最小二乘法的多项式拟合

西安交通大学

徐彬华

算法分析：

对给定数据 (i=0 ,1,2,3,..,m),一共m+1个数据点，取多项式P(x),

使

函数P(x)称为拟合函数或最小二乘解，令似的 使得

其中，a0，a1,a2,…,an为待求未知数，n为多项式的最高次幂，由此，该问题化为求

的极值问题。由多元函数求极值的必要条件：

j=0,1,…,n

得到：

j=0,1,…,n

这是一个关于a0，a1,a2,…,an的线性方程组，用矩阵表示如下：

因此，只要给出数据点 及其个数m，再给出所要拟合的参数n，则即可

求出未知数矩阵（a0，a1,a2,…,an）

试验题1

编制以函数 xkk0为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对下列数据作三次多项式最小二乘拟合(取权函数wi≡1)

 nxi yi 总共有7个数据点，令m=6

第一步：画出已知数据的的散点图，确定拟合参数n; x=::;y=[,,,,,,]; plot(x,y,'*') xlabel 'x轴' ylabel 'y轴' title '散点图' hold on

因此将拟合参数n设为3.

第二步：计算矩阵

A= 注意到该矩阵为（n+1）*(n+1)矩阵，

多项式的幂跟行、列坐标（i,j）的关系为i+j-2,由此可建立循环来求矩阵的各个元素，程序如下： m=6;n=3;

A=zeros(n+1); for j=1:n+1 for i=1:n+1 for k=1:m+1

A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2)

end end end;

再来求矩阵

B=

B=[0 0 0 0]; for j=1:n+1 for i=1:m+1

B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1) end end

第三步：写出正规方程，求出a0,,a1…,an.

B=B';

a=inv(A)*B;

第四步：画出拟合曲线

x=[::];

z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3; plot(x,z)

legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3') title('拟合图')

总程序附下：

x=::;y=[,,,,,,]; plot(x,y,'*') xlabel 'x轴' ylabel 'y轴' title '散点图' hold on

m=6;n=3; A=zeros(n+1);

for j=1:n+1 for i=1:n+1 for k=1:m+1

A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2) end end

end;

B=[0 0 0 0]; for j=1:n+1 for i=1:m+1

B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1) end end B=B';

a=inv(A)*B; x=[::];

z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3; plot(x,z)

legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3') title('拟合图')