莱芜市2010年中等学校招生考试
数 学 试 题
注意事项：
1.答卷前考生务必在规定位置将姓名、准考证号等内容填写准确。2.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，84分，共120分。考试时间为120分钟。
3.请将第Ⅰ卷选择题答案填写在第Ⅱ卷首答案栏内，填在其它位置不得分。
4.考试结束后，由监考教师把第Ⅰ卷和第Ⅱ卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填写在答案栏的相应位置上，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共36分）1.的倒数是A． B． C． D．
2.下列计算结果正确的是A． B．
C．D．
3.在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A． B． C． D．
4.2010年4月20日晚，“支援青海玉树抗震救灾义演晚会”在莱芜市政府广场成功举行，热心企业和现场观众踊跃捐款31083.58元.将31083.58元保留两位有效数字可记为
A．3.1×106元 B．3.11×104元 C．3.1×104元 D．3.10×105元5.如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是10-1abBA
（第5题图）A． B． C．
D．
6.右图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是
（第6题图）
A. B. C. D.7.已知反比例函数
，下列结论不正确的是
A．图象必经过点(-1,2) B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则y＞-2
8.已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为
A．2.5 B．5 C．10 D．15x
（第9题图）yO
9.二次函数
的图象如图所示，则一次函数的
图象不经过
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10.已知
是二元一次方程组的解，则
的算术平方根为
A．4 B．2 C． D． ±2
11.一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是
A．2 B． C．1 D．
O14121096
866630x/分
y/千米
ABCD
（第12题图）乙甲
12.在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y（千米）
随时间x（分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不正确的是A．甲先到达终点
B．前30分钟，甲在乙的前面C．第48分钟时，两人第一次相遇D．这次比赛的全程是28千米
绝密★启用前 试卷类型A
莱芜市2010年中等学校招生考试
数 学 试 题
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
注意事项：
第II卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在本试卷上。
三
题号一二
1819202122分数
总分
23
24
第I卷选择题答案栏
题号答案
二、填空题（本大题共5小题，只要求填写最后结
果，每小题填对得4分，共20分）
13.分解因式：得分
评卷人
．
14.有一组数据如下：2，3，a，5，6，它们的平均数是4，则这组数据的方差是 ．15.某公司在年的盈利额为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
万元，预计年的盈利额将达到
万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在年的盈利额为________万元．在平面直角坐标系中，以点、、
为顶点的三角形向上平移3个单位，得到△（点分别为点
的对应点），然后以点为中心将△顺时针旋转，得到△（点分别是点的对应点），则点
16.的坐标是 .17.已知：，，
，…，
观察上面的计算过程，寻找规律并计算
．
三、解答题（本大题共7小题，共64分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
得分评卷人18.（本题满分6分）
先化简，再求值：
，其中. 得分
评卷人
19.（本题满分8分）
2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知
识在校园迅速传播.小明同学就本班学生对世博知
识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）.请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）求该班共有多少名学生；
（2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为多少？ABCD
了解程度人数
510152025
（第19题图）A10%B30%DC
“熟悉”的概率是
座号
20.（本题满分9分）
2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，
期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，
有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：得分
评卷人
）
BAC
（第20题图）
21.（本题满分9分）
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以
BC为直径作⊙O交AB于点D.
（1）求线段AD的长度；
（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由.ODCBA
（第21题图）
得分评卷人22.（本题满分10分）
为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1900本
科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两
类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．（1）问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；得分
评卷人
（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在（1）中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？
23.（本题满分10分）
在 ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线
EF、GH，分别交平行四边形的四条边于
E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.
（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是 ；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是 ；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由. HGFEODCBA
图①
HGFEODCBA
图②
ABCD得分
评卷人
OEFGH
图③
ABCDOEFGH
（第23题图）
图④
得分 交轴于两点，交轴于点
.
（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作⊙D与x轴相切，⊙D交
轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；
（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于
轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.
评卷人
24.（本题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
（第24题图）xyOACBDEF
莱芜市2010年中等学校招生考试
数学试题参考答案(A)
评卷说明：
1.选择题和填空题中的每小题，只有满分和零分两个评分档，不给中间分.
2.解答题每小题的解答中所对应的分数，是指考生正确解答到该步骤所对应的累计分数.本答案对每小题只给出一种或两种解法，对考生的其他解法，请参照评分意见进行评分.
3.如果考生在解答的中间过程出现计算错误，但并没有改变试题的实质和难度，其后续部分酌情给分，但最多不超过正确解答分数的一半；若出现严重的逻辑错误，后续部分不再给分.
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
题
12345678910
号答
ACBCDDB
案
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）13.
； 14. 2； 15. 220； 16.
； 17.210
三、解答题（本大题共7个小题，共64分）18.（本小题满分6分）
解：原式=C
D
B
………………………1分
=
………………………2分
………………………5当时，
19.（本小题满分8分）ABCD
了解程度人数
510152025
解：（1）5÷10％=50（人）（2）见右图 ………………………4=
分
=
分
原式=
==
． ………………………6分
分
分
………………………4 ………………………2
（3）360°×
=144° ………………………6分
（4）
． ………………………8分
20.（本小题满分9分）
解：过A作AD⊥CB，垂足为点D． ………………………1分在Rt△ADC中，∵CD=36，∠CAD=60°．BACD
∴AD=
≈20.76． ……5分
在Rt△ADB中，∵AD≈20.76，∠BAD=37°．∴BD=
≈20.76×0.75=15.57≈15.6（米）． ………8分
答：气球应至少再上升15.6米． …………………………9
分
21.（本小题满分9分）
解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm． ……1分
连结CD，∵BC为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°．
∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC ∽Rt△ACB．
∴
，∴
． …………………………4分
OD
CBAE
（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切． ………………
5分
证明：连结OD，∵DE是Rt△ADC的中线．∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD．
∵OC=OD，∴∠ODC =∠OCD． …………………7分∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°．
∴ED与⊙O相切． …………………………9分22.（本小题满分10分）
解：（1）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（30-x）个．
………………1分
由题意得
…………………………3分
解这个不等式组得18≤x≤20．
由于x只能取整数，∴x的取值是18，19，20．
…………………………5分
当x=18时，30-x=12；当x=19时，30-x=11；当x=20时，30-x=10．
故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．……7分
（2）方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低，
最低费用是860×18+570×12=22320（元）．
…………………………10分
方法二：①方案一的费用是：860×18+570×12=22320（元）；②方案二的费用是：860×19+570×11=22610（元）；③方案三的费用是：860×20+570×10=22900（元）
故方案一费用最低，最低费用是22320元．
…………………………10分
23.（本小题满分10分）
解：（1）四边形EGFH是平行四边形．
…………………………1分
证明：∵ ABCD的对角线AC、BD交于点O．∴点O是 ABCD的对称中心．∴EO=FO，GO=HO．
∴四边形EGFH是平行四边形． …………………………4
分
（2）菱形． …………………………5分（3）菱形． …………………………6分（4）四边形EGFH是正方形． …………………………7
分
证明：∵AC=BD，∴ ABCD是矩形． 又∵AC⊥BD， ∴ ABCD是菱形．
∴ ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°．OB=OC．∵EF⊥GH ，∴∠GOF=90°．∴∠BOG=∠COF．
∴△BOG≌△COF．∴OG=OF，∴GH=EF．
…………………………9分
由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH.
∴四边形EGFH是正方形． …………………………10分24. （本小题满分12分）解：（1）∵抛物线经过点，，．∴， 解得.
∴抛物线的解析式为：
. …………………………3分
（2）易知抛物线的对称轴是
.把x=4代入y=2x得y=8，∴点D的坐标为（4,8）．
∵⊙D与x轴相切，∴⊙D的半径为8．
…………………………4分
连结DE、DF，作DM⊥y轴，垂足为点M．在Rt△MFD中，FD=8，MD=4．∴cos∠MDF=
．
∴∠MDF=60°，∴∠EDF=120°． …………………………6
分
∴劣弧EF的长为：
． …………………………7分
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b. ∵直线AC经过点.
∴，解得
.∴直线AC的解析式为：
. ………8分
设点
，PG交直线AC于N，则点N坐标为.∵
.
∴①若PN︰GN=1︰2，则PG︰GN=3︰2，PG=GN.xy
OACBDEFPGNM即=
.
解得：m1=－3， m2=2（舍去）.当m=－3时，=.
. …………………………10②若PN︰GN=2︰1，则PG︰GN=3︰1，即=.
解得：，
（舍去）.当
∴此时点P的坐标为
分
=3GN. PG时，=
.
∴此时点P的坐标为.
综上所述，当点P坐标为
或
时，△PGA的面积被直线AC分成1︰2两部分．
…………………12分
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