）：Ｍ，且Ｖｐ∈Ｄ，有ｍ≤－厂（Ｐ）≤Ｍ． 定理３．１３ （一致连续性）若函数 Ｐ）在有界闭区域Ｄ连续，则函数 Ｐ）在Ｄ一致连续． ４ 应用 例４．１ 求证：函数 ）： 证明：令 ＝ ＋ｉｙ则 ｚ）＝ ＋Ｖ 当 ＿÷０时极 不存在． 这时ｕ＝ ＋Ｖ ， ＝０． 令 沿直线 趋向于 有 麓ｌｉｍ — （ ＝矗） 捌ｌｉｍ ＂４－＿．Ｖｘ）ｕ （ ＝ ｌ 显然随ｋ的取值不同而不同，所以ｌｉ （ ，Ｙ）不存在． （ 渤 ＝ ） 例４．２ 讨论下列函数的连续性 ）：』 ＿－， ≠０ 【０． ：０ 解：当ｚ沿实轴趋向于零时，ｚ＝ 有 ）＝０ ＝ｔａｎＯ ｒｅｏｓ 当 沿某直线趋向于零时， ＝ ＋ｉｙ＝ｒ（ｃｏｓ０＋ｉｓｉｎＯ），Ｙ＝ Ｙ…ａｎｏ ）＝ ≠０ 而当０不同时， ｉ 参考文献： ）趋向于不同的值，所以厂（ ）在 ＝０不连续． ［１］潘永亮．复变函数［Ｍ］．北京：科学出版社，２００４．７． ［２］刘玉琏．数学分析讲义［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９２．７ ［３］张锦豪．复变函数论［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．２． ［４］常庚哲．数学分析教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．６ ［５］朱正佑．数学分析［Ｍ］．上海：上海大学出版社，２００１．７． Ｔｈｅ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｉｎ Ｃｏｍｐｌｅｘ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ Ｂｉｎａｒｙ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＰＡＮ Ｗｅｉ——ｙｕｎ （ Ｎｏｒｍａｌ ｂｒａｎｃｈ ｃａｍｐｕｓ ｏｆＬｖｌｉａｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉｓｈｉ Ｓｈａｎｘｉ ０３３０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔ ＝ ＋ｉｙ，Ｗ＝Ｍ＋ｉｖ，ｔｈｅｎ Ｗ＝ ）＝Ｍ（ ，Ｙ）＋ｉｖ（ ，Ｙ）．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ａ ｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｗ＝ ｚ）ｉｓ ｅ— ｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｂｉｎａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｕ＝ｕ（ ，Ｙ）ａｎｄ＂１３＝ （ ，Ｙ）．Ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ａｎｄ ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｐｒｏｐｅ￣ｙ ｏｆ ａ ｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｉｎ ｓｏｍｅ ｄｅｇｒｅｅ，ｉｓ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｒｏｐｅ￣ｙ ｏｆ ｔｗｏ ｂｉｎａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｓｏ，ｓｏｍｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ａｎｄ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｍ ａｒｅ ｓｉｍｉｌａｒ，ａｎｄ ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｎｅｃｅｓｓｉｔｙ ｏｆ ｃｏｍｐａｒｉｎｇ ｓｏｍｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｗｏ ｂｉｎａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｌｅｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｔｈｅ ｂｉｎａｒｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｌｉｍｉｔ；ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ６
