全称量词与特称量词

1.4 全称量词与存在量词

学习目标

1. 理解全称量词与存在量词的意义．

2. 能正确对含有一个量词的命题进行否定．

3. 知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

学习重点

全称命题和特称命题真假的判定．

学习难点

对含有一个量词的命题进行否定.

知识梳理

一、请列举全称量词与全称命题、特称量词与特称命题的概念。

二、全称命题与特称命题的否定

1、全称命题的否定

一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面结论：

全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定p：_________________ ，全称命题的否定是_____________

2．特称命题的否定

一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：x0M，p(x0)，它的否定特称命题的否定是_____________

p：_________________

探究一 全称命题与特称命题的判断

例1、判断下列语句是全称命题，还是特称命题，并用量词符号“∀”“∃”表达下列命题：

221、对任意角α，都有sincos1；

2、有一个函数，既是奇函数又是偶函数；

3、∀x∈R，x－1＝0

24、所有能被3整除的整数都是奇数

5、有的三角形是等边三角形

6、有一个实数α，tan α无意义

方法归纳：

__________________________________________________________________________________________________________________________________________探究二、全称命题与特称命题的真假判断

例2、判断下列全称命题或特称命题的真假

1、每个指数函数都是单调函数；

2、任何实数都有算术平方根；

0，

3、x∈2，sin x＋cos x≥2

4、x0R,x00

2，x0是无理数 5、x0{x|x是无理数}x,2， tan x>sin x 6、

方法归纳：

__________________________________________________________________________________

________________________________________________________

探究三、含有一个量词的命题的否定及应用

例3、写出下列命题的否定，并判断其真假：

32xN,xx1、P：每一个四边形的四个顶点共圆 2、P：

3、P：有的菱形是正方形 4、p：∀x∈R，

x2x14≥0；

3xx005、p：所有的正方形都是菱形； 6、p：至少有一个实数，使＋1＝0

例4、若命题“

2x0R,x02ax02a0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

方法归纳：

__________________________________________________________________________________________________________________________________________当堂检测

一、选择题

1．下列说法正确的是( )

A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”

B．若命题p：∃x∈R，x2－2x－1>0，则命题p：∀x∈R，x2－2x－1<0

C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题

D．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件

2、 下列命题中，真命题是( )

πA．∃x∈0，，sin x＋cos x≥2 B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1

2

π



C．∃x∈R，x2＋x＝－1 D．∀x∈，π，tan x>sin x

2

3．已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则p为( )

A．∀n∈N,2n≤1 000 B．∀n∈N,2n>1 000

C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n<1 000

4．下列语句是真命题的是( )

A．所有的实数x都能使x2－3x＋6>0成立

B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立

C．存在一条直线与两个相交平面都垂直

D．有一条直线和两个相交平面都垂直

5. 命题“∃x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是( )

A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1

C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1

6．下列四个命题中的真命题为( )

A．若sin A＝sin B，则A＝B B．∀x∈R，都有x2＋1>0

C．若lg x2＝0，则x＝1 D．∃x0∈Z，使1<4x0<3

7．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，使x20≤x0；④∃x0∈N＋，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

8．下列命题，是全称命题的是__________；是特称命题的是__________．

①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；

③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．

2xR,x2ax10，则实数a的取值范围是_______________ 9.

10．“存在一个实数x0，使sin x0>cos x0”的否定为________．

11．若命题“∀x∈(3，＋∞)，x>a”是真命题，则a的取值范围是________．

π

12．若“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

4

三、解答题

13．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：

(1)二次函数的图象是抛物线；

(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；

(3)有些四边形存在外接圆；

(4)∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．

214.命题“xR,2x3ax90”为假命题，求实数a的取值范围？ 15．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”

为真，试求参数a的取值范围．