基于小波分析的降噪方法研究

基于小波分析的降噪方法研究

王松1，李虹1，段兴文2

1江苏徐州市中国矿业大学信电学院，江苏徐州（221008）

2安徽省淮北矿业集团，安徽淮北（235000）

E-mail: redsunlh@163.com

摘 要：在工程研究中从混有噪声的信号中提取有效信号，一直是信号处理中的重要内容，传统的信号去噪方法局限在频域范围内，无法表述信号的时域局部性质。小波变换是一种信号的时频分析，它具有多分辨分析的特点，利用小波方法去噪是小波分析应用于工程实际的一个重要方面。本文详细地介绍了小波变换的基本理论、小波降噪和小波包降噪的原理及方法，系统地研究了他们在信号处理尤其是信号去噪方面的应用，并进行了两例小波包变换与小波变换降噪的仿真，仿真结果证明了该方法去噪的有效性，而且通过对两例仿真结果对比可以发现，小波包降噪的效果要稍好于小波降噪。 关键词：小波变换；信号处理；降噪 中图分类号：TP

1. 引 言

在工程应用和进行科学研究中，从混有噪声的信号中提取有效信号，一直是信号处理中的重要内容。尽管目前有许多降噪算法，如空域复合法、频率复合法、解卷积、自适应滤波、倒谱分析方法、人工神经网络和裂谱分析法等，但是它们中的绝大多数仅在时域或频域分析信号。

小波变换是近年来迅速发展起来的一种新的信号处理工具。作为一种信号的时间—尺度(时间—频域) 分析方法,它具有多分辨分析的特点,而且在时频两域都有表征信号局部特征的能力,是一种窗口大小固定不变但形状可以改变的时频局部分析方法。在小波分析中每次只对上次分解的低频部分进行再分解,而对高频部分不再分解,所以在高频段分辨率较差。小波包分析是从小波分析延伸出来的一种对信号进行更加细致的分析和重构的方法,它不但对低频部分进行分解,而且对高频部分也做了二次分解,使它在信号去噪方面表现出明显的优势,对信号的分析能力更强[1-3]。

2. 小波分析的基本理论

2.1 小波的定义

2

L（R）小波是函数空间中满足下述条件的一个函数或者信号ψ(x):

Cψ=∫*ψ(ω)

R

^

2

dωω<+∞

*

R=R−{0}表示非零实数全体。ψ(x)也称为小波母函数，前述条件称为“容许性式中

条件”。对于任意的实数对(a,b)，参数a必须为非零实数，称如下形式的函数

ψ(a,b)(x)=

1aψ⎜⎛x−b⎞⎟⎝a⎠

为由小波母函数ψ(x)生成的依赖于参数对(a,b)的连续小波函数，简称为小波。这种伸

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缩和平移的思想源远流长，可以在信号处理、信号检测和多尺度边缘等领域得到应用。根据应用领域不同可以选择不同的参数a、b。

式中a—伸缩因子或尺度因子，工程实际中尺度因子a<0无实际意义； b—平移因子，其值可正可负[4]。

2.2小波变换

2

ψ(t)f(t)∈L(R)是一个能量有限的信号，设其小波变换定义为f(t)与小波函数族ab的

内积，即

Wf(a,b)=　 =

上式中不但t是连续变量，而a和b也是连续变量，因此称为连续小波变换（continuous wavelet transform,简称CWT）。

1a∫+∞−∞f(t)ψ(t−b)dta

ψ(

小波分析的实质是以小波基函数

t−b

)a的形式将信号f(t)分解成不同频带的子信

号。求小波逆变换可实现信号的重构，重构表达式为：

x(t)=

2.3小波包变换

1Cψ∫

+∞

0

da+∞1t−bWTabψ(,)()db X2∫−∞

aaa小波包变换是小波变换的推广，与小波变换相比，小波包变换能够提供一种更加精细的分析方法，即离散小波变换的尺度是二进制变化的， 所以在高频频段其频率分辨率差， 而在低频频段其时间分辨率好。而小波包分解( WPD )能够为信号提供一种更加精细的分解方法，它将频带进行多层次划分，对小波变换没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应选择相应的频带，使之与信号匹配，从而提高了时频分辨率。小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析提供更丰富和更详细的信息，而且这种分解既无冗余也无遗漏， 所以对包含大量中、 高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析。通过小波包的这种分解可以找到设计对象的最佳描述。小波包分解树是小波包分解的一种较为直观的表示方法， 小波包分解在对信号的低频分量连续进行分解的同时对高频分量也进行连续分解， 这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量， 而且也可得到许多分辨率较低的高频分量[5]。如图1所示为尺度是 3的小波包分解树， 小波包分解树允许信号S表示为：

S=A1+AAD3+DAD3+DD2

其中：A表示信号的低频分量，D表示信号的高频分量，其下标表示小波包分解的层数。

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SA1D1AA2AAA3DA2DAA3ADA3AD2DD2DAD3ADD3DDD3DDA3AAD3图1 三级小波分解树

Figure1. Wavelet packet decomposition

3. 小波降噪的原理

3.1信号降噪的准则

光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和远信号具有同等的光滑性。

相似性：降噪后的信号和原信号的方差估计应该是最坏情况下的方差最小（Minmax Estimator）[6]。

3.2 小波降噪的原理

一个含噪声的一维信号的模型可以表示成如下形式：

S(t)=f(t)+σ⋅e(t)　　　　t=0,1,L,n−1

其中，f(t)为真实信号，e(t)为噪声，S(t)为含噪声的信号。如果以一个最简单的噪声模型加以说明，即认为e(t)为高斯白噪声N（0,1）,则噪声级为1。在实际的工程应用中，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号通常表现为高频信号。实际的含噪声信号的上述特点为利用小波分析消噪提供了条件。对信号进行小波分解时，含噪声部分主要包含在高频小波系数中，因而，可以应用门限阈值等形式对小波系数进行处理，然后对信号进行重构即可达到消噪的目的。对信号S(t)消噪的目的就是要抑制信号中的噪声部分，从而在S(t)中恢复出真实信号f(t)。

图2 小波变换除噪流程示意图

Figure2. Flow chart of signal de-nosing based on wavelet transform

一维信号利用小波除噪的步骤如下：

（1） 对含噪信号进行预处理，便于后续处理。

（2）一维信号的小波分解。选择一个小波并确定一个分解层次N，然后对信号s进行N层分解。

（3）小波分解高频系数的阈值量化。对第一层到第N层的每一层高频系数，选择一个

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阈值进行软阈值或者硬阈值量化处理。

（4）一维小波的重构。根据小波分解的第N层的系数和经过量化处理后的第一层到第N层的高频系数，进行一位信号的重构。

从上面4个步骤中可以看出，最关键的就是如何选取阈值和如何进行阈值量化，从某种程度上说，它直接关系到信号消噪的质量。在MATLAB中提供了两个可以进行小波消噪的函数，一个是wden，另一个是wdencmp。函数wden可用小波进行一维信号的自动降噪。该函数中提供了四种阈值选择方案以及软、硬阈值消噪选择，同时还可以选取全局阈值或分层阈值进行消噪。另外的一种更普遍的函数是wdencmp，它可以直接对一维信号或者二维信号消噪或压缩处理，方法也是通过对小波分解系数进行阈值量化来实现的，它可以让用户选择自己的量化方案。在进行小波包降噪时所使用的函数主要是wpdencmp，该函数是一维或二维小波包压缩或降噪的导向函数，它使用小波包对信号或图像执行降噪或压缩过程。小波包降噪的思想和过程与小波的降噪非常类似。

在实际的工程应用中，所分析的信号可能包含许多尖峰或突变部分，并且噪声也不是平稳的白噪声，对这种信号进行分析，首先需要对信号进行预处理，将信号的噪声部分去除，提取有用信号。对于这种信号的消噪，用传统的傅立叶变换变换分析，显得无能为力，因为傅立叶分析是将信号完全在频率域中进行分析，它不能给出信号在某个时间点的变化情况，使得信号在时间轴上的任何一个突变，都会影响信号的整个频谱。小波分析由于能同时在时—频域中对信号进行分析，具有多分辨分析的功能，所以能在不同的分解层上有效地区分信号的突变部分和噪声，从而实现信号的消噪[7]。

4. 小波包变换与小波变换降噪效果的仿真对比

本次仿真过程中，利用Matlab生成的两个染噪的信号，选用“db4”小波分别对其进行7层和5层的小波分解降噪和小波包分解降噪，得到结果输出波形如图3、图4所示，在每一次小波变换中，都提取其中的“逼近信号”作为下次变换的输入，同时忽略掉其中的“细节信号”，即清除一次信号中包含的高频噪声分量。变换后的输出信号与原始信号相比，噪声起伏明显改善。小波包变换过程类似，只是在分解时，是对信号进行完整分解，并不损失高频分量，在消噪的同时，最后保留下了细节信息。

图3 小波包降噪与小波降噪信号对比（Ⅰ）

Figure 3.The contract of wavelet and wavelet packets de-noising （Ⅰ）

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图4 小波包降噪与小波降噪信号对比（Ⅱ）

5. 总结

Figure 4.The contract of wavelet and wavelet packets de-noising （Ⅱ）

由上述两个仿真结果图形可以看出，通过变换的信号都能满足信号降噪的准侧，信号中噪声分量基本从信号中除去，小波包分解和小波分解都能将信号中的噪声有效消除。在此次实验中通过对比可以发现，小波包分解降噪的效果稍好于小波降噪。在实际应用中，我们还可以通过对小波函数的选择以及分解层次的变化对含噪信号进行处理，以达到最好的降噪效果。

参考文献

[1] Cheng Hua, Shen Weixing; A New Method for Real-time Wavelet De-noising[J].Electronic Measurement and Instruments 2007.3(910-912)

[2] 飞思科技产品研发中心.MATLAB7辅助小波分析与应用 [M].电子工业出版社,2005. [3] 徐长发,李国宽.实用小波方法[M].2版.华中科技大学出版社,2004. [4] 孙延奎.小波分析及其应用[M].机械工业出版社,2005.

[5] 冉启文.小波变换与分数傅立叶变换理论及应用[M]. 哈尔滨工业大学出版社, 2001 ,3. [6] 杨福生.小波变换的工程分析与应用[M].科学出版社,1999.

[7] 王仲民.基于小波变换的信号消噪[ J ]. 河北工业大学学报, 2000, 29 (5) :48-51.

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Signal De-noising Based on Wavelet Transform

Wang Song1, Li Hong1, Duan Xingwen2

1 School of Information and Electrical Engineering, China University of Mining&Technology,

Xuzhou, Jiangsu (221008)

2 Huaibei Mining (Group) Co. Ltd, Huaibei Anhui (235000)

Abstract

Extract the effective signal from the signal contain noise in the Engineering research, has been an important part of signal processing. The traditional signal de-noising method is work in frequency scope only and can not indicate the trait of signal in time domain. The wavelet transform is one kind of signal analysis in time and frequency, it is characterized by multi-resolution analysis, and using wavelet de-noising is an important application of wavelet analysis in engineering. The principle and method of de-noising with wavelet and wavelet packets are introduced at full length in this article, it systematically studied in the applications of signal processing, and particularly in signal de-noising .This method is proved to be effective by two simulation examples. And by comparing the simulation results from the two cases, the effect of wavelet packet de-noising is a little better than wavelet de-noising.

Keywords：Wavelet transform; Signal processing; De-nosing

作者简介：王松，女，安徽宿州人，硕士研究生，研究方向：电力系统及其自动化。

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