待定系数法求二次函数的解析式

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待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象的位置与a，b，c之间的关系，二次函数与x

轴的交点情况及与一元二次方程根与系数之间的内在联系

一、选择题

1.（08山东日照）若A（的图象上的三点，则

A．C．

），B（

），C（

）为二次函数

的大小关系是（ ）

B．

D．

答案：B

的图像为下列图像之

2.(2008浙江义乌)已知：二次函数一，则的值为( )

A.－1 B ． 1 C. －3 D. －4答案：A 3.（2008山东威海）已知二次函数的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y1），N（-1，y2），K（8，y3）也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是 A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2 B 4.（2008年山东省滨州市）若A（-4，y1），B（-3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A、y1＜y2＜y3 B、y2＜y1＜y3 C、y3＜y1＜y2 D、y1＜y3＜y2：B 5.(2008年浙江省绍兴市)已知点说法中正确的是（ ） A．若C．若

，则，则

B．若

，则，则

答案：D

，

均在抛物线

上，下列

D．若

6.(208年天津市)把抛物线（ ）

D．

A．

答案：A

向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为B．

C．

1

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7.(2008年乐山市)已知二次函数的图象如图所示，令

，则（ A．M>0 B. M<0

C. M=0 D. M的符号不能确定：A 8.（2008年四川省南充市）二次函数在（ ）A．第一象限

B．第二象限

的图像如图所示，则点C．第三象限

D．第四象限：C 的图象如图4所示，

9（2008年四川巴中市）二次函数则下列说法不正确的是（ ） A．

B．

C．

D．

D

10.（2008年吉林省长春市）二次函数的取值范围是【 】

A．

B．

C．

D．

D

的图象与轴有交点，则

11.（2008年吉林省长春市）已知反比例函数次函数

的图象如下右图所示，则二

的图象大致为【 】A．C．B．D．答案：D

的图象如图所示，则下列关系式不正

＞0 C、

＞0 D、

＞0：C

12.(2008 湖南长沙)二次函数

确的是（ ） A、＜0 B、

2

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13.（2008湖北鄂州）小明从图5所示的二次函数得出了下面五条信息：①

；②

；③

；④

的图象中，观察

；⑤

，你认为其中正确信息的个数有（ ）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个答案：C

和

（

14. （2008泰安）在同一直角坐标系中，函数是常数，且

）的图象可能是（ ） ．．

答案：D

15.（2008四川达州市）已知二次函数当

时，的取值范围是（ ）

D．

或

答案：A

的图象如图所示，

A． B． C．

16.（2008湖北武汉）下列命题： ①若②若③若④若

，则

，则一元二次方程，则一元二次方程

；

有两个不相等的实数根； 有两个不相等的实数根；

，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.

其中正确的是（ ）．

Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④．B 17.（2008四川达州市）．已知二次函数当A．

时，的取值范围是（ ）

B．A

C．

D．

或

），

的图象如图所示，

18．（2008年陕西省）已知二次函数关于这个二次函数的图象有如下说法：

①图象的开口一定向上；

3

（其中

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②图象的顶点一定在第四象限；

③图象与轴的交点至少有一个在轴的右侧． 以上说法正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 19.(2008 福建 龙岩)已知函数正确的是

A．a＞0，c＞0

B．a＜0，c＜0

C．a＜0，c＞0 D．3 ：C

的图象如图所示，则下列结论

（ ）

D．a＞0，c＜0

：D

20. （2008甘肃兰州）已知二次函数有下列4个结论：①

；②

；③

22（

24

）的图象如图5所示，；④

；其

中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个

D．4个 B

与轴的交点的个数

21. （2008上海市）在平面直角坐标系中，抛物线是（ ）

A．3 B．2

C．1

D．0 B

2.（2008四川 凉山州）已知二次函数函数A．一象限 A

的图象不经过（ ） B．二象限

C．三象限

的大致图象如图所示，那么

D．四象限

与轴的一个交点为

23.(2008年福建省福州市)10．已知抛物线

，则代数式

的值为（ ）

A．2006 B．2007 C．2008 D．2009答案：D

2

24.(2008 湖北 天门)已知二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列

结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a－b＋c＜0；④a＋c＞0，其中正确结论的个数为（ ）．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 答案：C

4

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25. （2008安徽芜湖）函数象大致是 （ ）

在同一直角坐标系内的图

：C

二、填空题

1．(2008安徽)如图为二次函数①③

；②方程

；④当

的根为

的图象，在下列说法中： ，

；

时，随着的增大而增大．

正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）①②④ 2．（2008湖北省咸宁）抛物线与轴只有一个公共点，则的 值为 8

3．（2008年山东省枣庄市）已知二次函数（）与一次函数能使

的图象相交于点A（－2，4），B（8，2）（如图所示），则

成立的的取值范围是 ．

x＜－2或x＞8

4．（2008湖北省咸宁）抛物线值为 ．8 5.(2008 青海)二次函数第 象限．

四

与轴只有一个公共点，则图象如图所示，则点

的 在

6.（2008年白银）抛物线 y=x2+x-4与y轴的交点坐标为 ． (0，-4) 17、(2008 江苏 常州)已知函数

的部分图象如图所示,则

c=______,当x______时,y随x的增大而减小.答案：3,>1

5

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7.(2008 河南实验区)如图是二次函数图像的一部分，该图在

轴右侧与轴交点的坐标是 答案：（1，0）

三、简答题

1.（2008年四川省宜宾市）已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交

于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式；

（2） 若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；

（3） △AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说

明理由. （注：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为

）

解：（ 1）由已知得：

c=3,b=2 抛物线的线的解析式为

解得

(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）

所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以E(3,0)设对称轴与x轴的交点为F 所以四边形ABDE的面积==

=9 （3）相似 如图，BD=DE=

,

所以

即： ,且

,所以,所以

是直角三角形 .

BE=

=

6

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2.（2008年陕西省）如图，矩形

，连接

．

的长、宽分别为和1，且，点

（1）求经过三点的抛物线的表达式； （2）若以原点为位似中心，将五边形放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍．请在下图网格中画出放大后的五边形； （3）经过三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由．

解：（1）设经过

三点的抛物线的表达式为．

．

，

解之，得． 过

三点的抛物线的表达式为

．

7

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（3）不能．理由如下： 设经过三点的抛物线的表达式为

，

．

，解之，得．

，，．

（ 在函数都是等腰

经过三点的抛物线不能由（1）中抛物线平移得到． 3.（2008 四川 泸州）如图9，，，……

的图像上，

直角三角形，斜边

⑴求

⑵求

的坐标

的值

、

，、

，，……

，……都在轴上

8

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解：（1）由是等腰直角三角形，得

（负舍），点（2，2）。 （2）由题意知

，则有，故

又则

，则

，故

，同理，依次得

则

=

。

4．（2008泰州市）已知二次函数y1=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像经过三点（1，0），（－3，0），（0，－

）．

（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分）

（2）若反比例函数y2=（x＞0）的图像与二次函数y1=ax2＋bx＋c（a≠0）的

图像在第一象限内交于点A(x0，y0)，x0落在两个相邻的正整数之间，请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）

9

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（3）若反比例函数y2=（x＞0，k＞0）的图像与二次函数y1=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像在第一象限内的交点A，点A的横坐标x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．（5分）

解：（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)…………………………1分 （只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分） 将（0，—

）代入，解得a=

.

∴抛物线解析式为y=

x2+x- …………………………………3分

（无论解析式是什么形式只要正确都得分）

画图（略）。（没有列表不扣分）…………………………………5分 （2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7分

由图像可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。…………………………………………………9分 （3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时， 对y1=

x2+x-, y1随着x增大而增大，对y2=

（k＞0），

y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1， 即＞

×22+2-，解得K＞5。…………………………………11分

同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2， 即×32+3—

＞

，解得K＜18。…………………………………13

的

所以K的取值范围为5 ＜K＜18………………………………………14分 5．（2008年江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系中，点坐标分别为

．

与

（1）请在图中画出，使得

（2）若一个二次函数的图象经过（1）中关系式．

关于点成中心对称； 的三个顶点，求此二次函数的

解：（1）

如图所示．

的坐标分别为

10

（2）由（1）知，点

．

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由二次函数图象与轴的交点故可设所求二次函数关系式为

的坐标为

．

，

将的坐标代入，得，解得．

故所求二次函数关系式为

6.（2008年江苏省无锡市）已知抛物线

，与轴交于

． 8分

与它的对称轴相交于点

．

上一动点（点于，过作

时点

的

，与轴正半轴交于

（1）求这条抛物线的函数关系式； （2）设直线交轴于是线段异于），过作轴交直线

轴于

坐标．

解：（1）由题意，知点

，求当四边形

的面积等于

是抛物线的顶点，

（2分）

，，抛物线的函数关系式为

的坐标是，，得

的函数关系式是

解得

，，则

，，

．设直线

，点， ．直线

．

． ···· （3分） 的函数关系式为

，

（2）由（1）知，点则由设直线则

设点坐标为

的坐标是．

的函数关系式是．

11

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轴，

设点坐标为点

在直线

轴，

点的纵坐标也是

， 上，点的坐标为

，

，

．

，，

．

， ，

而

，

点坐标为

，

， 和

，，当时，，

． （9分）

和

两点，它与

7.（2008年吉林省长春市）已知，如图，直线经过抛物线

在第一象限内相交于点P，又知

的面积为4，求的值.

解：由△AOPA的面积可知P是AB的中点，从而可得△OAP是等腰直角三角形，过P作PC⊥OA于C可得P（２，２），所以ａ＝

8.（2008年山东省枣庄市）在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数且

．

的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，

（1）求点A与点B的坐标； （2）求此二次函数的解析式；

12

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（3）如果点P在x轴上，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标． 解：（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4）． ………………………1分

∵

∴点B的坐标为（-3，

0）． ………………………………………………………２分

（2）把点B的坐标（-3，0）代入

． 解得

． …………………4分 ∴所求二次函数的解析式为

． …………………………………5分

，得

，∴BO=3．

（3）因为△ABP是等腰三角形，所以 ①当AB=AP时，点P的坐标为（3，

0）． …………………………………………6分

②当AB=BP时，点P的坐标为（2，0）或（-8，0）． …………………………8分

③当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）．根据题意，得

解得

10分

综上所述，点P的坐标为（3，0）、（2，0）、（-8，0）、（，0）．

．

．∴点P的坐标为（，0）． ……………………………………

13