山东省淄博市2014年高三第一次模拟考试数学试题(文科)

淄博市2013—2014学年度高三模拟考试试题

文 科 数 学

本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A{x|0x2}，B{x|(x1)(x1)0}，则AB

A．0，1 B．1，2 C．(,1)(0,) D．(,1)(1,) 2．在复平面内，复数

2i 对应的点位于 iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知tan=2，那么sin2的值是

A．4433 B． C． D． 5555·1·

4．在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7=

A．10 B．18 C．20 D．28

5．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为

A．3 B．126 C．127 D．128

6．设a1，b0，若ab2，则

12的最小值为 a1bA．322 B．6 C．42 D．22

7．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥ABCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 A．12 B．

2212 D．

44C．8．下列说法正确的是 ．．

A．“pq为真”是“pq为真”的充分不必要条件；

ˆ21.5x，则变量x每增加一个单位，yˆ平均减少1.5个单位； B．设有一个回归直线方程为yC．若a,b0,1，则不等式ab221成立的概率是； 44D．已知空间直线a,b,c，若ab，bc，则a//c．

29．过抛物线y4x焦点F的直线交其于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|3，则AOB的

面积为 A．

2 2B．2 C．

32 2D．22

10．若函数f(x)的导函数在区间a,b上的图像关于直线xab对称，则函数yf(x)在区间2[a,b]上的图象可能是

A．①④

B．②④ C．②③ D．③④

·2·

第Ⅱ卷(共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．已知函数f(x)为奇函数，当x0时，f(x)log2x，则满足不等式f(x)0的x的取值范围是 ．

xy50x2y1012．已知变量x,y满足约束条件，则zx2y的最大值是 ．

x10013．已知向量a、b的夹角为60，且|a|2，|b|1，则向量a与向量a2b的夹角等于 ．

14．已知点A2,0,B0,2，若点C是圆x22xy20上的动点，则△ABC面积的最小值为 ．

15．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：

137153

33．仿此，若m的“分裂数”中有一个是2015， 332,39,4,……5111719则m ．

三、解答题：本大题6小题，共75分 16．（本题满分12分）

xxx1ABC 三个内角A,B,Cb(3cossin,1)，已知向量asin,，函数f(x)ab，

2222的对边分别为a,b,c.

（Ⅰ）求f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若f(BC)1,a3,b1，求ABC的面积S． 17．（本题满分12分）

ABC，CACB，A1B1∥AB，在如图所示的几何体中，四边形BBC11C是矩形，BB1平面

AB2A1B1，E，F分别是AB，AC1的中点．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BBC11C； （Ⅱ）求证：C1A1平面ABB1A1． 18．（本题满分12分）

参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎

布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题： （Ⅰ）求参加数学抽测的人数n、抽位数及分数分别在80,90，

·3·

叶图和频率分测成绩的中

90,100内

的人数；

（Ⅱ）若从分数在80,100内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在90,100内的概率．

19．(本题满分12分) 在数列an中，a11，2anan1n1(n2,nN*)，设bnann． 2（Ⅰ）证明：数列bn是等比数列； （Ⅱ）求数列nbn的前n项和Tn；

cn2cn11n（Ⅲ）若cn()an，P的前n项和，求不超过P2014的最大的整数． n为数列2cc2nn20．（本题满分13分）

x2y21已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，右焦点F2到直线l1:3x4y0的距离为

ab23． 5（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过椭圆右焦点F2斜率为k（k0）的直线l与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE,AF分别交直线x3于点M,N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为

k，求证：kk为定值．

21．（本题满分14分）

已知函数f(x)xlnx，g(x)xax2（e2.71，aR）．

（Ⅰ）判断曲线yf(x)在点（1，f(1)）处的切线与曲线yg(x)的公共点个数； （Ⅱ）当x,e时，若函数yf(x)g(x)有两个零点，求a的取值范围．

e

21一模数学试题参考答案及评分说明2014.3

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11．（文科）(1,0)(1,) 12．9 13．（文科）14．（文科）32 15．（文科）45

π0（或30） 6三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

·4·

16．（文科 本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得

xxx1f(x)absin(3cossin)

2222xxx13sincossin2

2222=

π31cosx131sinx=sinxcosxsin(x) ，„„„„3分

622222令2kππππx2kπ (kZ) 262解得2kπ2ππx2kπ (kZ) 332ππ,2kπ(kZ) .„„„„„„6分 33所以函数f(x)的单调增区间为2kππ（Ⅱ） 解法一：因为f(BC)1,所以sin(BC)1，

6ππ7π又BC(0,π)，BC(,),

6662ππππ所以BC,BC，所以A, „„„„„„„„„„8分

3623ab1把a3,b1代入，得到sinB „„„„10分得B 或者

26sinAsinB525B ，因为A 为钝角，所以B舍去

636由正弦定理所以Bππ，得C. 66所以，ABC的面积S解法二：同上（略）A1113 . „„„„„„„„12分 absinC3122242π, „„„„„„„„„„8分 3由余弦定理，a2b2c22bccosA，得31c2c，c1或3（舍去）10分 所以，ABC的面积S1133 . „„„„„„„„12分 bcsinA11222417．（文科 本题满分12分）

·5·

证明：（Ⅰ）连接BC1，因为 E、F分别是AB,AC1的中点，所以

EF∥BC1．„„„„„„„„„2分

又因为 EF平面BBC11C，BC1平面BBC11C， 所以 EF∥平面BBC11C．„„„„4分

CE.因为 BB1平面ABC，BB1平面A1ABB1， （Ⅱ）连结A1E，

所以 平面A1ABB1平面ABC „„„„„„„„„„„„„„„„6分 因为 CACB，E是AB的中点， 所以CEAB

所以 CE平面A1ABB1． „„„„„„„„„„„„„„„„8分 因为 B1A1∥BA,B1A11BA=BE 2所以 四边形A1EBB1为平行四边形，所以 BB1//A1E. „„„„„„„„10分 又 BB1//CC1 ，所以 A1ECC1为平行四边形， 1E//CC1 所以 四边形A则 C1A1∥CE. 所以 C1A1平面ABB1A1． „„„„„„„12分 18．（文科 本题满分12分）

解：（Ⅰ）分数在50,60内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在90,100内同样有2 人． „„„„„„„„„„„„„„„„„2分， 由

2100.008， 得n25 ， „„„„„„„„„„„„„„„„„3分 n茎叶图可知抽测成绩的中位数为73 ． „„„„„„„„„„„„„4分

分数在80,90之间的人数为25271024 „„„„„„„„5分

参加数学竞赛人数n25，中位数为73，分数在80,90、90,100内的人数分别为4 人、2 人． „„„„„„„„„„„„„„„6分

（Ⅱ）设“在80,100内的学生中任选两人，恰好有一人分数在90,100内”为事件M ，

将80,90内的4人编号为a,b,c,d ；90,100内的2人编号为A,B 在

80,100内的任取两人的基本事件为：ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,

bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB共15个„„„„„„„„„„„„„„„„9分

其中，恰好有一人分数在90,100内的基本事件有aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,

dB,共8个

故所求的概率得PM=8 „„„„„„„„„11分 15·6·

答：恰好有一人分数在90,100内的概率为

8 „„„„„„„„„12分 1519．(文科 本题满分12分)

解证：（Ⅰ）由2anan1n1两边加2n得，2(ann)an1n1 „„2分 所以

annb11， 即 n，数列bn是公比为2的等比数列„3分

an1(n1)2bn121111，所以bn()n „„„„„„„„„„4分 2221nn（Ⅱ）nbnn()n „„„„„„„„„„„„„„5分

221234n1nTn234Ln1n ①

22222211234n1nTn2345Lnn1 ② 2222222111111n1n①-②得Tn234nn11nn1

222222222其首项为b1a11

n2 „„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 n21n(Ⅲ)由(Ⅰ)得an()n，所以cnn

2所以 Tn2cn2cn1n2n1111 „„„„„10分 1122cncnnnn(n1)nn1111111111P2014(1)(1)(1)(1) 2015

1223342014201520152014．„„„„„„„„„„„„12分所以不超过P2014的最大的整数是

20．（文科 本题满分13分） 解证：（Ⅰ）由题意得e

c13c，1，„„„„„„„„„„„2分

22a234x2y21． „„„„„„„„ 4分 所以c1，a2，所求椭圆方程为43（Ⅱ）设过点P1,0 的直线l方程为：yk(x1)，

设点E(x1,y1)，点F(x2,y2) „„„„„„„„„„„„„5分

·7·

x2y21 将直线l方程yk(x1)代入椭圆C:43整理得：(4k23)x28k2x4k2120 „„„„„„„„„„„„„ 6分 因为点P在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，0恒成立，

8k24k212且x1x2 x1x2 „„„„„„„„„„7分

4k234k23直线AE的方程为：yy1y2(x2)，直线AF的方程为：y(x2) x12x22令x3，得点M3,y1y2，N3,，

x12x22所以点P的坐标3,y21y1 „„„„„„„„„„„„„ 9分

2x12x22y21y1()02x12x22y21y直线PF2 的斜率为k'(1)

314x12x221y2x1x2y12(y1y2)12kx1x23k(x1x2)4k„„„ 11分

4x1x22(x1x2)44x1x22(x1x2)48k24k212,x1x2将x1x2代入上式得：

4k234k234k2128k22k23k24k134k34k3 k'4k2128k244k2244k234k33所以kk'为定值 „„„„„„„„„„„„„ 13分

421．（文科 本题满分14分） 解：（Ⅰ）f(x)lnx1，所以斜率kf(1)1 „„„„„„„„„„2分

又f(1)0，曲线在点（1，0）处的切线方程为yx1„„„„3分

yx2ax2由x2(1a)x10 „„„„„„„„4分 yx1由△=(1a)4a2a3可知：

·8·

22当△>0时，即a1或a3时，有两个公共点； 当△=0时，即a1或a3时，有一个公共点；

当△<0时,即1a3时，没有公共点 „„„„„„„„7分 （Ⅱ）yf(x)g(x)=x2ax2xlnx，

2lnx „„„„„„„„8分 x2(x1)(x2) 令h(x)xlnx，则 h(x) 2xx由y0得ax当x,e，由 h(x)0 得 x1 „„„„„„„10分 e所以，h(x)在,1上单调递减，在1,e上单调递增 因此，hmin(x)h(1)3 „„„„„„„„11分

11e1212e1，h(e)e1比较可知h()h(e) eee2所以，当3ae1时，函数yf(x)g(x)有两个零点.„„„„„14分

e由h()

1e·9·