线性代数复习提纲2015.12

教学要求：

1.会利用矩阵的初等行变换求矩阵的行阶梯形矩阵和行最简形矩阵； 2.会判断线性方程组是否有解，并能利用矩阵的初等行变换解线性方程组； 3.会求矩阵的秩 例题：

判断题：

1.齐次线性方程组永远有解；

2.方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有非零解. 填空题：

骣1-12-3÷ç÷çç÷1.A=ç0114÷的行最简形矩阵为 ； ÷ç÷ç÷ç0026÷桫解答题：

2x1x23x31,1. 用矩阵的初等行变换求非齐次线性方程组4x12x25x34,的通解

6x3x8x5.2312. 利用用矩阵的初等行变换讨论a取何值时，下面线性方程组：（1）有惟一解；（2）没有解；（3）有无穷多个解？并有在无穷多解时求解.

(a1)x1x2x30,x1(a1)x2x33, xx(a1)xa.2313. 利用用矩阵的初等行变换讨论a,b取何值时,下面线性方程组有解, 并在有解的情况下求其通解.

ìx1+x2+x3+x4=0,ïïïïx2+2x3+2x4=1,ï. íï-x+(a-3)x-2x=b,234ïïïïî3x1+2x2+x3+ax4=-1.x1x2x30,4.讨论t取何值时，齐次线性方程组x12x23x30,（1）只有零解；（2）有非零解；

x3xtx0.231

1

（3）并在有非零解时求通解.

a15.求矩阵111a1111a111的秩. 1a第二章 矩阵的运算

教学要求：

1.会进行矩阵的运算（加法、数乘、乘法（多项式）、转置）；并知道矩阵运算成立和不成立的运算律；

2.能利用矩阵的初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵； 3.能利用矩阵的初等行变换求解简单的矩阵方程； 4.能利用可逆矩阵的定义 例题：

判断题

1.A,B,C都是n阶方阵，满足ABAC,且A可逆，则BC 2.A,B,C都是n阶方阵，满足ABAC,且AO，则BC

TT3.ABBA

T4.A是n阶方阵,则(A+B)(A-B)=A-B 5. A,B都是n阶可逆方阵时，AB可逆，且AB填空题：

122A1B1.

2363243XA）（2BX）1.已知A, 135，B135，且（则X= .

骣11÷ç÷ç2÷ç÷2.A=ç-2，f(x)=2x-x+1，则f(A)= . ÷ç÷ç÷÷ç1桫3.BB1T,则B . B2 2

4.设A是n阶方阵,且满足A2AEO，则A2E21 .

计算题：

TTT1.a=(1,2,1),求aa，aa及aaT()2013.

101110TT2. 设A011，B012,求（1）AB，（2）BA；（3）AB.

1110233.P1210n,,APP，求A

1402111124.利用初等行变换求矩阵A的逆矩阵：（1）A100；（2）A011101111235.设A100,B234,求矩阵X使得AXB.

111143证明题：

0100002100； 321.设n阶方阵A满足A2A3EO，利用定义证明A3E,E3A都可逆，并求其逆矩阵。

2.设A,B为n阶对称阵，证明AB是对称阵的充分必要条件为ABBA。 3.设n维列向量a满足aa=T21TT，B=E+2aa,C=E-aa 2证明：1）B是对称矩阵；2）BCE.

第三章 行列式

教学要求：

1.会简单行列式的计算（2、3、4阶或规律性很强的n阶行列式计算）； （包括正确、合理使用行列式的性质化简或展开） 2.能利用克拉默法则判断齐次线性方程组是否有非零解； 3.能利用方阵的行列式的运算性质计算行列式； 4.能利用行列式判断方阵可逆矩性，并解矩阵方程

3

例题：

判断题

1. Aaij,Bbij都是n阶方阵，则ABaijbij.

11102.D21121321,Aij为D中i,j元素的代数余子式，

12111110则AA11112122A23A241321. 121100013.

0020030024 40004. E是3阶单位矩阵, ,则2E2 填空题

1. 已知A是3阶方阵,且A2,则AT 2. 已知A是3阶方阵,且A2,则AA* 骣-1ç3. ç-200ç÷ççç013÷÷÷÷= ç桫012÷÷÷计算题：

111111101. D1234211214916；D1321.

18276412112aaa1a2an2. Da2aa1a2ann=；Dn

aa2a1a2an 4

3.A是3阶方阵,B是2阶方阵,且A2,B1，求

2AO1 ；2A

O3B2124. 已知A1tt，讨论t为何值时（1）r(A)2；(2)r(A)3.

t0112,求B 5.设A,B满足ABA2BAE,其中A1第四章 向量组的线性相关性

教学要求：

1.会判断一个向量能否由一组向量线性表示； 2.会判断向量组是线性相关还是线性无关；

3.会求向量组的极大线性无关组，并能用极大线性无关组表示向量组中其余向量；

4.会求齐次线性方程组的基础解系和通解，了解齐次线性方程组与非齐次线性方程组解之间的关联.

5.会证明简单的向量组线性无关或线性相关

6.会求向量内积、长度、夹角，会判断向量是否正交. 例题：

判断题

1.如果向量组1,2,,s线性相关，则其中任何一个向量都可以由其余向量线性表示. 2.线性无关的向量组的任意部分组都线性无关.

3.1,2是非齐次线性方程组AX的两个线性无关解，则12也是AX的解. 4.等价的向量组含向量个数相同.

5.n元非齐次线性方程组Axb有唯一解，则其导出组Ax0只有零解 填空题

骣骣骣l鼢11?珑?鼢?珑?鼢??鼢?1,a=l,a=11.a1=珑线性相关，则l= ； 珑?23鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?l?1鼢1桫桫桫 5

骣骣1鼢-1珑鼢珑鼢2鼢,b=2，则内积,= ，长度 ； 2.设向量a=珑珑鼢珑鼢珑鼢珑1鼢1桫桫骣1鼢3.a1=珑?,a2珑鼢珑鼢s桫计算题：

骣t?正交，则s,t满足关系 ； 2桫1.求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并用其线性表示向量组中其余向量.

1(1,2,1,3)T,2(4,1,5,6)T,3(1,3,4,7)T,4(2,1,1,0)T

2. 求下列矩阵的秩和列向量组的极大线性无关组，并用其表示向量组中其余向量.

11A111110110021022T120302. 13T,1)3,T3.设(0,k,k)可由1(1k,1,1),2(1,1k(1,1,1kT唯一的线性)表示，求k满足的条件.

x2x3x5x60,x3xxx3x0,123454. 求齐次线性方程组的基础解系和通解

x2xx6x3x0,34561x15x23x3x4x52x60.证明题

1..设1,2,3线性无关，且1122,2223,3321， 证明：1,2,3线性无关.

2. 设1,2,3线性无关，且11,2122,312233， 证明：1,2,3线性无关.

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