降水时间序列的混沌特征分析

２００７年第１期　水利水电　降水时间序列的混沌特征分析　林汝颜　摘要：以广东省东江流域月降雨序列为例，在介绍相空间重构原理的基础上，探讨了混沌　分析的主要定量指标：饱和关联维数Ｄ　和最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数　。得到该时间序列的饱和关联　维数Ｄｚ＝３．９３，最小嵌入维数　＝８，最佳嵌入滞时ｒ＝３个月，最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数　＝　０．２５３。并且采用主分量方法进一步验证了该序列具有混沌特性，为东江流域月降雨预测提供　了较为科学的依据。　关键词：东江流域；相空间重构；关联维数；主分量分析；Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数　变化条件下的水循环特性一直是水文学研究的热点和难点之一。而降雨径流作为水循　环的重要特征，对其规律的探索就显得非常必要。尤其是降雨，在我国大部分地区，作为　径流的主要来源，直接影响水资源的开发和利用，紧密关联与水有关的干旱、洪涝等自然　现象。然而，由于降水是一种复杂的水文现象，其形成、发生、发展的全过程因受众多因　素的影响而表现出并非随机却貌似随机的特征，传统数学模型难以定量描述　。混沌理论　的出现为研究这种复杂水文现象提供了新的思路，使得从复杂的非线性水文现象中提取确　定性特征成为可能。所以近ａ来，混沌理论在水文科学领域的应用研究开始呈现快速发展　势头。　本文以广东省东江流域月降雨系列为例，从相空间重构、饱和关联维数和最大Ｌｙａ．　ｐｕｎｏｖ指数等方面探讨降水时间序列演化和形成的混沌机制，并应用主分量分析方法进一　步验证其混沌特性，从而为混沌理论进一步应用于水文时间序列的分析、预测等奠定基　础。　１混沌理论　混沌理论的早期研究可以追溯到１９６３年美国气象学家ＬｏｒｅｎｚＥ　对两无限平面间的大　气湍流的模拟。在求解过程中，Ｌｏｒｅｎｚ发现当方程中的参数取适当值时，解是非周期的　且具有随机性，表现出非常复杂的结构，也就是著名的“蝴蝶”效应。即由确定性方程可　３９　维普资讯 http://www.cqvip.com

以得出随机性的结果，这与几百年来统治人们思想的拉普拉斯确定论相违背（确定性方程　得出确定性结果）。此后混沌理论蓬勃发展，其应用已渗透到力学、物理学、水动力学、　化学、生物学及生理学等许多学科，被认为是继相对论和量子力学之后发展起来的又一革　命性的成就之一。　对于混沌目前尚无通用的严格定义［３］，一般认为，将不是由随机性外因引起的，而是　由确定性方程（内因）直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌，即混沌是由确定性产　生的貌似随机性的非周期行为。　常用表征系统混沌特性的量有：连续功率谱、饱和分维数、Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数和Ｋｏ１．　ｍｏｇｏｒｏｖ熵，相应的关于混沌时间序列判别的基本方法有：功率谱法、主分量分析　（ＰＡＣ）方法、Ｐｏｉｎｃａｒｅ截面法、Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数法、ｃ—ｃ方法等，都是从某一个方面判　别序列是否为混沌序列的必要条件，因而需要采用尽可能多的方法来鉴别。下面结合广东　省东江流域降雨资料，从相空间重构、饱和关联维数和最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数等方面进行降　水时间序列的混沌特性分析。　２东江流域降水时间序列的混沌分析　２．１资料来源　东江属珠江三大水系之一，位于中国南方湿润地区，总流域面积３５　６３６　ｋｍ　，其中广　东省境内３２　１３６　ｋｍ　，约占９０％。流域内多年平均雨量为１　５００￣２　４００　ｍｍ之间，平均值　为１　７５０　ｍｍ，年内分配不均，汛期（４～９月）雨量占年雨量的８０％左右。本文雨量资料　．采用近５０个雨量站观测资料在电子地图上根据泰森多边形法统计得出，均为１９５６￣２０００　年的历年逐月长系列数据，这些资料已经应用于《广东省水资源综合规划》项目中。　２．２相空间重构原理　混沌学从理论走向应用很大程度上取决于Ｐａｃｋａｒｄ和Ｔａｋｅｎｓ提出的相空间重构理论，　相空间的建立是水文混沌分析研究的前提　。　水文系统可以看作是具有ｎ个变量的动力系统（即一组ｎ个变量的一阶微分方程）：　．　鲁＝，ｆ（　…　，　１，２，…，　（１）　系统的时间演变的状态空间可由坐标Ｘ（ｆ）加上其（ｎ一１）阶导数所形成的ｎ维相　空间来表示，即　Ｙ（ｔ）：Ｉｘ（ｔ），Ｘ‘”（ｆ），…，Ｘ　（ｔ）］　（２）　４０　维普资讯 http://www.cqvip.com

ＲｕｅｌｌｅＥ７］提出用离散的时间序列ｘ（ｆ）和它的（ｎ一１）时滞位移构建一个新的ｎ维　相空间（即嵌入相空间），以代替这种连续变量　（ｔ）和它的导数所反映的系统状态空　间，即　Ｙ（ｔ）＝ｒｘ（ｔ），　（ｔ＋ｒ），…，　（ｔ＋ｎ一１）ｒ］　，●●●●　●●●●，ｆ　●●●●，，●【　（３）　其中，ｒ为滞时，也称延迟时间。所重构相空间的维数ｍ至少应大于其状态空间的拓　扑维数ｄ（也称饱和关联维）的２倍加１，即ｍ三三＝２　ｄ＋１　ｙ　１　ｙ　２　ｙ　，　对某一可观测的离散降雨时间序列　，　，…，　，选定ｒ，则其重构嵌入相空间可　●　●　＝　＝　●　＝　　，Ｉ，Ｉ　●ｒｔ表示为：　１　，　２　，　～　，　，　＋ｒ　　，　＋　２　ｒ　，　—●　　●　●　，　ｔ　ｒ　，　●　●　●　●　●　●　●　●　●　，　，　，　（４）　１　（２　＋　（　●¨　●　●　，　（　＋　　一　一　ｍ　＿　、●●●●　，●●●●●●、，●●●●●　●●Ｊ　其中，　ｎ一（ｍ一１）ｒ。对于ｒ的求取方法一般有两类　引：序列相关法和相空间　扩展法，以及介于这两类方法之间的（去偏）复自相关法。本文采用序列相关法中常用的　自相关函数法求得东江流域月降雨序列的自相关系数，见图１。　该图显示：东江流域月降雨系列　明显呈现以年为周期的变化特性。自　相关系数随着滞时增大不断减小，大　约在ｒ＝３时达到零值，此时ｒ可作为　此次相空间重构选定的嵌入滞时［引。　２．３饱和关联维数　强　：维数是空间和客体的重要几何参　数，状态空间的维数反映了描述该空　霉　４ｌ　间中运动所需的变量个数，吸引子的维数表明该吸引子所必需的信息量。动力系统的吸引　子有３类　引：平衡点、极限环和奇怪吸引子（混沌吸引子）。平衡点是将系统的行为收敛　为一个不动点；极限环将系统收敛为一个周期性的行为；但奇怪吸引子则不同于前二者的　收敛行为，它在轨道空间中呈现出无穷尽的扭曲和折叠，无明显规则和次序。对于混沌吸　引子来说，由于是复杂分形结构，通常为分数维，特别是对于统计分形，为了便于计算和　描述，一般采用关联维数来表征混沌吸引子。　很多研究成果都是通过计算饱和关联维数来　维普资讯 http://www.cqvip.com

进行混沌分析的。具体算法如下　：　在所重构相空间的序列ｙ，，ｙ：，…，ｙ・中，设　为任意两向量之差的绝对值（即　欧氏距离），然后给定一个数ｒｏ，ｒｏ的取值必须介于　－ｊ中的最大值和最小值之间。适当调　整ｒｏ的大小，可算出一组ｌｎｒｏ和ｌｎＣ（ｒ）的值，从而通过式（５）计算关联维数Ｄ　。　Ｄ２＝ｌｉｍ　Ｉｎ　Ｃ（，）／ｌｎ（ｒｏ）　（５）　ｒ。・∞　ｃ（，）＝　喜　（ｉ≠ｉ　，【１一　＝　喜　（ｉ≠ｉ　，【１＿ｆ　Ｉｙｊ—ｙｊｆＩ）（６）　其中，Ｈ（　）称为Ｈｅａｖｉｓｉｄｅ函数，定义如下：　ｆ０，ｘ＜０　Ｈ（Ｘ）＝　【１，　０　（７）　Ｏ　—ｌ　一根据式（５）～（７），取ｒ。＝｛１５０，　２　—３　—２００，２５０，…，６００），嵌入维数ｍ＝　４　—５　—６　｛３，４，５，…，１２），计算Ｃ（ｒ），绘制　—７　—８　不同嵌入维条件下ｌｎＣ（ｒ）～ｌｎｒ。的关　－９　４　５　８　系图，见图２。　从图２看出，不同嵌入维ｍ下，　图２　ｌｎｒｏ～ｌｎＣ（，）关系图　ｌｎｒ。～ｌｎＣ（ｒ）曲线图中，存在直线相　关的部分，即存在无标度区。因此东江流　域月降雨系列分布具有分形特征，每一条　曲线中的直线段部分的斜率，就是各自嵌　人维　所对应的关联维数。绘制由此得　萎　到的关联维数Ｄ：与不同嵌入维ｍ之间的　关系图，见图３。　由图３分析，当嵌入维数ｍ＝８时，　空间维数Ｉｎ　关联维数趋于稳定，达到一个饱和值，又　图３　ｍ～Ｄ　关系图　称之为饱和关联维，即Ｄ：：３．９３，与之　对应的最小嵌入维数表征了动力系统的有效自由度维数。可见，东江流域月降雨序列具有　４２　维普资讯 http://www.cqvip.com

混沌特性，当嵌人空间达到８维后，系统具有稳定的混沌吸引子维数３．９３。下面采用主分　量分析法作进一步验证。　２．４主分量分析（ＰＡＣ分布）　主分量分析（Ｐｒｉｎｃｉｐａｌ　Ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　Ａｎａｌｙｓｉｓ）方法　是一种能有效识别混沌和噪声的　方法。具体计算步骤如下：若已知给定的时间序列为Ｘ，，Ｘ：，…，Ｘ　，选定滞时ｒ和嵌　人维数ｍ，用２．２所述方法进行相空间重构（符号意义同），则可得到序列轨线矩阵　ｙｆ×，＇ｌ：　ｙ，　＝　计算协方差矩阵　为：　［ｙ　，ｙ　，…，ｙｆ］　（８）　１　＝÷ｙｆ　ｙ，　‘　（９）　然后计算协方差矩阵　的特征值　（ｉ＝１，２，…，ｍ）和相应的特征向量Ｕ　（　１，２，…，　）。将特征值按大小排列：　三三＝　三三＝…　。则特征值　及特征向量【，　称为　主分量。求出所有特征值的和ｙ（ｙ＝∑　）。　ｊ　ｌ　以指标　为Ｘ轴，１ｎ（　／ｙ）（为Ｙ轴得到主分量谱图。由于混沌信号和噪声的主　分量分布之间存在着显著差异，即噪声的主分量谱图应是一条与Ｘ轴接**行的直线，　而混沌信号的主分量谱图应是一条过定点且斜率为负的直线（或含有类似直线部分）。　根据以上方法，绘制东江流域月降　雨系列主分量谱图，见图４。该图中存　在斜率为负的直线部分，且与Ｄｕｆｆｉｎｇ　《　一１．０　一１・５　０　－２．　方程的主分量图相似，从而进一步确认　该时间序列具有混沌特性，可以应用混　维普资讯 http://www.cqvip.com

混沌系统对初值的敏感程度，即其值越大，混沌特性越强，对初值的敏感性也越强；反之　敏感性越弱。而正由于混沌系统的初值敏感性，混沌系统的长期预测是不可能的。因此最　大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数的倒数可作为系统的可预报性测度。对于时间序列ｘ　，ｘ：，…，ｘ　，其　求取方法如下［乩加］：　先按２．２所述方法进行相空间重构，然后根据式（１０）求得欧氏空间意义上ｙｉ的最　近邻点ｙｊ及两点间距离　，最后根据式（１１）求最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数　。　＝ｒａｉｎｌ：声Ｉ　．［ｆＩ　Ｙ　—Ｙｆ『ｆ］，ｉ，，＝１，２，…，，　＝（１０）　（１１）　南÷　ｎ告　根据以上方法，求得东江流域月降雨系列的最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数为０．２５３，从而进一　步说明了该水文时间序列存在混沌特性。　３结语　混沌是一个内涵和外延十分丰富的概念，其本身处于快速发展阶段，尚有不少理论和　实际计算问题亟代解决　¨。目前应用混沌理论研究水文时间序列问题也存在争议。本文应　用相空间重构原理，从饱和关联维数和最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数等方面探讨广东省东江流域月　降雨时间序列形成和演化的混沌机制，并应用主分量分析方法进一步验证其混沌特性。最　后得到其嵌人滞时ｒ：３，饱和关联维数Ｄ２＝３．９３，最大Ｌｙａｐｕｎｏｖ指数　＝０．２５３。　参考文献：　［１］王红瑞，宋宇等４００—４０７．　混沌理论及在水科学中的应用与存在的问题［Ｊ］．水科学进展，２００４，１５（３）：　［－２３　Ｌｏｒｅｎｚ　Ｅ．Ｎ　Ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃ　Ｎｏｎｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｆｌｏｗ［Ｊ］．Ａｔｍｏｓｐｈｅｒｉｃ　Ｓｃｉ，１９６３（２Ｏ）　［３］唐巍，李殿璞，陈学允．混沌理论及其应用研究［Ｊ］．电力系统自动化，２０００，４：６７—７Ｏ．　［４］丁涛，厨惠成，黄健辉．混沌水文时间序列区间预测研究［ｊ］．水利学报，２００４，１２，１５～２０．　［５］Ｕｐｍａｎｕ　Ｌ　ｅｔ　ａ１．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｇｒｅａｔ　Ｓａｌｔ　Ｌａｋｅ：ｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｃ　ｓｈｏｒｔ—ｔｅｒｍ　ｆｏｒｅｃａｓｔｉｎｇ　ＥＪ］．Ｗａｔｅｒ　Ｒｅｓｏｕｒｃｅ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ，１９９６，３２（４）：９７５—９８５．　［６］Ｐａｃｋａｒｄ　Ｎ　Ｈ，Ｃｒｕｔｃｈｆｉｅｌｄ　Ｊ　Ｐ，ｅｔ　ａ１．Ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｆｒｏｍ　ａ　ｔｉｍｅ　ｓｅｒｉｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ　Ｒｅｖ　Ｌｅｔｔ，１９８０，４５　（９）：７１２—７１６．（下转第７０页）　４４　维普资讯 http://www.cqvip.com

５结语　双溪水电站，１９９７年９月下闸蓄水，电站３台机组年底前后相继投产发电，电站　１　１５　ｍ高的高边坡，令参观来访人员和过往行人瞻目惊叹。不少来考察的专家学者都给予　很高评价。　在２００６年５～８月里接连有“珍珠”、“碧利斯”、和“派比安”等３个强台风连续袭　击广东，台风暴雨所经之处都发生大面积山体滑坡、边坡塌方，使房屋淹埋，人员伤亡。　不少国道和省道受阻，甚至连南北交通大动脉京广线都一度瘫痪，南粤大地伤痕累累。广　东梅州市境内因山体滑坡、边坡塌方导致２０００多座房屋倒塌。国道、及省、市县的交通　道路就有近３００处受阻。人民生命财产遭受严重损失。而同处在梅州市境内的大埔双溪水　电站的高边坡，仍安然无恙。该边坡经受了长达１０　ａ的各种严峻考验，说明设计和施工的　方法是合理的。　（上接第４４页）　［７］黄润生．混沌及其应用［Ｍ］．武汉大学出版社，２０００．　Ｅ８３吕金虎，陆君安，陈士华．混沌时间序列分析及其应用［Ｍ］．武汉大学出版社，２００２．　Ｅ９３丁晶，王文圣，赵永龙．长江日流量混沌变化特性研究［Ｊ］．水科学进展，２００３，１４（４），４０７—　４１６．　Ｌｉｏ２窦春霞．基于混沌一神经网络模型最优控制及应用［Ｊ］．系统工程学报，２００４，１９（３），２２９—　２３３．　７０