第２２卷第３期 ２０１４年６月 安徽建筑工业学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｈｕｉ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ＆Ｉｎｄｕｓｔｒｙ Ｖｏ１．２２ Ｎｏ．３ Ｊｕｎ．２０１４ 基于指数效用函数的保险基金投资决策及保费确定 王后春， 崔玉乐 （安徽建筑大学数理学院，合肥２３０６０１） 摘要：假定保险公司盈余全部投资于一类风险资产和一类无风险资产，且风险资产价格服从几何布朗运 动，索赔总量服从复合泊松过程。就这类跳跃扩散风险模型的情形，研究保险基金的最优投资策略选择及保 费确定问题。在期望终期财富指数效用最大化目标下，利用随机控制原理，通过求解ＨＪＢ方程，获得最优投 资策略的显示解。根据相应的目标函数值，在保险公司是风险中性的假设下，给出趸缴保费计算公式。 关键词：复合？自松过程；跳跃扩散风险模型；指数效用函数；最优投资；保费 中图分类号：Ｏ２２１．３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００６—４５４０（２０１４）０３－０８７—０４ Ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ Ｄｅｃｉｓｉｏｎ ａｎｄ Ｐｒｅｍｉｕｍ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｉｎｓｕｒｅｒ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ Ｕｔｉｌｉｔｙ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ＷＡＮＧ Ｈｏｕ－ｃｈｕｎ。 ＣＵＩ Ｙｕ—ｌｅ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ＆Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ａｎｈｕｉ Ｊｉａｎｚｈｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ ２３０６０１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｔ ｉＳ ａｓｓｕｍｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｉｎｓｕｒｅｒ ｉｎｖｅｓｔｓ ｉｎ ｏｎｅ ｒｉｓｋ ａｓｓｅｔ ａｎｄ ｏｎｅ ｒｉｓｋ＿ｆｒｅｅ ａｓｓｅｔ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｒｉｓｋ ａｓｓｅｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｂｒｏｗｎｉａｎ ｍｏｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ａｇｇｒｅｇａｔｅ ｃｌａｉｍ ａｍｏｕｎｔ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｓ ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ．Ｕｎｄｅｒ ｔｈｉｓ ｊ ｕｍｐ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｒｉｓｋ ｍｏｄｅｌ，ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｏｆ ｉｎｓｕｒａｎｃｅ ｆｕｎｄｓ ａｎｄ ｐｒｅｍｉｕｍ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｉｎｓｕｒａｎｃｅ ｃｏｍｐａｎｙ ａｒｅ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｔｏ ｍａｘ ｔｅｒｍｉｎａｌ ｗｅａｌｔｈ ｕｔｉｌｉｔｙ， ｔｈｅ ｅｘｐｌｉｃｉｔ ｏｐｔｉｍａｌ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｓｔｒａｔｅｇｙ ｉｓ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ＨＪＢ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｅ ｓｉｎｇｌｅ ｐｒｅｍｉｕｍ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｉｓ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｃａｓｅ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｉｎｓｕｒａｎｃｅ ｃｏｍｐａｎｙ ｉｓ ｒｉｓｋ ｎｅｕｔｒａ１． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｍｐｏｕｎｄ Ｐｏｉｓｓｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ；ｊ ｕｍｐ－ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｒｉｓｋ ｍｏｄｅｌ；ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｕｔｉｌｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｏｐｔｉ— ｍａｌ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ；ｐｒｅｍｉｕｍ １前 日 济稳定。保险公司的偿付能力和效益最终取决于 其投资收益。因此，为适应保险市场的发展，研究 保险公司的投资状况与其经营效益及稳定性 保险投资以及在此基础上的保险定价等问题已成 高度相关。事实上，保险投资己成为保险业经营 为当前的一项重要课题。 收入的重要源泉。在发达国家，保险公司的保险 随着保险公司运作的放宽，保险公司可 投资收益远远高于其真接的承保收益。保险投资 同时开展包括证券、货币、保险等在内的多个市场 是现代保险业得以生存和发展的重要支柱，它不 的业务，保险公司在各市场的资产配置直接影响 仅可以提高公司的竞争地位，还关系到国家的经 公司的收益与风险。有关保险公司的投资策略选 收稿日期：２０１４—０１—０７ 基金项目：安徽高校省级自然科学研究项目（Ｉｑ２ｏ１２ｚｏ５ｏ）；安徽高校省级大学生创新创业训练计划项目（ＡＨ２０１３１０８７８２４０） 作者简介：王后春（１９７Ｏ一），男，硕士，讲师，主要研究方向：应用统计与风险决策。 ８８ 安徽建筑工业学院学报（自然科学版） 第２２卷 择问题，已经引起了众多学者的关注。目前，该类 索赔总量服从复合泊松过程。就这种跳跃扩散风 问题主要集中在对不同的盈余过程和不同的目标 险模型的情形，本文采用指数效用函数，在期望终 函数下，利用随机控制理论中的动态规划方法寻 期财富指数效用最大化目标下，利用随机控制原 找最优的投资策略和再保策略。如在保险公司盈 理，通过求解ＨＪＢ方程，获得最优投资策略的解 余过程近似为扩散过程，风险资产价格服从几何 析形式。根据相应的目标函数值，在保险公司是 布朗运动情形下，Ｂｒｏｗｎｅ（１９９５）研究了破产概率 风险中性的假设下，给出期初趸缴保费计算公式。 最小和期望终值效用最大这两种情况下保险公司 的最优投资策略选择问题［１］。在经典的复合泊松 ２跳跃扩散风险模型 风险模型下，就风险资产价格过程服从几何布朗 首先建立投资影响下保险公司盈余过程的数 运动的情形，Ｈｉｐｐ＆Ｐｌｕｍ（２０００）在理赔分布服 学模型。 从指数分布情形下获得了破产概率最小化目标下 设本文所涉及的随机变量和随机过程都定义 的最优投资策略的显式解＿２ ；Ｓｃｈｍｉｄｌｉ（２００１， 在完备化的概率空间（力，Ｆ，Ｐ）上。 ２００２）研究了最优比例再保策略和投资策略的选 不失一般性，设初始时刻为０，保险公司承保 择问题，证明了在破产概率最小时对应ＨＪＢ方程 期限为正常数Ｔ，期初趸缴保费为正常数Ｈ，在一 解的存在性和最优性，但并没给出具体解的形 个投资期［ｏ，明内索赔总量过程｛Ｓ ，０≤ｔ≤Ｔ｝ 式［３ ］。Ｙａｎｇ＆Ｚｈａｎｇ（２００５）考虑了保险公司 的风险过程为跳跃扩散模型，保险公司允许资金 满足Ｓ 一∑墨，其中｛ ，０≤ｔ≤Ｔ）是强度为 ＝１ 投资于风险资产和无风险资产的情况下，在期望 ＞０的泊松过程， 表示时间区间［０， ］上的索 终值效用最大目标下给出了保险公司的最优投资 赔次数；｛ ，ｋ一１，２，３，…）为非负同分布 策略，获得了破产概率最小时对应的ＨＪＢ方 于ｘ的随机变量序列， 表示第志次索赔量； 程＿５］。Ｗａｎｇ（２００７）讨论了未来某时刻使得保险 ｛ ，０≤ｔ≤Ｔ）与｛Ｘｋ，ｋ一１，２，３，…｝相互。 公司责任准备金的指数效用最大化的最优投资策 考虑一个仅有两类资产的金融市场，其中一 略＿６］。国内学者刘洁等人（２０１３）通过对经典的复 类是无风险资产，另一类是风险资产。假定风险资 合泊松风险模型的连续扩散近似，利用动态规划 产的价格过程｛Ｌ ，０≤￡≤Ｔ｝满足 原理分别得出了在破产概率最小和终值期望效用 最大两种目标函数下，保险公司的最优投资和最 ｄＬ 一 ｄｔ＋ ｄＷｔ， 优再保策略的显式解和对应的目标函数值，并对 其中Ｗ 是标准布朗运动， ， 均为正常数，分别 两种目标函数下的最优策略做了比较研究［７］。姚 表示风险资产的期望收益率和收益波动率。 海祥等人（２０１３）在金融市场仅存在风险资产的情 记保险公司在时刻ｔ的盈余为ｕ 。为增加收 况下研究了投资终止时间不确定且带有通货膨胀 益，保险公司计划对时刻ｔ的盈余Ｕ 进行两类投 影响的最优投资组合选择问题［８］。 资：投资于风险资产的资金为 ，投资于无风险资 纵观现有关于保险投资策略的文献，没有考 产的资金为ｕ 一ｍ。则保险公司的盈余过程｛ｕ ，０ 虑保险公司在承保期的期初一次性收取保费这一 ≤ｔ≤Ｔ）满足 一（ 一ｒ）￣ｒｔｄｔ＋ａ７ｒ ｄＷ￡十ｒ【， 一（ｆ５￡， 现实情况，也没有考虑保费确定即保险定价问题。 不同于姚海祥等人（２０１３）、刘洁等人（２０１３）、 （１） Ｗａｎｇ（２００７）提出的保险公司以常数保费率连续 其中ｒ≥Ｏ表示无风险利率。 收取保费的情形，本文拟假定保险公司在一个承 记∞一 为保险公司的初始盈余。本文以 保周期的期初一次性收取保费，且假定保险公司 下部分假定保险公司的初始盈余充分大，使得在 一个投资期［０，明内破产不会发生，即对任意ｔＥ 盈余全部投资于一类风险资产（股票）和一类无风 ｌ 险资产（债券），风险资产价格服从几何布朗运动， ［０，Ｔ］，有Ｐ｛ ≥０Ｉ 一∞）一１。 第３期 王后春，等：基于指数效用函数的保险基金投资决策及保费确定 ８９ ３最优投资策略及保费公式 ＋，ｔ５ 厂（ ）一０， （７） 其中 ＝＝＝１一Ｅ［ ］＜０。在ＨＪＢ方程（７）中由 下面的研究不考虑交易费、税收和红利。 一阶最优条件得ｑ（ 一ｒ）一ｑ 元一０，因此最优 考虑到现实中大部分投资者为风险厌恶型投 资者，本文采用指数效用函数 （ ）一一ｅ 作为 投资策略为 一ｅｒ（卜 ）丌 ：＝＝ 口 ，故（３）成立。 保险公司的效用函数，其中正常数ｑ称为风险厌 把 一 ｆ＊一 代人（７）得 恶因子。 ｑ 在跳跃扩散风险模型（１）下，保险公司希望 一厂（￡）＋ 厂（￡）＋ 厂（￡）一０，（８） 通过最优投资策略 来追求期望终期财富指数 解一阶微分方程（８）并注意到边界条件厂（Ｔ）＝ 效用最大化。为此，定义索赔总量过程（Ｓ ，０≤ｔ １得 ≤Ｔ）下的值函数 （ ）一ｅ－ｆ （ 捕 ） ：：： （ｎ ＿』 ， Ｍ（ｘ， ；ｓ）一ｓｕｐＥ［－ｅ一嘶ｆ 一ｘ３，（２） 结合Ｍ（Ｘ，￡）一－－ｅ一 ，（￡）知（４）成立。 值函数Ｍ（ｘ， ；Ｓ）表示ｔ时刻保险公司的盈余为 在保险公司是风险中性的假设下，期初趸缴 ｚ条件下保险公司期望终期财富指数效用的最 保费Ｈ满足 大值。 Ｍ （ｃｏ，０；Ｏ）一Ｍ （ｃｏ＋Ｈ，０；Ｓ）， （９） 定理在跳跃扩散风险模型（１）下，设值函数 即在初始时刻不收取任何保费也不承担任何 Ｍ（ｘ，ｔ；Ｓ）关于ｔ一次可微，关于ｘ二次可微。若 赔付责任与收取保费Ｈ因而承担赔付责任这两 ｔ时刻保险公司的盈余为３７，，则期望终期财富指数 种情况下相应的最优值函数相等。 效用最大化目标下保险公司最优投资策略为 由（４）得 一ｅ－ｒ（ ） ， （３） 。 Ｍ＊（ ，０；０）一～ ～ Ｔ， （１０） 保险公司期望终期财富指数效用的最大值为 Ｍ＊（ ＋Ｈ，０；ｓ）一一 （ Ｈ）一 叫 打 ， Ｍ＊（ ， ；ｓ）一一ｅ￣ｑｅｒ（Ｔ－ｔ）ｘ－－ （卜 ）＿ｊ 出，（４） （１１） 其中 ＝１一Ｅ［ｅｑｅｒ（Ｔ－ｓ）Ｘ］。 由（９），（１０），（１１）得期初趸缴保费为 ｒＴ 证明：令 一ｅｒ（卜。ｕ ， 一ｅｒ（卜”ａ＇ｔ， 一 —Ａｅ－ ｌ＆ｄｓ ｅｒ（ｈ Ｈ＝＝ Ｊ ０ ．２７，由（１）式得 ｑ ，ａ２ 一（ 一ｒ） ｄｔ＋ ｄＷ 一ｅｒ（卜 ｄＳ ， ａｅ－￣Ｔ Ｉ （ＥＥｅｑ￣ ｘ３—１）ｄｓ （５） 一——— Ｌ——————— —————一。 （１ ２） 结合（２）和（５），由伊藤公式及动态规划原理 ｇ 得值函数Ｍ（ ，￡）满足如下ＨＪＢ方程 注１．从式（３）可看出，分配于风险资产的投资量 随着其收益波动率 的增大而减小，随着其期望 Ｍ ｔ＋ｎ ｘ｛（ 一ｒ）元 ＋专 ｝一 收益率 的增大而增大，随着保险公司风险厌恶 （１一Ｅ［ｅ ｔ］）Ｍ（ ，ｆ）一０， （６） 因子ｑ的增大而减小，随着无风险利率ｒ的增大而 边界条件为Ｍ（ｘ，Ｔ）一一ｆ ，Ｖ ∈Ｒ，且其中 减小。同时，最优投资策略对于无风险利率非常敏 一ｅｒ（卜 ｘ； ，Ｍ ， ，分别为Ｍ（２， ）关 感，一旦利率调整，保险公司的最优投资策略就会 于ｔ的一阶导，关于 的一阶导和二阶导。 作较大的调整。 为解该倒向随机微分方程，猜测它有形如Ｍ 注２．在保险公司是风险中性的假设下，期初 （ ，￡）一一ｅ－ｃｆ（ｔ）的解，代入（６）得 趸缴保费Ｈ于初始盈余∞以及 ，仃，且是一 （￡）＋ ｘ｛ｇ（ ～ｒ） 一专ｇ。 ｝厂（￡） 个投资期［Ｏ，Ｔ］内索赔总量的确定性等价值的折 现值。 ９０ 安徽建筑工业学院学４１ｔ．（自然科学版） 第２２卷 注３．在保险公司无任何投资的情况下，期初 趸缴保费ｈ满足 （ ）一Ｅ［－ｕ（ｃｏ＋ｈ—Ｓｒ）］，计算 得ｈ一ｅｑｘ参考文献 １ Ｂｒｏｗｎｅ ｓ．Ｏｐｔｉｍａｌ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｐｏｌｉｃｉｅｓ ｆｏｒ ａ ｆｉｒｍ ｗｉｔｈ ｌ—ｎＥＥｅｑＳｒ］一 —！ 兰 ｑ 一 ｑ ｒａｎｄｏｍ ｒｉｓｋ ｐｒｏｃｅｓｓ：Ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｕｔｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｍｉｎｉｍｉ— ￣Ｔ（Ｅ［———＿—］－一１），参见文献［９］的式（２．７．１）。 ｚｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｒｕｉｎ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｏｆ Ｏｐｅｒａ— ｔｉｏｎｓ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，１９９５，２０（４）：９３７－－９５８． ２ Ｈｉｐｐ Ｃ，Ｐｌｕｍ Ａ，￡Ｏｐｔｉｍａｌ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｆｏｒ ｉｎｓｕｒｅｒｓ 在式（１２）中，令ｒ一０得Ｈ—ｈ，故Ｈ是保险 公司在无任何投资情况下的期初趸缴保费＾的 ［Ｊ］．Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，２０００， 推广。 ４结束语 本文打破保险公司以常数保费率连续收取 保费的局限，研究保费在一个承保周期的期初 趸缴时，公司的盈余过程为跳跃扩散风险模型 的情形下保险人的最优投资策略选择及保费确 定问题。运用最优控制原理得到了保险公司的 最优投资策略和最大化期望终期财富指数效用 的解析表达式，同时对最优投资策略和有关参 数的关系进行了简单分析。在此基础上给出风 险中性假设下保险公司期初趸缴保费的计算公 式。本文对保险人的投资运作及保险定价具有 指导作用。 进一步，本文保费的计算方法也可以应用到 责任准备金的计算。此外，本文模型还可以在其 它一些方面进行拓展，如保险公司以变量保费率 连续收取保费，以及分期收取保费等情形，今后将 深入研究。 ２７（２）：２１５—２２８． ３ Ｓｃｈｍｉｄｌｉ Ｈ．Ｏｐｔｉｍａｌ ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌ ｒｅｉｎｓｕｒａｎｃｅ ｐｏｌｉｃｉｅｓ ｉｎ ａ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｅｔｔｉｎｇ［Ｊ］．Ｓｃａｎｄｉｎａｖｉａｎ Ａｃｔｕａｒｉａｌ Ｊｏｕｒ— ｎａｌ，２００１，（１）：５５—６８． ４ Ｓｃｈｍｉｄｌｉ Ｈ．Ｏｎ ｍｉｎｉｍｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｒｕｉｎ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｂｙ ｉｎ— ｖｅｓｔｍｅｎｔ ａｎｄ ｒｅｉｎｓｕｒａｎｃｅ［Ｊ］．Ｔｈｅ Ａｎｎａｌｓ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，２００２，１２（３）：８９Ｏ一９０７． ５ Ｙａｎｇ Ｈ，Ｚｈａｎｇ Ｌ Ｏｐｔｉｍａｌ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｆｏｒ ｉｎｓｕｒｅｒ ｗｉｔｈ ｊｕｍｐ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｒｉｓｋ ｐｒｏｃｅｓｓ［Ｊ］．Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ： Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，２００５，３７（３）：６１６ ——６３３． ６ Ｗａｎｇ Ｎ．Ｏｐｔｉｍａｌ ｉｎｖｅｓｔｍｅｎｔ ｆｏｒ ａｎ ｉｎｓｕｒｅｒ ｗｉｔｈ ｅｘ— ｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｕｔｉｌｉｔｙ ｐｒｅｆｅｒｅｎｃｅ［Ｊ］．Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ：Ｍａｔｈｅｍａｔ— ｉｃｓ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，２００７，４０（１）：７７—８４． ７刘洁，赵秀兰．保险公司的最优投资和再保险策略 口］．模糊系统与数学，２０１３，２（３）：１６ｏ一１６８． ８姚海祥，伍慧玲，曾燕．不确定终止时间和通货膨胀 影响下风险资产的最优投资策略口］．系统工程理论与 实践，２０１３，３３（１）：１一ｌ１． ９林元烈．应用随机过程［Ｍ］．北京：清华大学出版 社，２００２．
